兰州市届高三实战考试数学试题及答案(理)

甘肃省兰州市2015届高三实战考试
数学（理）试题
试卷综述：这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、 思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7），M={1，3，5，6}，N={2，3，5}，则C U （M
N ）
=（ ）
A ．{1,4,6,7}
B ．{2,4,6,7}
C ．{1，2，4，6，7}
D ．{1，3，4，6，7}
【知识点】交、并、补集的混合运算．A1 【答案】C
【解析】由题意知M∩N={3，5}，则C U （M N ）={1，2，4，6，7}，
故选C.
【思路点拨】求出M∩N ，即可求解C U （M∩N ）即可． 2．iz=1一i （i 为虚数单位），则z=（ ） A ．-1+i
B ．-1-i
C ．1+i
D ．1-i
【知识点】复数代数形式的乘除运算L4 【答案】B
【解析】由iz=1+i ，得()()()
111i i i z i i i i ---=
==---，故选B.
【思路点拨】由iz=1-i ，两边除以i ，按照复数除法运算法则化简计算．
3．已知命题cos()cos R ραπαα∃∈-=：，
；命题2:,10q x R x ∀∈+>．则下面结论正确的是（ ） A ．p ∨q 是真命题
B ．p ∧q 是假命题
C ．⌝q 是真命题
D ．p 是假命题
【知识点】复合命题的真假．A2 【答案】A
【解析】对于p ：取α=
2
π
，则cos （π﹣α）=cosα，因此正确；对于命题2:,10q x R x ∀∈+>，
正确．由上可得：p ∧q 是真命题．故选：A ． 【思路点拨】p ：取α=
2
π
，则cos （π﹣α）=cosα，即可判断出真假；命题q ：利用实数的性
质可得q 的真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．
4．已知数列{a n }是等差数列，且a 1 +a 4+a 7=2π，则cos （a 3+a 5）=（ ）
A ．
1
2
B ．一
12
C D 【知识点】等差数列的性质．D2 【答案】B
【解析】∵等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7=3a 4=2π，∴a 4=
23π，又a 3+a 5=2a 4=43
π
，∴cos （a 3+a 5）=cos
43π=﹣1
2
，故选B. 【思路点拨】利用等差数列的性质可得a 3+a 5=2a 4=
43
π
，从而可得答案． 5．已知实数x ，y 满足a x <a y （0<a<1），则下列关系式恒成立的是（ ）
A ．33x y >
B.sin sin x y >
C ．221(1)1(1)n x n y +>+
D ．
2211
11
x y >++ 【知识点】指数函数的图像与性质．B7 【答案】A
【解析】∵实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），∴x ＞y ， A ．当x ＞y 时，33x y >，恒成立，
B ．当x=π，y=
2
π
时，满足x ＞y ，但sin sin x y >不成立．
C ．若221(1)1(1)n x n y +>+，则等价为x 2＞y 2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但x 2＞y 2不成立．
D ．若
22
1111
x y >++，则等价为x 2+1＜y 2+1，即x 2＜y 2
，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但x 2＜y 2不成立．故选：A ．
【思路点拨】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键． 6．已知点F 是挞物线y 2 =4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF| +|NF|=6，则MN 中
点的横坐标为（ ） A ．
3
2
B ．2
C ．
5
2
D ．3
【知识点】抛物线的简单性质．H7 【答案】B
【解析】∵F 是抛物线y 2=4x 的焦点，∴F （1，0），准线方程x=﹣1，
设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），∴|MF|+|NF|=x 1+1+x 2+1=6，解得x 1+x 2=4，∴线段MN 的中点横坐标为2，故选B.
【思路点拨】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出MN 的中点横坐标．
7．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（ ）
A B ．13 C ．29
D
【知识点】由三视图求面积、体积G2 【答案】D
【解析】由题意可知几何体是底面为直角梯形，直角边长为：4，2，高为3的梯形，棱锥的高为2，高所在的棱垂直直角梯形的上直角顶点，所以侧棱最长为，底面梯形下底边锐角顶
=．故选D．
【思路点拨】由三视图可知几何体是底面为直角梯形的四棱锥，通过三视图的数据，求出最长的侧棱长度即可．
8．阅读下侧程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形中应填入的语句为（）A．S=2*i-2
B．S= 2*i-1
C．S=2*i
D．2*i+4
【知识点】程序框图．L1
【答案】C
【解析】当空白矩形框中应填入的语句为S=2*I时，程序在运行过程中各变量的值如下表示：i S 是否继续循环
循环前1 0/
第一圈2 5 是
第二圈3 6 是
第三圈4 9 是
第四圈5 10 否
故输出的i值为：5，符合题意．故选C．
【思路点拨】题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s＜10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案．
9．设F1、F2分别是椭圆2
214
x y +=的两焦点，点P 是该椭圆上一个动点，则12.PF PF 的取值范围是（ ） A ．[一2,1） B ．（—2,1）
C ．（一2,1]
D ．[—2,1]
【知识点】椭圆的应用；平面向量数量积的运算F3 H5 【答案】D
【解析】由椭圆2
214
x y +=的知F 10），设P （x ，y ），
则12.PF PF =x ，﹣y ）x ，﹣y ）=x 2+y 2﹣3=1
4
（3x 2﹣8） ∵x ∈[﹣2，2]，∴0≤x 2≤4，故12
.PF PF ∈[﹣2，1],故选D. 【思路点拨】设出点P 的坐标，进而可表示出12PF PF ⋅，进而根据x 的范围确定12PF PF ⋅的范围。

