功和能2

由 F = dP ⇒ Fdt = dP （瞬时）
dt
过程：
t2
2
Fdt = dP = P2 − P1
∫ ∫ ( ) 质点的动量定理 t1 t2 Fdt
∫t1
1
= mv2 − mv1
m 不变
( ) F (t 2 − t1 ) = m v 2 − m v1 F 不变
( ) t2 Fdt
∫t1
=
m
t2
v
例 矿砂由料槽均匀落在水平运动的传送带上，落砂
流量 q = 50kg/s。传送带匀速运动，速率为 v = 1.5m/s.
求电动机拖动皮带的功率，这一功率是否等于单位时
间内落砂获得的动能？
解：设在 dt 时间内有 dm 的砂落在
皮带上，皮带对落砂的摩擦力为 f
v
fdt = dp = dm(v − 0), f = dm v = qv dt
F x2
x0 m1 x1 m1 (1)
m2
m2
m2
m2
1 2
k ( x0
+
x1 ) 2
=
1 2
kx2 2
+
m1 g ( x1
+
x2
+
x0 )
m1g = kx0
F + m1g = k(x1 + x0 )
kx2 = m2 g
F = (m1 + m2）g
复习
b
b
A = ∫ F ⋅ dr = ∫ F cosθ ds
R/Re 0.27 0.38 0.53 1.00
v e ( km s )
2.4 4.3 5.06 11.2
大气压强（105 pa )
无 无 0.008 1.0
可见星球大气层的情况尽管与很多因素有关，但与 逃逸速度的大小有密切的关系。显然，逃逸速度太小的 星球是不可能有大气的。
黑洞
若：ve =
2GM ≥ r
解：
Nx mg
v y v′
αα
x
NxΔt = mv sinα mv sinα
(N y mg )Δt = mv cosα ( mv cosα )
解得：Nx = 0
Ny
=
2mv cosα
Δt
+ mg=
2.2
(
N
)
∵ mg = 2 ×10−3 ×10 = 2 ×10−2 << N y
∴ 碰撞过程重力可忽略
例： m v人船
lM
求：人从船尾走到船头时， x 船移动的距离。
V船岸
解： {m, M } ∵ Fx = 0 ∴ Px恒定
即：0＝mv + M (−V ) ⇒ V = m v
M
S船岸＝V
⋅ Δt
=
m M
v ⋅ Δt
=
m M
l
动量定理及动量守恒定律仅适用于惯性系,且定理、定律中
各速度都必须对同一个惯性系。
=
(1
2
m1v12
+
1 2
m2v22 )
−
(1
2
m1v120
+
1 2
m2v220 )
=
1 2
(1− e2 )
m1m2 m1 + m2
(v10
−
v20 )2
冲击摆——一种测量子弹速度的装置 求子弹的初速 v0
θ
过程一：{m, M }: 动量守恒
mM
mv0 = (m + M )v (1)
v0
m
M
h
m
2
−
mv1
m 不变
Fdt
∫ 平均冲力： F = t1
= mv2 − mv1
t2 − t1
t2 − t1
讨论
直角坐标系中的分量式( 二维 ):
∫ Ix =
F t2
t1 x
⋅ dt
=
P2 x
−
P1 x
∫ I y =
F t2
t1 y
⋅
dt
=
P2 y
−
P1 y
[例] 已知：m 在水平面内作半径为R 的匀速圆周运动
(R, v) 已知，
求：(1) A 到 B 时动量的改变，
(2) 向心力平均值及方向。
解：(1) Δp = mvB − mv A
= −mvj − mvj = − 2 mv j
(2) F = p2 − p1 = Δp t2 − t1 Δt
y vA
B O
Ax
vB
=
− 2mvj
πR / v
= − 2mv 2
动量守恒： m1v1 + m2v2 = m1v10 + m2v20
动能守恒：1
2
m1v12
+
1 2
m2v22
=
1 2
m1v120
+
1 2
m2v220
(1)
（2）
(1) (2)
⎪⎪⎧v1 ⎨ ⎪⎪⎩v2
= =
(m1 − m2 )v10 + 2m2v20
m1 + m2 (m2 − m1)v20 + 2m1v10
讨论：
1. 当合外力为零，或外力与内力相比小很多（如爆炸 过程），这时可忽略外力，仍可应用动量守恒。
2. 合外力沿某一方向为零，则该方向动量守恒
∑ 如: 当Fx = 0
Pix = 常数
3. 只适用于惯性系
i
例: 一种实验小车质量为M，摆球质量为m,轻摆杆长 为L，摆从水平位置自由下摆，求到达最低点时小车 和摆球的速度V和v. 计算中忽略摩擦.
