人教新课标A版高中数学高一必修4课件向量加法运算及其几何意义

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解 设A→B，B→C分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞
行 800 km，从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km，
则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|； 两次飞行的位移的和指的是A→B＋B→C＝A→C. 依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600(km)，
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跟踪演练2 下列命题
①如果a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b
之一的方向相同； ②△ABC 中，必有A→B＋B→C＋C→A＝0； ③若A→B＋B→C＋C→A＝0,则 A、B、C 为一个三角形的三个顶点；
④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
预习导学
[知识链接]
挑战自我，点点落实
1.两个向量相加就是两个向量的模相加吗？ 答 不是.两个向量的和仍是一个向量，所以两个向量相加 要注意两个方面，即和向量的方向和模.
又∵BP＝QC 且B→P与C→Q方向相反， ∴B→P＋C→Q＝0， ∴A→P＋A→Q＝A→B＋A→C， 即A→B＋A→C＝A→P＋A→Q.
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课堂小结
1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法， 两个法则是统一的.当两个向量首尾相连时常选用三角形法 则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则. 2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运 算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.
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∵M→A＋M→B＝M→N， ∴四边形MANB为菱形.则∠AMN＝60°， ∴△AMN为等边三角形. 在△MNB 中，|B→N|＝|M→N|＝|M→B|＝10， ∴∠BMN＝60°，而∠CMN＝30°，∴∠CMB＝30°， 所以小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西30°.
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
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规律方法 解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步 骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→ 用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题—作出解答.
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跟踪演练3 已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是 多少？ 解 小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km/h； 小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h，此时小 船是静止的.
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4.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP
＝QC. 求证：A→B＋A→C＝A→P＋A→Q. 证明 ∵A→P＝A→B＋B→P，A→Q＝A→C＋C→Q， ∴A→P＋A→Q＝A→B＋A→C＋B→P＋C→Q.
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(2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30°有一码头N，小船 的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流) 解 如图所示，设M→A表示水流的速度， M→N表示小船实际过河的速度.
设MC⊥MA， |M→A|＝|M→B|＝10，∠CMN＝30°.
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
第二章——
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
[学习目标]
1.理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用 这两个法则作两个向量的加法运算. 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能根据几何意义作图解释加 法运算律的合理性.
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
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跟踪演练1 如图，E、F、G、H分别是梯形 ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，化简 下列各式： ①D→G＋E→A＋C→B； 解 D→G＋E→A＋C→B＝G→C＋B→E＋C→B＝G→C＋C→B＋B→E
＝G→B＋B→E＝G→E；
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2.2.1 向量加法运算及其几何意义
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对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a. (2)平行四边形法则 如图所示，已知两个不共线向量 a，b，作O→A＝ a，O→B＝b，则 O、A、B 三点不共线，以OA ， OB 为邻边 作 平行四边形 ，则对角线上的向量O→C＝a＋b，这个法则叫
做两个向量求和的平行四边形法则.
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
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2.下列等式不正确的是( B ) ①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②A→B＋B→A≠0；
③A→C＝D→C＋A→B＋B→D.
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A.②③
B.②
C.①
D.③
解析 ①满足向量加法的结合律，①正确. A→B＋B→A＝0，②不正确. D→C＋A→B＋B→D＝D→C＋(A→B＋B→D)＝D→C＋A→D＝A→D＋D→C＝A→C，
量的方法证明：四边形AECF也是平行四边形. 证明 A→E＝A→B＋B→E，F→C＝F→D＋D→C. 又∵A→B＝D→C，B→E＝F→D，
∴A→E＝F→C，即 AE、FC 平行且相等，
∴四边形AECF是平行四边形.
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规律方法 用向量证明几何问题的一般步骤： (1)要把几何问题中的边转化成相应的向量； (2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系.
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[预习导引] 1.向量的加法法则 (1)三角形法则 如图所示，已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作A→B
＝a，B→C＝b，则向量A→C叫做 a 与 b 的和(或和向量)，记作 a
＋b，即 a＋b＝A→B＋B→C＝A→C.上述求两个向量和的作图法则，
叫做向量求和的三角形法则.
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②E→G＋C→G＋D→A＋E→B. 解 E→G＋C→G＋D→A＋E→B＝E→G＋G→D＋D→A＋A→E＝E→D＋D→A＋ A→E＝E→A＋A→E＝0.
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要点二 利用向量证明几何问题 例2 在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及
反向延长线上，取点F、E，使BE＝DF(如图).用向
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
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所以 | AC | | AB |2 | BC |2
＝ 8002＋8002＝800 2(km). 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小 为 800 2 km，方向为北偏东 80°.
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解析 ①A→D＋A→B＝A→C，
②C→D＋A→C＋D→O＝C→O＋A→C＝A→O， ③A→B＋A→D＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D， ④A→C＋B→A＋D→A＝D→C＋B→A＝0. 答案 ①A→C ②A→O ③A→D ④0
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规律方法 (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注 意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别 注意勿将0写成0. (2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其 和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.
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当堂检测
当堂训练，体验成功
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1.已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( A )
A.与向量a方向相同
B.与向量a方向相反
C.与向量b方向相同
D.与向量b方向相反
解析 a∥b且|a|>|b|>0，所以当a、b同向时，a＋b的方向与
a相同，当a、b反向时， ∵|a|>|b|，∴a＋b的方向仍与a相同.
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(3)在平行四边形ABCD中(如图)，对角线AC、BD交于点O. 则①A→D＋A→B＝________；
②C→D＋A→C＋D→O＝________；
③A→B＋A→D＋C→D＝________；
④A→C＋B→A＋D→A＝________.
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
其中真命题的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
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解析 如果a，b的方向相同则a＋b的方向必与a，b相同.如 果a，b的方向相反，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，若 |a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，若|a|＝|b|，则a＋b＝0，它 的方向任意，所以①错误；②正确； 若A→B＋B→C＋C→A＝0，则 A，B，C 可能三点共线；所以③错
③正确.
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
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3.设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，
化(1)简D→E下＋列E→各A＝式_：__D_→_A___；
(2)B→E＋A→B＋E→A＝___0___； (3)D→E＋C→B＋E→C＝___D→_B____；
(4)B→A＋D→B＋E→C＋A→E＝___D→_C____.
误；④错误.
答案 B
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
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要点三 向量加法的实际应用 例3 如图所示，在抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东 35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地 按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机 飞行的路程及两次位移的和.
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
解析 C→D＋B→C＋A→B＝(A→B＋B→C)＋C→D ＝A→C＋C→D＝A→D.
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(2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝____0____. 解析 A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝(A→B＋B→C)＋(C→D＋D→F)＋F→A ＝A→C＋C→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0.
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
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2.向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？ 答 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联 系.区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形 法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的 两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个 向量求和.联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形 法则和平行四边形法则是统一的.
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
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2.向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
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课堂讲义
重点难点，个个击破
要点一 向量的加法运算 例 1 化简或计算：(1)C→D＋B→C＋A→B＝___A→_D____.