10．已知长方体ABCD – A 1B 1 C l D 1的各个顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π
且AB ：AD ：AA 11：2，则球O 到平面ABCD 的距离为（ ）
A ．1
B ．
C
D ．2
【知识点】点与平面间的距离G11 【答案】B
【解析】因为球O 的表面积为16π，设外接球O 的半径为R ,所以2
416R ππ=，
2R ∴=，又因为长方体ABCD – A 1B 1 C l D 1的各个顶点都在球O 的球面上，所以长方体的体对角线等
于其外接球O 的直径，AB ：AD ：AA 11：2，设1,,2AD x AB AA x ===，依
题意可得)
()2
2
2
224x x +
+=，解得x =，而球O 到平面ABCD 的距离为
11
2
AA x == B. 【思路点拨】由球O 的表面积为16π可求其半径R ，再利用长方体的体对角线等于其外接球O 的直径可解得长方体的各棱长，最后可求O 到平面ABCD 的距离。

11．函数()2sin()(0)4
f x x π
ωω=+
>与函数g （x ）= cos (2)()2
x π
ϕϕ+<
的对称轴完全
相同，则ϕ=（ ）
A ．－
4
π
B ．
4
π
C ．
2
π
D ．－
2
π
【知识点】余弦函数的对称性；正弦函数的对称性C4 【答案】A
【解析】由题意，求函数g （x ）= cos (2)()2
x π
ϕϕ+<的对称轴，令2x+ϕ=kπ，∴2
k x πϕ
-=
（k ∈Z ）
函数()2sin()(0)4
f x x π
ωω=+
>，令4
2
x m π
π
ωπ+
=+
，∴4m x π
πω+
=
（m ∈Z ）
∵函数()2sin()(0)4
f x x π
ωω=+
>与函数g （x ）= cos (2)()2
x π
ϕϕ+<的对称轴完全相
同，∴ω=2，ϕ= 4π
-
，
故选A ．
【思路点拨】分别求出两个函数的对称轴，利用对称轴完全相同，即可求得ϕ的值．
12．已知函数31[0,]32
()21(,1]
12x x f x x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪+⎩
，函数()3(0)2a g x ax a =-+>，若对任意1[0,1]x ∈，
总存在21[0,]2
x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,4]-∞-
B ．(,6]-∞
C ．[4,)-+∞
D ．[6,)+∞
【知识点】分段函数的应用．B9 【答案】D
【解析】∵函数
3
1[0,]32
()21(,1]
12x x f x x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪+⎩，∴当0≤x≤12时，y 的
范围是[0，1
6]； 当12＜x≤1时，
()()
()
()
3223
2
2
2233120
11x x x x x y x x ++-'=⋅=
>++，
故（12，1]为增区间，y 的范围是（1
6，1]．
∴函数f （x ）的值域为[0，1]，
∵函数g （x ）=ax-2a
+3（a ＞0）， ∴x ∈[0，12]，y ∈[3-2a
，3]，
∵对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1
2]，使得f （x1）=g （x2）成立， ∴[0，1]⊆[3-2a ，3]，即有3-2a
≤0，即a≥6．
∴a 的取值范围是[6，+∞）． 故选：A ．
【思路点拨】分别求出f （x ）在[0，1]的值域A ，以及g （x ）在
1[0,]
2]的值域B ，对任意 x1∈[0，1]，总存在x2∈
1
[0,]
2]，使得f （x1）=g （x2）成立，考虑A 是B 的子集，得到a 的关系式，解出即可．
第II 卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向2
(1,2),(,1)a x x b x =-+=，a ∥b ，则x= 。