正确解： 0＝mu人岸 + M (−V ) = m(v −V ) + M (−V )
S船岸＝V
⋅ Δt
=
m m+M
v ⋅ Δt
=
m m+M
l
V= m v m+M
例 质量M, 倾角 , 高h的斜面放在光滑水平面上, 另有一
质量m的滑块沿斜面无摩擦地滑下,当m从斜面顶部滑到
底部时, 斜面V＝?
设滑块相对斜面υ, 斜面对地V
(2).完全非弹性碰撞 m1v1 + m2v2 = m1v10 + m2v20 v1 = v2 = v
v
=
m1v10 m1
+ +
m2v20 m2
e = v2 − v1 = 0
v10 − v20
ΔEk
=
1 2
(m1
+ m2 )v2
−
(
1 2
m1v120
+
1 2
m2v220
)
=
m1m2 (v10 − v20 )2 2(m1 + m2 )
(impulse and theorem of momentum)
牛顿第二定律 F = ma 给出物体所受合外力与加速 度之间的瞬时关系。 物体在力的持续作用下，力对物体将产生累积效应。
这种累积效应有两种： 1) 力的时间累积效应，如：冲量 ，冲量矩 2) 力的空间累积效应，如：功 A= F • dr 已讨论 一. 动量（ momentum ）
P = mv
动量由物体的m和 v 两个因素决定，
动量性质：矢量性，瞬时性, 相对性。
二 . 冲量（impulse）
定义 : 冲量 I = F Δt （ F为恒力）
∫ I = t2 Fdt （F为变力） t1
力在一段时间内持续作用的效果，是由力 F 和力
的作用时间Δt 两个因素决定的。
三 . 动量定理 （theorem of momentum ）
关于机械能守恒条件和动量守恒条件有以下几种 说法，其中正确的是：（ C ）
（A）不受外力作用的系统，其动量和机械能必然同 时守恒。
（B）所受合外力为零，内力都是保守力的系统，其 动量和机械能必然同时守恒。
（C）不受外力，而内力都是保守力的系统，其动量 和机械能必然同时守恒。
（D）外力对一个系统所做的功为零，则该系统的机 械能和动量必然同时守恒。
2GM = C rS
rS — —史瓦西半径或引力半径 C — —光速
则该体系中任何物体（包括光子，即电磁波）都逃不出去
——外界不能看见它——“黑”
任何物体一旦进入该体系的强引力区域，就永远不可能再逃出去
——“无底洞”
∗地球的rSe C =
2GM e rSe
⇒ rSe
= 0.9cm
冲量与动量定理
f2
m1:
F1 +
f1 =
d P1 dt
m2:
F2 +
f2
=
dP2 dt
由于 f1 = − f2
( ) F1
+
F2
=
d dt
P1 + P2
质点系的动量定理表明，一个系统总动量的变化仅 决定于系统所受的外力，与系统的内力无关。
动量守恒定律 （law of conservation of momentum)
解: 取 m, M, 地球作为一个系统,
水平方向不受外力, 水平动量守 恒，另外整个过程只有保守力( 重力)作功, 整个过程机械能守恒
L
m
v
M
V
水平动量守恒: - mv + MV = 0
机械能守恒：
1 2
mv
2
+
1 MV2
2
=
mgL
解之得： v = M ⋅ 2gL
m+M
V=
m2 ⋅2gL
M(m+ M)
过程二： {m, M ,地}
机械能守恒
v
(m + M )gh = 1 (m + M )v2 (2)
2
（1） （2）
v0
=
m
+M m
2gl (1 − cos θ )
[ 例 ] 一小球与地面碰撞m =2×10-3kg ,α = 600,
v = v ´=5.0 m.s-1, 碰撞时间t =0.05s
求:平均冲力。 Ny
a( L)
a( L)
1. 一对力所做的功，等于其中一个物体所受的力
沿两物体相对移动的路径所做的功。
2. 保守力所作的功等于势能增量的负值
AAB = EPA − EPB = −ΔEP (势能差)
要想求出某点势能值，则应规定一势能零点
