复合函数多零点求参数范围
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2
–2
1
2
3
4
x
–2
g(t)
有 8 个不等的实数根
O
1
2
t
总结提升
＋
＋
＝
，
＋
− (＋ ) ＝，③对；
作出图形.
()＝，则 ＝.
由图可知
＜ ＜，＜ ＜.
则 ＞,切点( , − )．
∵
＝
对于④，
由上可知 ＝ − ，
＝ −
∴
∴
＝ − ．
＋ ＝ ＋ ＝，④对．
故答案为②③④
例3
指数函数+三角函数
∵ 2 − ＝ 2＋ ，且 为偶函数
4
， 结合“双勾”函数性质可画出函数()的简图．
t
＋1
t=t1
令＝()，等价于关于 t 的方程 2 ＋( − 3)＋＝0
t=t2
在区间(0，2)上有两个不等的实根．
＝( − 3) − 4＞0，
3−
0＜
＜2，
2
⇒
(0)＝＞0，
g(t)
2
则
(2)＝3 − 2＞0，
即实数的取值范围为
例1
已知函数 ＝
， ⩽
，若关于的方程 ＋ − ∙ ＋＝恰好
，＞
＋
有 6 个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________．
例2
例3
例1
二次函数+分式函数
2 ， ⩽ 0
已知函数 ＝
4
，若关于的方程 2 ＋ − 3 ∙ ＋＝0恰好
－
t
5
关于 x 的方程 f (x)－3f(x)＋a－1＝0(a∈R)有 8 个不等的实数根，
2
4
则 a 的取值范围是
3
2
令 t＝f(x)，由 f 2(x)－3f(x)＋a－1＝0，
得 t2－3t＋a－1＝0.
1
–4
–3
由关于 x 的方程 f (x)－3f(x)＋a－1＝0(a∈R)
–1
O
–1
画出函数 t＝f(x)，g(t)＝t2－3t＋a－1 的图象，如图所示．
∴
即
( − 2)＝(＋2).
()＝(＋4).
∴ 函数()是以 4 为周期的周期函数．
作出＝()，＝在同一坐标系的图象，如图．
∵ 方程 ＝ 至少有 8 个实数解，
∴
＝()，＝||图象至少有 8 个交点．
由图可知，
当＞0时，只需5 ⩽ 1， 即 0＜ ⩽
由图可知
＜ ＜，＜ ＜.
则 ＞,切点( , − )．
∵
对于③， 当＜＜时，()＝||＝ − ，
∴
′()＝ − ．
由题意得
消元
＝ −
＝ −
，
＝
＝
＝，
∴
则 a 的取值范围是
得 t2－3t＋a－1＝0.
令 t＝f(x)，
画出函数 t＝f(x)，g(t)＝t2－3t＋a－1 的图象，如图所示．
得关于 t 的二次方程 t2－3t＋a－1＝0 的有两个根 t1，t2，
g(t)
t
5
且 1<t1<2,
4
3
1<t2<2.
2
1
–4
–3
–2
–1
–1
–2
O
1
2
3
4
x
O
且 1<t1<2, 1<t2<2.
则
O
1
2
3
4
–2
Δ＝9－4a－1＝13－4a>0，
g1＝a－3>0，
g2＝a－3>0，
13
解得 3 < a < .
4
13
因此实数 a 的取值范围是3， 4 .
g(t)
O
1
2
t
x
பைடு நூலகம்e|x 1|，x>0，
已知函数 f(x)＝
－x2－2x＋1，x≤0，
－x －2x＋1，x≤0，
－
关于 x 的方程 f 2 (x)－3f(x)＋a－1＝0(a∈R)有 8 个不等的实数根，
则 a 的取值范围是
e|x 1|，x>0，
已知函数 f(x)＝
－x2－2x＋1，x≤0，
－
关于 x 的方程 f 2 (x)－3f(x)＋a－1＝0(a∈R)有 8 个不等的实数根，
消元
− ＝．
对于②，
＝ − ．
＜ ＜，不成立，①错；
因为 ＜ ＜，
又∵
＝ − ，
− ＝．
则 ＝| |＝，②对；
作出图形.