【知识点】平行向量与共线向量F2 【答案】1
2
-
【解析】因为2
(1,2),(,1)a x x b x =-+=，a ∥b ，所以
()
212
x x x
-=+，解得
1
2
x=-，故答案为
1
2
-。

【思路点拨】用两向量共线坐标形式的充要条件公式即可．
14．三名学生两位老师站成一排，则老师站在一起的概率为。

【知识点】古典概型及其概率计算公式．J2 K2
【答案】2 5
【解析】三名学生两位老师站成一排，有5
5120
A=种方法，
老师站在一起，共有42
4248
A A=种方法，∴老师站在一起的概率为
482 1205
=．
故答案为：2
5
．
【思路点拨】求出三名学生两位老师站成一排，有5
5120
A=种方法，老师站在一起的方法，即可求出概率．
15．已知实数x，y，满足约束条件
20
0,
x y
x y z x y
y k
+≥
⎧
⎪
-≤=+
⎨
⎪≤≤
⎩
，若z的最大值为12，则k= 。

【知识点】简单线性规划．E5
【答案】6
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．此时z=x+y=12
由
20
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，解得
6
6
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，即A（6，6），同时A也在y=k上，∴k=6．故答案为：6
【思路点拨】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求K 的值．
16．已知数列{a n }中1
1*122
1
222,1,(),42
n n n n n n n
a a a a a a n N S a a ++++⎧≥⎪⎪===∈⎨⎪<⎪⎩ 是数列{a n }的前n 项和，则S 2015= 。

【知识点】数列求和D4 【答案】5239
【解析】因为1
1*122
1
222,1,(),42
n n n n n n
a a a a a a n N a a ++++⎧≥⎪⎪===∈⎨⎪<⎪⎩ 所以345672,4,4,2,1a a a a a =====，所以数列是以5为周期的数列，而20154035=⨯，
1234513a a a a a ++++=，所以2015403135239S =⨯=.
【思路点拨】先求出数列是以5为周期的数列，再求和即可。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分l2分）
在△ABC 中，a 、b ．c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且有（2c 一a ）cosB=bcosA 。

（I ）求角B 的值：
（Ⅱ）若△ABC 的面积为
b=7，求a+c 的值 【知识点】正弦、余弦定理，三角形的面积公式C8
【答案】（I ）
3
π
；（Ⅱ）13
【解析】（I ）已知等式利用正弦定理化简得：（2sinC ﹣sinA ）cosB ﹣sinBsinA=0， ∴2sinCcosB ﹣（sinAcosB+cosAsinB ）=2sinCcosB ﹣sin （A+B ）=2sinCcosB ﹣sinC=0， ∵sinC≠0，∴cosB=
12，则B=3
π
；
（Ⅱ）
11sin sin 223
S ac B ac π
===
40ac ∴=，
由余弦定理得2
2
4940a c =+-，
()2
22169a c a c ac ∴+=++=， 13a c ∴+=。

【思路点拨】（I ）已知等式利用正弦定理化简，整理后根据sinC 不为0求出cosB 的值，即可确定出B 的度数；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，将值代入得到关系式，再由三角形ABC 的面积，联立求出结果。

18．（本小题满分12分）
在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 、F 分别是BB1、AA 1、AC 的中点，
11
,2
AC BC AA AB ==
= （Ⅰ）求证：CD ∥平面BEF
（Ⅱ）求平面ACD 与平面A 1C 1D 所成二面角的大小
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角的平面角的大小G10 G11 【答案】（Ⅰ）连接A 1C
∵D 、E 、F 分别是BB 1、AA 1、AC 的中点 ∴A 1D ∥BF ，A 1C ∥EF
∵在平面A 1CD 中A 1D∩A 1C=A 1，在平面BEF 中BF∩EF=F ，
∴平面A 1CD ∥平面BEF ，而CD ⊂平面A 1CD ∴CD ∥平面BEF
（Ⅱ）设平面ACD 与平面A 1C 1D 所成二面角的棱为l ,
11//AC AC ,11//AC \平面ACD ,11//l AC
\, 依题意11AC ^平面11BCC B ,所以11AC CD ^,111AC C D ^,所以1,,l CD l C D ^^ 所以1CDC Ð是平面ACD 与平面A 1C 1D 所成二面角, D 是
1BB 的中点且11
2
AC BC AA ==
,
1CD C D \=,而12CC BC =,
1CD C D \^,1
2
CDC p \?, 即平面ACD 与平面A 1C 1D 所成二面角为2
p . 【解析】
【思路点拨】（I ）连接A 1C,结合直线与平面平行的判定定理即可;（Ⅱ）设平面ACD 与平面A 1C 1D 所成二面角的棱为l ,找出二面角的平面角1CDC Ð,计算即可. 19．（本小题满分12分）
据统计某校学生在上学路上所需时间最多不超过120分钟．该校随机抽取部分新入校的
学生就其上学路上所需时间（单位：分钟）进行调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图。

