2020届湖南省常德市高三模拟(文科)数学试题(一)(含答案)

2020届湖南省常德市高三模拟（文科）数学试题（一）
一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.已知集合{0,2}A =，{2,1,0,1,2}B =--，则A B ⋃=（ ） A ．{0,2}
B ．{1,2}
C ．{0}
D ．{2,1,0,1,2}--
2.已知,a b 为实数，i 为虚数单位，若2i
a bi i
++=，则a b +=（ ） A ．3-
B ．
C ．1
D ．3
3.针对时下的“抖音热”某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的
45，女生喜欢抖音的人数占女生人数3
5
，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人 附表：
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
A ．20
B ．40
C ．60
D ．80
4.平面向量a r 与b r 的夹角为120︒，(2,0)a =r ，||1b =r ，则|2|a b +=r r
（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D 5.已知函数()|sin |cos f x x x =，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()f x 最大值为
12
C ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增 D ．()f x 的最小正周期为2π
6.三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 互相垂直，1PA PB ==，M 是线段BC 上一动点，若直线AM 与平
面PBC 所成角的正切值的最大值是2
P ABC -的外接球的表面积是（ ） A ．2π
B ．4π
C ．8π
D ．16π
7.等比数列{}
n a 的各项均为正数，已知向量()54,n a a =r ，()78,m a a =u r
，且4m n ⋅=u r r ，则
2122211log log log a a a ++⋯+=（ ）
A ．5
B ．
112
C ．
132
D ．22log 5+
8.已知圆2
2
220x y x y a +-++=截直线40x y +-=所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．(2-+
B ．(2-
C ．(15,)-+∞
D ．(15,2)-
9.已知在ABC △中，34
B π
=，1AB =，角A 的平分线AD =AC =（ ）
A
B ．
C 1
D 3
10.设定义在R 上的函数()y f x =满足任意t R ∈都有1(2)()f t f t +=，且(0,4]x ∈时，()()f x f x x
'>，则6(2017)f ，3(2018)f ，2(2019)f 的大小关系是（ ） A ．6(2017)3(2018)2(2019)f f f << B ．3(2018)6(2017)2(2019)f f f << C ．2(2019)3(2018)6(2017)f f f <<
D ．2(2019)6(2017)3(2018)f f f <<
11.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为，直线AF 交双曲
线右支于点，且为线段AF 的中点，则该双曲线的离心率是（ ）
A ．2
B ．
2
C ．
5
D 12.已知函数21ln(1)0
()210x x f x x x x -+≤⎧=⎨-++>⎩
，函数()()||g x f x x m =--在定义域内恰有三个不同的零点，
则实数m 的取值范围是（ ） A ．513,11,44⎛⎫⎛⎫
-
-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．131,
4⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．131,
4⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
D ．513,
44⎛⎫
- ⎪⎝⎭
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知sin20cos202cos130m ︒+︒=︒，则m =_____
14.如图，圆柱1OO 中，两半径1,OA O B 等于1，且1OA O B ⊥，异面直线AB 与1
OO 2
，则该圆柱1OO 的体积为_____. 15.已知在正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 满足
12m n a a a =且
65423a a a =+，则
14
m n
+的最小值是_______ 16.给出下列五个命题：①已知直线a b 、和平面α，若a b P ，b αP ，则a αP ； ②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线；
③双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，则直线()b
y x m m R a
=+∈与双曲线有且只有一个公共点；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；
⑤过(2,0)M 的直线l 与椭圆2
212
x y +=交于1P 、2P 两点，线段12P P 中点为P ，
设直线l 斜率为1(0)k k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 等于1
2
-
. 其中，正确命题的序号为______. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17.已知数列{}n a 满足11a =，且()
*112n n a a n N +-=∈.（1）求证：数列{}1n a +为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .
18.某学校为了了解学生对《3.12植树节》活动节日的相关内容，学校进行了一次10道题的问卷调查，从该校学生中随机抽取50人，统计了每人答对的题数，讲统计结果分成[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]五组，得到如下频率分布直方图.（1）若答对一题得10分，答错和未答不得分，估计这50名学生成绩的平均分；（2）若从答对题数在[0,4)内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2,4)内的概率.
19.在三棱锥P ABC -中，底面ABC 与侧面PAB 均为正三角形，2AB =，PC =M 为AB 的中点.
