数列的极限

2
将每天截后的木棒排成一 列
1 1 1 , , , 2 4 8
1 ⋅⋅⋅ , n 2
⋅⋅⋅ → 0
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定义 + 如果按照某一法则， 如果按照某一法则， 对每个 n ∈ N，对应着一个确定的实数 对应着一个确定的实数
xn ,
这些实数 xn 按照下标n从小到 排列得到一个序列 按照下标 从小到
假设数列 { xn } 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取
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ε = 1 , 则存在 2
N , 使当 n > N 时 , 有
a − 1 < xn < a + 1 2 2
但因
xn
交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间 ( a − 1 , a + 1 ) 内, 因此该数列发散 . 2 2
11
ε = a , 则 ∃N ∈ N + , 当 n > N 2 a a a xn >a − = > 0 xn − a < 2 2 2
≥ 0 (≤ 0) 且 lim xn = a , n →∞
推论: 若数列 {x n }从某项起 xn 推论: 则a
≥ 0 (a ≤ 0).
(用反证法证明) 用反证法证明)
q
故
n −1
−0 <ε
n −1
lim q
n →∞
=0
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二、收敛数列的性质
定理1 极限的唯一性） 定理1（极限的唯一性）如果数列
{x n } 收敛，那么它的极限唯一. 极限唯一. 收敛，那么它的极限唯一
用反证法. 证: 用反证法. 假设 lim x n = a 及 lim xn = b , 且 n→ ∞ n →∞ 取ε
x1 , x2 , x3 , ⋅⋅⋅, xn , ⋅⋅⋅
3 数 列 的 概 念
就叫做数列 就叫做数列， 记为 数列
{ xn }
数列中的每一个数叫做数列的项 数列中的每一个数叫做数列的项， 第n项 项 叫做数列的一般项 一般项。 xn 叫做数列的一般项。
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n 1 2 3 (1) , , , ⋅⋅⋅, , ⋅⋅⋅; 2 3 4 n +1
的极限为 0 . 证: xn − 0 = q
n −1
−0 = q
n −1
∀ ε ∈ (0,1) , 欲使
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xn − 0 < ε , 只要 q
n −1
<ε, 即
ln ε (n − 1) ln q < ln ε , 亦即 n > 1 + . ln q ln ε 因此 , 取 N = 1 + , 则当 n > N 时,就有 ln q
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a < b.
= b − a , 因 lim xn = a , 2
n →∞
故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
xn − a < b − a , 从而 xn < 2
同理, 因 同理,
a +b 2
lim xn = b ,
n →∞
故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
a +b 2
xn − b < b − a , 从而 xn > 2
第二节 数列的极限
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一、数列极限的定义 战国时代哲学家庄周所著的《庄子。天下篇》 战国时代哲学家庄周所著的《庄子。天下篇》引用过一句话 也就是说: 一尺之棰，日取其半，万世不竭。 也就是说: ：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” “一根一尺 长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直 一根一尺 长的木棒，每天截去一半， 无限制的进行下去. 无限制的进行下去.”
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例 已知 证:
证明
xn − 0 =
∀ ε ∈ (0,1) , 欲使
6取
N = [ − 1] , 则当
1
ε
n > N 时,
1 1 < = 2 (n + 1) n +1 1 < ε , 即 n > 1 − 1. 只要 n +1 ε
就有 也可由 取
xn − 0 < ε ,
xn − 0 =
1
故
(−1) n lim xn = lim =0 n →∞ n →∞ ( n + 1) 2
有关, 但不唯一. 有关, 但不唯一.
1 ( n +1)2
说明: N 与 ε 说明:
N =[
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ε
−1 ]
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不一定取最小的 N .
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2 n −1 例 设 q < 1 , 证明等比数列 1 , q , q ,L , q ,L
(−1 ) n+1} 虽有界但不收敛 . 数列 {
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定理3、（ 收敛数列的保号性） 定理3 收敛数列的保号性） 若
lim xn = a , 且 a > 0 (< 0) , 则 ∃ N ∈ N + ,当 n > N
n →∞
时, 有 xn > 0 (< 0). 证: 对 a > 0 ,取 ,取
, ⋅⋅⋅
n + (−1) n −1 n
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定义
设 为一数列, 如果存在常数 a 有下列关系 : 为一数列, 当 n > N 时, 总有
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则称该数列
的极限为a, 极限为 或
记作
lim x n = a
n→∞
xn → a (n → ∞)
此时也称数列收敛 否则称数列发散 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .
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xn = ( xn − a) + a ≤ xn − a + a < 1 + a
取 M = max
{
x1 , x2 , L , x N , 1 + a
}
则有
xn ≤ M ( n = 1 , 2 , L ) .
说明: 说明:
由此证明收敛数列必有界. 由此证明收敛数列必有界. 例如, 例如,
此性质反过来不一定成立 .
内容小结 1. 数列极限的 “ ε – N ” 定义及应用
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收敛数列的性质: 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 保号性;
任一子数列收敛于同一极限
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定理2、（收敛数列的有界性） 定理2、（收敛数列的有界性） 收敛数列的有界性 如果数列 {x n }收敛，那么数列 {x n }一定有界。 收敛， 一定有界。 证: 设 lim xn = a ,
n →∞
取
ε =1,
则 ∃ N , 当 n > N 时,
有 xn − a < 1, 从而有
取 N = max { N1 , N 2 } , 则当 n > N 时,xn满足的不等式
矛盾. 故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一. 矛盾. 因此收敛数列的极限必唯一.
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例、 证明数列 xn = ( −1) 证: 用反证法. 用反证法.
n +1
是发散的. (n = 1, 2, L ) 是发散的.
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定理4、（收敛数列的与其子数列的关系） 定理4、（收敛数列的与其子数列的关系） 收敛数列的与其子数列的关系 那么它的任意子数列也收敛 收敛， 如果数列 {x n }收敛于a那么它的任意子数列也收敛， 且极限也是a。 证:
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设数列 {xn
n→∞ n →∞
} k
是数列 {xn } 的任一子数列2, 4,8, ⋅⋅⋅, 2 , ⋅⋅⋅;
n
4
2
n
1 1 1 1 (3) , , , ⋅⋅⋅, n , ⋅⋅⋅; 2 4 8 2
(4)1, −1,1, ⋅⋅⋅, (−1) , ⋅⋅⋅;
n+1
1 n 2
(−1)
n+1
1 4 n + (−1) (5)2, , , ⋅⋅⋅, 2 3 n
n −1
若 lim x n = a ,
则
∀ ε > 0, ∃ N , 当 n > N 时, 有 nK ≥ N , 于是当 k > K 时, 有
xn − a < ε
现取正整数 K , 使
nk >
从而有
nK ≥ N
由此证明
xnk − a < ε ,
lim x n k = a .
k →∞
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