（I ）为减轻学生负担，学校规定上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在校内住
宿，请根据抽样数据估计该校600名新生中有多少学生可以申请在校内住宿；
（II ）从新入校的学生中任选4名学生，以频率分布直方图中的频率作为概率，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和期望．
【知识点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差I2 K6
【答案】（I ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：（0.0030+0.0021+0.0014）×20=0.13， 所以，该校600名新生中可申请在校内住宿的人数估计为600×0.13=78． （Ⅱ）X 取到的可能值为0,1,2,3,4，
由频率分布直方图知，每位学生上学所需时间少于20分钟的频率为1
0.012520
4
?， ()0
4
041381
044256
P X C 骣骣琪琪===
琪琪桫桫
; ()1
3
14
1
327
144256P X C 骣骣琪琪===
琪
琪桫
桫 ()2
2
241327244256
P X C 骣骣琪琪===
琪琪桫桫 ()3
1
34133
344256P X C 骣骣琪琪===
琪琪桫桫 ()4
44131444256
P X C 骣骣琪琪===
琪琪桫
桫
\X 的分布列为
()81272731
012341256256256256256
E X \=?
????
【解析】
【思路点拨】（I ）就是新生上学所需时间不少于1小时的频率，然后求解校600名新生中可申请在校内住宿的人数．（Ⅱ）X 取到的可能值为0,1,2,3,4，先由频率分布直方图求出每位学生上学所需时间少于20分钟的频率，再计算概率，然后列出分布列，最后求出期望。

20．（本小题满分12分）
已知点P 为y 轴上的动点，点M 为x 轴上的动点，点F （1，0）为定点，且满足
1
0,02
PN NM PM PF +=⋅=
（I ）求动点N 的轨迹E 的方程；
（II ）过点F 且斜率为k 的直线，与曲线E 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点C ，
使得2
2
2
CA CB AB +=成立，请说明理由，
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．H7 H8 【答案】（Ⅰ）设N （x ，y ），则由，得P 为MN 的中点．
∴，M （﹣x ，0）．
∴
，
．
∴
，即y 2=4x ．
∴动点N 的轨迹E 的方程y 2=4x ． （Ⅱ）设直线l 的方程为y=k （x ﹣1），由
，消去x 得
．
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 ，y 1y 2=﹣4．
假设存在点C （m ，0）满足条件，则，
，
∴
=
=
=．
∵
，
∴关于m 的方程
有解．
∴假设成立，即在x 轴上存在点C ，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立． 【解析】
【思路点拨】（Ⅰ）设出N 点的坐标，由已知条件可知P 为MN 的中点，由题意设出P 和M 的坐标，求出
和
的坐标，代入
•
可求动点N 的轨迹E 的方程；
（Ⅱ）设出直线l 的方程，和抛物线方程联立后化为关于y 的一元二次方程，由根与系数关系写出A ，B 两点的纵坐标的和与积，假设存在点C （m ，0）满足条件，则
，由|CA|2+|CB|2=|AB|2成立得到
，
代入坐标后得到关于m 的一元二次方程，分析知方程有解，从而得到答案． 21． （本小题满分12分） 已知函数()1(1)2
m
f x n x x =++
+ （I ）当函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线4y-x+1=0垂直时，求实数m 的值；
（Ⅱ）若0x ≥时，()1f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：*111
1(1)()35
(1)
n x n N n n +>
+++
∈+
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数证明不等式B11 B12 【答案】（Ⅰ）∵()
()2
111m
f x x x ¢=
-++，
∴函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线的斜率k=f′（0）=1-m ， ∵函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线与直线4y ﹣x+1=0垂直， ∴1-m=-4，∴m=5；
（Ⅱ）依题意不等式ln(1)12
m
x x ++
?+在x≥0时恒成立，即m≥x+2﹣（x+2）lnx 在x≥0时恒成立．令g （x ）=x+2﹣（x+2）lnx （x≥0），则g′（x ）=21
1ln(1)ln(1)11
x x x x x +-++
=-+-++，
∴x≥0时，g′（x ）＜0，∴函数g （x ）在[0，+∞）时为减函数，∴g （x ）≤g （0）=2，∴m≥2 即实数m 的取值范围是[2，+∞）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知x≥0时，
2ln(1)12x x ++?+成立，即有ln(1)2x x x +?+，令(
)*
1x k N k
=?,
则有1
1
ln(1)12k
k
k
+?
+，即
11
21
k k k +>+， 所以231
231ln(1)ln ...ln ln ...ln 1212n n n n n
骣++琪+=创?+++琪桫
11
1...3521n >++++ 【解析】
【思路点拨】（Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得到所求m 的值；（Ⅱ）不等式ln(1)12
m
x x ++
?+在x≥0时恒成立，即m≥x+2﹣（x+2）lnx 在x≥0时恒成立．令g （x ）=x+2﹣（x+2）lnx （x≥0），求出导数，求得单调区间，即可得到最大值，令m 不小于最大值即可．（Ⅲ）把不等式转化为11
21
k k k +>+，再结合裂项求和法即可。