（Ⅰ）证明：平面PCM ⊥平面PAB ；（Ⅱ）N 为线段PA 上一点，且3
4
CMN S =△，求三棱锥P CMN -的体积.
20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，1(1,0)F -为其左焦点，31,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方
程；（2）若A B 、是椭圆C 上不同的两点，以AB 为直径的圆过原点O ，求||AB 的最大值.（改编）
21.已知直线:(1)l y k x =-与函数()ln f x x =.（1）若()(1)f x k x ≤-恒成立，求k 的取值的集合. （2）若210x x >>，求证：()()212121
2
f x f x x x x x ->
-+.
（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x 轴的非负半轴重合.曲线C 的极坐标方程是
22
6
12sin θρ+=
，直线l
的极坐标方程是cos 04πρθ⎛
⎫
-
-= ⎪⎝
⎭
.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方
程；（2）设点()2,0P ，直线l 与曲线C 相交于点M N 、，求11
||||
PM PN +的值.
23.设函数()|21||4|f x x x =+--.（1）解不等式()0f x >；（2）若()3|4||2|f x x m +->-对一切实数
x 均成立，求m 的取值范围.
参考答案
一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.D
2.B
3.C
4.C
5.D
6.B
7.B
8.D
9.C 10.A 11.D 12.A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14.4π 15.
9
4
16.④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17.【解析】（1）方法1：证明：由()
*112n n a a n N +-=∈，得
()1121n n a a ++=+
即
11
21
n n a a ++=+
又112a +=
∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列
方法2：证明：由已知得
()1211222111
n n n n n n a a a a a a ++++===+++ 又112a +=
∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列
（3）由（1）知，n 12n a += n
21n a ∴=-
则123n n S a a a a =+++⋯+
()()()12212121n =-+-+⋯+-
()12222n n =++⋯+-
()21212
n n ⨯-=
--
122n n +=--
18.【解析】（1）答对题数的平均数为(10.0230.0450.1270.2290.10)2 6.35⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯= 所以这50人的成绩平均分约为10 6.3563.5⨯=
（2）答对题数在[0,2)内的学生有0.022502⨯⨯=人，记为,A B 答对题数在[2,4)内的学生有0.042504⨯⨯=人，记为,,,a b c d
从答对题数在[0,4)内的学生中随机抽取2人的情况有(,)A B ，(,)A a ，(,)A b ，(,)A c ，(,)A d ，(,)B a ，
(,)B b ，(,)B c ，(,)B d ，(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d 共15种
其中恰有1人答对题数在[2,4)内的情况有8种 所以恰有1人答对题数在[2,4)内的概率8
15
P =
. 19.【解析】解法一（Ⅰ）ABC △是边长为2的正三角形，M 为AB 的中点，所以CM AB ⊥
，CM =
同理，PM =
PC =
因为222CM PM PC +=，所以CM PM ⊥ 又AB PM M ⋂=，所以CM ⊥平面PAB ， 又CM ⊂平面PCM ， 所以平面PCM ⊥平面PAB . （Ⅱ）由（Ⅰ）得CM ⊥平面PAB ， 所以CM MN ⊥，CMN △为直角三角形， 所以13
24
CMN S CM NM =⋅⋅=△
，且CM =，
解得MN =
在AMN △中，由222
cos 2AN AM MN A AN AM
+-=⋅，
2
22
1cos602AN AN +-⎝⎭︒=
. 解得12AN =，即3
2
PN =
即
3
4
PN PA =
，333488PNM PAM PAB S S S ====
△△△，
113
3388
P CMN C PMN PMN V V S CM --===⨯⨯=△
解法二： （Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得CM ⊥平面PAB ， 所以CM NM ⊥，
即
34NM =
，NM =， 所以
1
2
NM AM PM PA ==， 得ANM APM △∽△， 则90ANM AMP ∠=∠=︒，
所以NM PA ⊥，又CM PA ⊥，NM CM M ⋂= 所以PA ⊥平面CNM ， 在Rt PNM △
中，3
2
PN =
=
，
所以1113333228
P CMN CMN V S PN -=
⋅=⨯=△. 20.【解析】（1）设椭圆的右焦点为2(1,0)F ，根据椭圆的定义：1224PF PF a +==
2a ∴=又1c =Q
，b ∴=∴椭圆C 的方程为22
143
x y +
=； （2）当直线AB 的斜率不存在时，由对称性可知45AOx BOx ∠=∠=︒，
不妨设()00,A x y ，则22
00143x y +=
，0x =