()＝，则 ＝.
，＞0
2
＋1
有 6 个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________．
2 ， ⩽ 0
已知函数 ＝
4
，若关于的方程 2 ＋ − 3 ∙ ＋＝0恰好
，＞0
2
＋1
有 6 个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________．
当＞0，()＝
则 a 的取值范围是
得 t2－3t＋a－1＝0.
令 t＝f(x)，
画出函数 t＝f(x)，g(t)＝t2－3t＋a－1 的图象，如图所示．
t
g(t)
5
4
3
2
O
1
–4
–3
–2
–1
–1
–2
O
1
2
3
4
x
1
2
t
e|x 1|，x>0，
已知函数 f(x)＝
－x2－2x＋1，x≤0，
－
关于 x 的方程 f 2 (x)－3f(x)＋a－1＝0(a∈R)有 8 个不等的实数根，
1
2
t
e|x 1|，x>0，
已知函数 f(x)＝
－x2－2x＋1，x≤0，
－
t
5
4
关于 x 的方程 f (x)－3f(x)＋a－1＝0(a∈R)有 8 个不等的实数根，3
2
则 a 的取值范围是
2
1
得关于 t 的二次方程 t2－3t＋a－1＝0 的有两个根 t1，t2，
–4
–3
–2
–1
–1
2
，1 ．
3
2
3 ＜＜1.
例2
一次函数+三角函数
作出图形.
()＝，则 ＝.
由图可知
＜ ＜，＜ ＜ .
则 ＞,切点( , − )．
∵
对于①， 若 ＝ ＋ ，
即
＝．
即
得
＝
由题意,得
＝
当＜0时，只需6 ⩾ −1，即
根据＝()，＝||的图象都为偶函数,
当＝0时，由图可知, 显然成立．
可知图象在 y 轴右侧至少有 4 个交点．
综上可知， −
1
1
⩽⩽
．
6
5
−
1
；
5
1
⩽ ＜0；
6
故选 B.
大展身手
e|x 1|，x>0，
已知函数 f(x)＝ 2
–2
1
2
3
4
x
–2
g(t)
有 8 个不等的实数根
O
1
2
t
总结提升
＋
＋
＝
，
＋
− (＋ ) ＝，③对；
作出图形.
()＝，则 ＝.
由图可知
＜ ＜，＜ ＜.
则 ＞,切点( , − )．
∵
＝
对于④，
由上可知 ＝ − ，
＝ −
∴
∴
＝ − ．
＋ ＝ ＋ ＝，④对．
故答案为②③④
例3
指数函数+三角函数
∵ 2 − ＝ 2＋ ，且 为偶函数
4
， 结合“双勾”函数性质可画出函数()的简图．
t
＋1
t=t1
令＝()，等价于关于 t 的方程 2 ＋( − 3)＋＝0
t=t2
在区间(0，2)上有两个不等的实根．
＝( − 3) − 4＞0，
3−
0＜
＜2，
2
⇒
(0)＝＞0，
g(t)
2
则
(2)＝3 − 2＞0，
即实数的取值范围为
例1
已知函数 ＝
， ⩽
，若关于的方程 ＋ − ∙ ＋＝恰好
，＞
＋
有 6 个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________．
例2
例3
例1
二次函数+分式函数
2 ， ⩽ 0
已知函数 ＝
4
，若关于的方程 2 ＋ − 3 ∙ ＋＝0恰好
－
t
5
关于 x 的方程 f (x)－3f(x)＋a－1＝0(a∈R)有 8 个不等的实数根，
2
4
则 a 的取值范围是
3
2
令 t＝f(x)，由 f 2(x)－3f(x)＋a－1＝0，
得 t2－3t＋a－1＝0.
1
–4
–3
由关于 x 的方程 f (x)－3f(x)＋a－1＝0(a∈R)
–1
O
–1
画出函数 t＝f(x)，g(t)＝t2－3t＋a－1 的图象，如图所示．
∴
即
( − 2)＝(＋2).
()＝(＋4).