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，如果多答按所答第一题评分。

22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，在正△ABC 中，点D ．E 分别在边BC, AC 上，且BD =1
3BC,CE=
1
3
CA ，AD ，BE 相交于点P ．
求证： （I ）四点P 、D 、C 、E 共圆；（II ）AP ⊥CP ．
【知识点】圆內接多边形的性质与判定．N1 【答案】（I ）在△ABC 中，由BD=
，CE=
，知：△ABD ≌△BCE ，…（2分）
∴∠ADB=∠BEC ，即∠ADC+∠BEC=π．所以四点P ，D ，C ，E 共圆．…（5分） （II ）如图，连结DE ．在△CDE 中，CD=2CE ，∠ACD=60°， 由正弦定理知∠CED=90°．…（8分） 由四点P ，D ，C ，E 共圆知，∠DPC=∠DEC ， 所以AP ⊥CP ．…（10分） 【解析】
【思路点拨】（I ）由已知条件推导出△ABD ≌△BCE ，由此能证明四点P ，D ，C ，E 共圆． （II ）连结DE ，由正弦定理知∠CED=90°，由四点P ，D ，C ，E 共圆知，∠DPC=∠DEC ，由此能证明AP ⊥CP ．
23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系xoy 中，曲线C l 方程为cos (1sin x y ααα=⎧⎨=+⎩
为参数，以O 为极点，x
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．C 2的极坐标方程为(cos sin )50ρθθ-+=． （I ）求曲线C l 的普通方程和C 2的直角坐标系方程；
（II ）设P 为曲线C l 上的任意一点，M 为C 2上的任意一点，求|PM|的取值范围． 【知识点】简单曲线的极坐标方程；两点间的距离公式．N3 【答案】（I ）x 2+（y ﹣1）2=1，x ﹣y+5=0；（Ⅱ）[]
【解析】（I ）由
（α为参数）转化成直角坐标方程得：
x 2+（y ﹣1）2=1 …（2分）
由ρ（cosθ﹣sinθ）+5=0．转化成直角坐标方程为：x ﹣y+5=0．…（5分） （II ）由（I ）知c 1为以（0，1）为圆心，1为半径的圆， ∵c 1的圆心（0，1）到c 2的距离d=
∴c 1和c 2没有公共点，∴，，
∴|PM|的取值范围是[
]…（10分）
【思路点拨】（Ⅰ）首先把圆的参数方程转化成直角坐标方程，再把极坐标方程转化成直角坐标方程．（Ⅱ）利用点到直线的距离与半径的比较来判断曲线间的位置关系，最后求出最值．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|1|||()f x x x a a R =-+-∈ （I ）当a=4时，求不等式()f x ≥5的解集；
（II ）若()f x ）≥4对a ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． 【知识点】带绝对值的函数；绝对值不等式．N4 【答案】（I ）{x|x≤0，或 x≥5 }；（Ⅱ）a≤﹣3，或a≥5
【解析】（Ⅰ）当a=4时，不等式f （x ）≥5，即|x ﹣1|+|x ﹣4|≥5，等价于 ，
，或
，或
．解得：x≤0或 x≥5．
故不等式f （x ）≥5的解集为 {x|x≤0，或 x≥5 }． …（5分）
（Ⅱ）因为f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣a|≥|（x ﹣1）﹣（x ﹣a ）|=|a ﹣1|．（当x=1时等号成立） 所以：f （x ）min =|a ﹣1|．…（8分）
由题意得：|a ﹣1|≥4，解得 a≤﹣3，或a≥5． …（10分） 【思路点拨】（Ⅰ）不等式即|x ﹣1|+|x ﹣4|≥5，等价于
，或
，或
，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f （x ）=|x ﹣
1|+|x ﹣a|≥|a ﹣1|，由题意可得|a ﹣1|≥4，即可解得 a 的值．。