十字相乘法

十字相乘法分解因式之樊仲川亿创作
因式分解一般要遵循的步调
多项式因式分解的一般步调：先考虑能否提公因式，再考
虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一
个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步调反复进行．以上
步调可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公
式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结
果应是乘积式”．
（1）多项式c bx ax ++2，称为字母的二次三项式，其中称为二次
项，为一次项，为常数项．
例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．
（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把看作常数，就是关于的二次
三项式；如果把看作常数，就是关于的二次三项式．
（3）在多项式37222+-ab b a 中，把看作一个整体，即 ，就是关于
的二次三项式．同样，多项式
12)(7)(2++++y x y x ，把看作一个整体，就是关于的二次三项式．
(1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++
方法的特征是“拆常数项，凑一次项”
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号
与一次项系数的符号相同；
当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值
较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
例1、 因式分解。

分析：因为
7x + (-8x) =-x
解：原式=（x+7）（x-8）
例2、 因式分解。

分析：因为
-2x+（-8x ）=-10x
解：原式=（x-2）（x-8）
(2)对于二次项系数不是1的二次三项式
c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=
它的特征是“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然
后再看常数项；
常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系
数的符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意防止以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
例3、因式分解。

分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。

因为
9y + 10y=19y
解：原式=（2y+3）（3y+5）
例4、因式分解。

分析：因为
21x + (-18x)=3x
解：原式=（2x+3）（7x-9）
例5、因式分解。

分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。

因为
-25（x+2）+[-4(x+2)]= -29（x+2）
解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]
=（2x-1）（5x+8）
例6、 因式分解。

分析：该题可以先将（）看作一个整体进行十字相乘法
分解，接着再套用一次十字相乘。

因为
-2+[-12]=-14 a + (-
2a)=-a 3a +（-4a ）=-a
解：原式=[-2][ -12]
=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)
从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因
式十分方便，大家一定要熟练掌握。

但要注意，其实不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如
在实数范围内就不克不及再进一步因式分解了 二、典型例题
例1 把下列各式分解因式：
(1)
1522--x x ；
(2)2265y xy x +-． 例2 把下列各式分解因式：
(1)
3522--x x ；
(2)3832-+x x ． 例3 把下列各式分解因式：
(1)91024+-x x ；(2)
)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； (3)120)8(22)8(222++++a a a a ．
例4 分解因式：
90)242)(32(22+-+-+x x x x ． 例5 分解因式653856234++-+x x x x ．
例6 分解因式
655222-+-+-y x y xy x ． 例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．
例8、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多
项式的其他因式．
把下列各式分解因式：
(1)22157x x ++(2)2384a a -+(3)2576x x +-(4)261110y y --
(5)2252310a b ab +-(6)222231710a b abxy x y -+(7)22712x xy y -+
(8)42718x x +-(9)22483m mn n ++(10)53251520x x y xy --
一、选择题
1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )
A ．ab
B ．a ＋b
C ．－ab
D ．－(a ＋b )
2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )
A ．5
B ．－6
C ．－5
D ．6
3．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为
( )
A ．10和－2
B ．－10和2
C ．10和2
D ．－10和－2
4．不克不及用十字相乘法分解的是 ( )
A ．22-+x x
B ．x x x 310322+-
C ．242++x x
D ．22865y xy x --
5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )
A ．20)(13)(22++-+y x y x
B ．
20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．
20)(9)(22++-+y x y x 6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )
①672+-x x ；②1232-+x x ；③652-+x x ；
④9542--x x ；⑤823152+-x x ；⑥121124-+x x
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二、填空题
7．=-+1032x x __________．
8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )．a ＝__________，b ＝__________．
9．=--3522x x (x －3)(__________)．
10．+2x ____
=-22y (x －y )(__________)． 11．2
2____)(____(_____)+=++a m n a ．
12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为
(__________)．
13．若x －y ＝6，
3617
=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为
__________．
三、解答题 14．把下列各式分解因式：
(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ；
(3)422416654y y x x +-；
(4)633687b b a a --； (5)234456a a a --；
(6)422469374b a b a a +-．
15．把下列各式分解因式：
(1)2224)3(x x --；(2)
9)2(22--x x ； (3)2222)332()123(++-++x x x x ；(4)
60)(17)(222++-+x x x x ； (5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ；(6)
48)2(14)2(2++-+b a b a ． 16．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．。