∴ 函数()是以 4 为周期的周期函数．
作出＝()，＝在同一坐标系的图象，如图．
∵ 方程 ＝ 至少有 8 个实数解，
∴
＝()，＝||图象至少有 8 个交点．
由图可知，
当＞0时，只需5 ⩽ 1， 即 0＜ ⩽
由图可知
＜ ＜，＜ ＜.
则 ＞,切点( , − )．
∵
对于③， 当＜＜时，()＝||＝ − ，
∴
′()＝ − ．
由题意得
消元
＝ −
＝ −
，
＝
＝
＝，
∴
则 a 的取值范围是
得 t2－3t＋a－1＝0.
令 t＝f(x)，
画出函数 t＝f(x)，g(t)＝t2－3t＋a－1 的图象，如图所示．
得关于 t 的二次方程 t2－3t＋a－1＝0 的有两个根 t1，t2，
g(t)
t
5
且 1<t1<2,
4
3
1<t2<2.
2
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–4
–3
–2
–1
–1
–2
O
1
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x
O
且 1<t1<2, 1<t2<2.
则
O
1
2
3
4
–2
Δ＝9－4a－1＝13－4a>0，
g1＝a－3>0，
g2＝a－3>0，
13
解得 3 < a < .
4
13
因此实数 a 的取值范围是3， 4 .
g(t)
O
1
2
t
x
பைடு நூலகம்e|x 1|，x>0，
已知函数 f(x)＝
－x2－2x＋1，x≤0，
－x －2x＋1，x≤0，
－
关于 x 的方程 f 2 (x)－3f(x)＋a－1＝0(a∈R)有 8 个不等的实数根，
则 a 的取值范围是
e|x 1|，x>0，
已知函数 f(x)＝
－x2－2x＋1，x≤0，
－
关于 x 的方程 f 2 (x)－3f(x)＋a－1＝0(a∈R)有 8 个不等的实数根，
消元
− ＝．
对于②，
＝ − ．
＜ ＜，不成立，①错；
因为 ＜ ＜，
又∵
＝ − ，
− ＝．
则 ＝| |＝，②对；
作出图形.
()＝，则 ＝.
，＞0
2
＋1
有 6 个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________．
2 ， ⩽ 0
已知函数 ＝
4
，若关于的方程 2 ＋ − 3 ∙ ＋＝0恰好
，＞0
2
＋1
有 6 个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________．
当＞0，()＝
则 a 的取值范围是
得 t2－3t＋a－1＝0.
令 t＝f(x)，
画出函数 t＝f(x)，g(t)＝t2－3t＋a－1 的图象，如图所示．
t
g(t)
5
4
3
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O
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–4
–3
–2
–1
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O
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x
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t
e|x 1|，x>0，
已知函数 f(x)＝
－x2－2x＋1，x≤0，
－
关于 x 的方程 f 2 (x)－3f(x)＋a－1＝0(a∈R)有 8 个不等的实数根，
1
2
t
e|x 1|，x>0，
已知函数 f(x)＝
－x2－2x＋1，x≤0，
－
t
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4
关于 x 的方程 f (x)－3f(x)＋a－1＝0(a∈R)有 8 个不等的实数根，3
2
则 a 的取值范围是
2
1
得关于 t 的二次方程 t2－3t＋a－1＝0 的有两个根 t1，t2，
–4
–3
–2
–1
–1
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，1 ．
3
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3 ＜＜1.
例2
一次函数+三角函数
作出图形.
()＝，则 ＝.
由图可知
＜ ＜，＜ ＜ .
则 ＞,切点( , − )．
∵
对于①， 若 ＝ ＋ ，
即
＝．
即
得
＝
由题意,得
＝
当＜0时，只需6 ⩾ −1，即
根据＝()，＝||的图象都为偶函数,
当＝0时，由图可知, 显然成立．
可知图象在 y 轴右侧至少有 4 个交点．
综上可知， −
1
1
⩽⩽
．
6
5
−
1
；
5
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⩽ ＜0；
6
故选 B.
大展身手
e|x 1|，x>0，
已知函数 f(x)＝ 2