九年级数学(上册)1特殊平行四边形单元测试(一)特殊平行四边形(新版)北师大版

单元测试(一) 特殊平行四边形
(满分：150分，考试用时120分钟)
一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分)
1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝8，则CD的长是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
2．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝( )
A．20° B．40° C．80° D．100°
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是( )
A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如果要证明ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( )
A．AB＝AD且AC⊥BD B．AB＝AD且AC＝BD
C．∠A＝∠B且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分
6．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )
A．10 B．8 C．6 D．5
7．在正方形ABCD中，AB＝12，对角线AC，BD相交于点O，则△ABO的周长是( )
A．12＋12 2 B．2＋6 2
C．12＋ 2 D．24＋6 2
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为( ) A．16a B．12a
C．8a D．4a
A．8 B．4 2
C．8 2 D．16
10．下列命题中，错误的是( )
A．平行四边形的对角线互相平分
B．菱形的对角线互相垂直平分
C．矩形的对角线相等且互相垂直平分
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
11．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( )
A．AB＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°
12．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，则∠DAF＝( )
A．40° B．35°
C．20° D．15°
13．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )
A．75° B．60° C．55° D．45°
14．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝( )
A. 2 B．2 C. 6 D．2 2
15．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A．AB＝BE B．DE⊥DC
C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)
16．如图，菱形ABCD的一条对角线的中点O到AB的距离为2，那么O点到另一边的距离为________．
17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠A CB＝30°，则∠AOB的大小为________度．
18．如图所示，已知ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明ABCD是矩形的有________(填写序号)．
19．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是________________．
20．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________度．
三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)
21．(8分)如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86 cm，对角线长是13 cm，那么矩形的周长是多少？
22．(8分)如图，四边形ABCD中，AB＝CD，∠BAD＋∠ADC＝180°，AC与BD相交于点O，△AOB是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形．
23．(10分)如图，已知正方形ABCD，延长AB到E，使AE＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为92，
24.(12分)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E.
(1)求∠ABD的度数；
(2)求线段BE的长．
25．(12分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G.
(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；
(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．
26．(14分)以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，求线段AB的最小值．
27．(16分)已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
(1)求证：△ABM≌△DCM；
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
(3)当AD∶AB＝________时，四边形MENF是正方形．
参考答案
1.C
2.C
3.B
4.A
5.B
6.D
7.A
8.C
9.A 10.C 11.B 12.C 13.B 14.A 15.B 16.2 17.60 18.①
④19.AC＝BD或AB⊥BC 20.22.5
21.∵△AOB、△BOC、△COD和△AOD四个小三角形的周长和为86 cm，且AC＝BD＝13 cm，
∴AB＋BC＋CD＋DA＝86－2(AC＋BD)＝86－4×13＝34(cm)，
即矩形ABCD的周长是34 cm.
22.证明：∵∠BAD＋∠ADC＝180°，
∴AB∥CD.又∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵△AOB是等边三角形，
∴2AO ＝2BO ，即AC ＝BD. ∴四边形ABCD 是矩形． 2 23.设正方形的边长为x ，
∵AC 为正方形ABCD 的对角线，
∴AC ＝2x.
∴S 菱形AEFC ＝AE ·CB ＝2x ·x ＝2x 2
.
∴2x 2
＝9 2. ∴x 2
＝9.
∴x ＝±3.舍去x ＝－3. ∴正方形边长为3.
24.(1)在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，∠A ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形． ∴∠ABD ＝60°.
(2)由(1)可知BD ＝AB ＝4， 又∵O 为BD 的中点， ∴OB ＝2.
又∵OE ⊥AB ，∠ABD ＝60°， ∴∠BOE ＝30°. ∴BE ＝1
2
OB ＝1.
25.(1)由图可知，∠DAG ，∠AFB ，∠CDE 与∠AED 相等． (2)选择∠AFB ＝∠AED ，证明如下： ∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠DAB ＝∠B ＝90°，AB ＝AD.
在Rt △BAF 和Rt △ADE 中，⎩
⎪⎨⎪⎧BA ＝AD ，
AF ＝DE ，
∴Rt △BAF ≌Rt △A DE(HL)．
∴∠AFB ＝∠AED.
26.∵四边形CDEF 是正方形，
∴∠OCD ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD. ∵AO ⊥OB ， ∴∠AOB ＝90°.
∴∠AOC ＋∠AOD ＝90°，∠AOD ＋∠BOD ＝90°. ∴∠AOC ＝∠BOD.
∵在△COA 和△DOB 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠OCA ＝∠ODB ，OC ＝OD ，∠AOC ＝∠BOD ，
∴△COA ≌△DOB.
∴OA ＝OB.
∵∠AOB ＝90°，
∴△AOB 是等腰直角三角形．
由勾股定理得AB ＝OA 2
＋OB 2
＝2OA ， 要使AB 最小，只要OA 取最小值即可， 根据垂线段最短，OA ⊥CD 时，OA 最小， ∵四边形CDEF 是正方形， ∴FC ⊥CD ，OD ＝OF ＝OC.
∴OA ＝1
2
CF ＝1.
∴AB ＝ 2.
∴AB 的最小值为 2.
27.(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，∠A ＝∠D ＝90°. 又∵M 是AD 的中点， ∴AM ＝DM.
在△ABM 和△DCM 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝CD ，∠A ＝∠D ，AM ＝DM ，
∴△ABM ≌△DCM(SAS)．
（2）四边形MENF 是菱形．
证明：∵E ，F ，N 分别是BM ，CM ，CB 的中点， ∴NE ∥MF ，NE ＝MF.
∴四边形MENF 是平行四边形． 由(1)，得BM ＝CM ， ∴ME ＝MF.
∴四边形MENF 是菱形．
（3）当AD ∶AB ＝2∶1时，四边形MENF 是正方形．理由： ∵M 为AD 中点， ∴AD ＝2AM.
∵AD ∶AB ＝2∶1， ∴AM ＝AB. ∵∠A ＝90°，
∴∠ABM ＝∠AMB ＝45°. 同理：∠DMC ＝45°.
∴∠EMF ＝180°－45°－45°＝90°. ∵四边形MENF 是菱形， ∴四边形MENF 是正方形． 故答案为2∶1.。