3.功能原理 A外 + A内非 = EB − EA = ΔE
外力和非保守内力做的功等于系统机械能的增量. 4. 机械能守恒定律
电动机驱动力 F = -f ' = f ，
dN f
gdm
功率 P = Fv = qv2 = 50×1.52 = 113W f ' N' F
单位时间落砂获得动能
N Mg
dEk = 1 dm⋅v2 dt = 1 qv2 = P 二者差值转力的星际空间加速飞行，因
而不受任何外力的作用，设火箭某一时刻的质量为
M，喷出的气体相对火箭的速率为 u，且保持不
变，求：火箭在任一时刻的速度。
解：初态动量 P0 = MV u t
u t + dt
末态动量
dm M , v
火箭 P1 = （M–dm）(V+dV)
M − dm ,v + dv
气体 P2 = dm(V+dV – u) V气地 = V气箭 + V箭地
只有保守内力做功时系统机械能守恒
[例] 计算第二宇宙速度
使物体m脱离地球引力需的最小速度
E = E0
⇒
0
=
1 2
mv22
−
G0
mem Re
⇒v2 =
2G0me Re
逃逸速度（ve =
2GM ) : R
气体分子欲逃脱星球的引力所需的速度。
星球的逃逸速度与大气层
星球
月球
水星 火星
地球
M/Me 0.012 0.056 0.108 1.00
πR
j
F 方向沿 − j ，大小为 2 mv 2
πR
质点系的动量定理 （theorem of momentum for system of particles)
质点系的动量定理
m1 , m2 系统 :
内力: 外力:
f1 , f2 F1 , F2
分别运用牛顿第二定律:
F1 f1
m1
二式相加,
F2
m2
m1 + m2
讨论：
⇒ e = v2 − v1 = 1 v10 − v20
1. 若:m1=m2 则:v1=v20,v2=v10 速度互换
2.若:v20 = 0 且
m1 = m2 则：v1 = 0 v2 = v10 m1 >> m2 则：v1 = v10 v2 = 2v10
m1 << m2 则：v1 = −v10 v2 = 0
υm
{(A) mgh = 1 mυ 2 2
αM
V
mυ cosα − MV = 0
{(B)
mgh
P0 = P1 + P2 MV= （M–dm）(V+dV)+ dm(V+dV – u)
MV= MV–Vdm + MdV– dmdV+Vdm +dmdV– udm
MdV = udm dm = – dM MdV= – udM
MdV = – udM dV = − u dM M
设 t = 0 时，火箭速度为V0, 质量为 M0
F x2 m1
m1 x1 F
【例2-5】问: F力为多大,才能使 力突然撤除时,上面板跳起,并能
m1
使下面的板刚好被提起？
(2)
(1)
解: 以m1、m2、弹簧、地球为系统
m2
m2
m2
E1=E2
1 2
kx12
=
1 2
kx2 2
+
m1 g ( x1
+
x2 )
F = kx1
F
kx2 = m2 g
m1 (2)
∫ 由质点的动量定理
t2
Fdt = P2 − P1
t1
当合外力 F = 0时 P = 常矢量
质点动量守恒定律：若质点所受合外力为零，
则质点的总动量不随时间改变
∑ ∑ ∑ ∑ 其中 p2 = pi2 = mivi2 p1 = pi1 = mivi1
i
i
i
i
质点动量守恒定律：
当合外力 F = 0时 P = 常矢量 末动量=初动量
∫ ∫ V
M
dV = − u
1 dM
V0
M0 M
V
= V0
+
u ln
M0 M
碰碰 撞撞
正碰—碰撞前后其速度均在同一条直线上
一、恢复系数：
def
e=
v2 − v1
v10 − v20
v10 v20
m1 m2
碰前
f1
f2
碰时
v1 v2
m1 m2
碰后
二、三种不同类型碰撞的分析 （光滑面上的正碰）
(1).完全弹性碰撞
(3).非完全弹性碰撞
m1v1 + m2v2 = m1v10 + m2v20