，此时||AB = 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
联立22
143
x y y kx m
⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩()2224384120k x kmx m +++-=
由()()
2222644434120k m k m ∆=-+->得22430k m +->，()*
由韦达定理有122843
km
x x k -+=+，212241243m x x k -=+，因为以AB 为直径的圆过原点O ，
所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r 即()()2222
121212122
712121034m k x x y y k x x km x x m k
--+=++++==+ 即22
1212
7
k m +=满足()*式.设AB 的中点是()00,P x y ，则
12024234x x km x k +-=
=+，0
22
433434km m
y k m k k -=+=++
||2||AB OP ====
()()2
21691212k
k +++≤
=2
21691212k k +=+
时等号成立，即
k =
，又因为<||AB . 21.【解析】令()()(1)(0)g x f x k x x =--> 则依题意()ln (1)0g x x k x =--≤恒成立
所以当x e =时也成立，则1
()ln (1)001
g e e k e k e =--≤⇒≥>- 又11()00g x k x x k '=
->⇒<<，1()0g x x k '<⇒>； 所以()g x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上递增，在1,k ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上递减， 所以max 111()ln ln 10g x g k k k k k k k ⎛⎫
==-⋅+=--+≤
⎪
⎝⎭
令()ln 1(0)h x x x x =--+> 则11
()101x h x x x x
-'=-
+=>⇒>，()001h x x '<⇒<< 所以()h x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，
所以()(1)0h x h ≥=，故()ln 10h k k k =--+≤的解为1k =
所以满足题意的K 的取值的集合为{1}
（3）证明：要证
()()212121
2
f x f x x x x x ->
-+，即证212121ln ln 2x x x x x x ->-+ 令
2
1
x t x =则210x x >>Q ，1t ∴> 即可转证：
21
2
2
1
1
ln
211x x x x x x >
-+，即证
ln 2
11
t t t >
-+ 因为1t >所以即证(1)ln 2(1)t t t +>- 即证ln ln 220(1)t t t t t +-+>> 令()ln ln 22(1)F t t t t t t =+-+> ()*
则11
111()ln 2ln 1ln 1F t t t t t t t t t
'=+⋅+-=+-=-+-
由（1）中结论易知10h t ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，即11ln 10t t
-+->即得()0F t '> 所以()ln ln 22F t t t t t =+-+在(1,)+∞上递增
所以()ln ln 221ln1ln12120F t t t t t =+-+>⨯+-⨯+= 即()*式得证.所以原不等式得证.
22.【解析】（1）曲线C 化为：2
2
2
2sin 6ρρθ+=，将222
sin y x y ρθρ
=⎧⎨
+=⎩代入上式，即22
36x y +=， 整理得曲线C 的直角坐标方程
22162x y +=.
由cos 04πρθ⎛⎫--= ⎪⎝
⎭，
得cos sin 022ρθρθ+-=，将cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩代入上式，化简得20x y +-=， 所以直线l 的直角坐标方程20x y +-=.
（2）由（1）知，点(2,0)P 在直线l 上，可设直线的参数方程为32cos 43sin 4
x t y t ππ
⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t
为参数），
即22
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C
的直角坐标方程，得221143622t t -++⨯=，
整理，得2
10t -=
，所以24160∆=+⨯=>，1210t t =-<，
由题意知，1212121111||||t t PM PN t t t t -+=+==== 23.【解析】（1）当4x ≥时，()2145f x x x x =+-+=+，原不等式即为50x +>， 解得54x x >-≥，4x ∴≥； 当142
x -
≤<时，()21433f x x x x =++-=-，原不等式即为330x ->， 解得1142
x x >-≤<，14x ∴<<； 当12x <-时，()2145f x x x x =--+-=--，原不等式即为50x -->， 解得5x <-，5x ∴<-；
综上，原不等式的解集为{|1x x >或5}x <-.
（2）()3|4||21|2|4||21(28)|9f x x x x x x +-=++-≥+--=. 当142
x -≤≤时，等号成立. ()3|4|f x x ∴+-的最小值为9，要使()3|4||2|f x x m +->-成立，故|2|9m -<， 解得m 的取值范围是：711m -<<.。