中考数学专题复习——数形结合专题

数形联合思想
【中考热门剖析 】
数形联合思想是数学中重要的思想方法，
它依据数学识题中的条件和结论之间的内在联
系，既剖析其数目关系， 又揭露其几何意义， 使数目关系和几何图形奇妙的联合起来， 并充足利用这类联合， 探究解决问题的思路， 使问题得以解决的思虑方法。

几何图形的形象直观， 便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于掌握。

【经典考题讲练 】
例 1.（ 2015 衢州）如图，已知直线 y
3 x 3 分别交 x 轴、 y 轴于点 A 、 B ， P 是抛物线
1
4
y
x 2 2x 5 的一个动点，其横坐标为 a ，过点 P 且平行于 y 轴的直线交直线
2 y
3
x 3 于点 Q ，则当 PQ=BQ 时， a 的值是 ． 4
例 2.（ 2014?广州）已知平面直角坐标系中两定点
A （-1 ，0），
B （ 4，0），抛物线
（ ）过点 A 、 B ，极点为 C ．点 P （ m ， n ）（ n <0）为抛物线上一点．
（ 1）求抛物线的分析式与极点C 的坐标．
（ 2）当∠ APB 为钝角时，求 m 的取值范围．
（3）若
，当∠ 为直角时，将该抛物线向左或向右平移
t （
）个单位，点
APB
、 挪动后对应的点分别记为 、
，能否存在 t ，使得 首尾挨次连结 、 、 、
所
P C
A B
组成的多边形的周长最短？若存在， 求 t 值并说明抛物线平移的方向； 若不存在， 请说明理
由．
分析： （ 1）待定系数法求分析式即可，求得分析式后变换成极点式即可．
（ 2）由于 AB 为直径，因此当抛物线上的点P 在⊙ C 的内部时，知足∠ APB 为钝角，因此 -1
＜m ＜ 0，或 3＜ m ＜ 4．
（3）左右平移时，使 A ′ D+DB ″最短即可，那么作出点 C ′对于 x 轴对称点的坐标为 C ″，获得直线 P ″ C ″的分析式，而后把 A 点的坐标代入即可．
答案： (1)解 :依题意把的坐标代入得:;解得 :
抛物线分析式为
极点横坐标,将代入抛物线得
(2)如图 ,当时,设,
则
过作直线轴,
(注意用整体代入法)
解得
,
当在之间时，
或时，为钝角.
(3)依题意，且
设挪动（向右，向左）
连结
则
又的长度不变
四边形周长最小，只要最小即可
将沿轴向右平移 5 各单位到处
沿轴对称为
∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时，设过的直线为，代入
∴即
将代入，得：，解得：
∴当， P、 C 向左挪动单位时，此时四边形ABP’C周’长最小。

例3.（2012杭州）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE 交AT 于点C，OB⊥ AT 于点B，已知∠ EAT＝ 30°，，．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF＝5，把△OBC经过平移、旋转和相像变换后，使它的两个极点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在此中找出另一个极点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．
解： (1) ∵AE切⊙O于点E，∴OE⊥AE，
∵OB⊥ AT，∴在△ CAE和△ COB中，∠ AEC＝∠ CBO＝90°，
而∠ BCO＝∠ ACE，∴∠ COB＝∠ A＝30°.(3分)
图(1)
(2) 在 Rt △ACE中，AE＝ 3，∠ A＝30°，
∴EC＝ AE·tan30°＝3.
如图 (1) ，连结OM，
在 Rt △MOB中，OM＝R，MB＝＝，
∴OB＝＝.
在 Rt △COB中，∠COB＝ 30°，
∴OC ＝
.
∵OC ＋ EC ＝R ，∴
·
＋ 3＝ R
整理得 R 2＋ 18R － 115＝0，即 ( R ＋23)( R －5) ＝ 0，
∴R ＝－ 23( 不切合题意，舍去 ) ，或 R ＝ 5，∴ R ＝ 5.(8 分 )
(3) 在 EF 的同一侧，知足题意的三角形共有 6 个，如图 (2)(3)(4)
，每个图有 2 个知足题意
的三角形．
能找出另一个极点也在⊙
O 上的三角形，如图 (1) ，延伸
交⊙ O 于 ，连结
，则△
DFE
EO
D DF
为切合条件 的三角形．
图(2)
图 (3)
图 (4)
由题意得，△ DFE ∽△ OBC .
由(2) 得，
＝2 ＝10， ＝ ＝ 2，∴
＝
＝
＝ 5.(14 分)
DE R OC
【解答策略提炼】
解题策略，数形联合思想包含“以形助教”和“以数助形”两个方面，即用数形联合思想解题可分两类：一是依形判教，用形解决数的问题，常有于借助数轴、函数图像、几何图形来
求解代数问题； 二十就数论形， 用数解决形的问题， 常有于运用恒等变形、 成立方程 （组）、面积变换等求解几何问题。

【专项达标训练 】
一、填空题
1. 以下图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ ABC=90°， AD=AB=6，BC=14，点 M 是线段 BC 上一
定点，且 MC=8，动点 P 从 C 点出发沿 C → D → A → B 的路线运动，运动到点 B 停止，在点 P 的 运动过程中，使△ PMC 为等腰三角形的点 P 有（
）个。

2. 已知抛物线 y=ax 2-2ax-1+a(a>0) 与直线 x=2,x=3,y=1 围成的正方形有公共点， 则 a 的取值
范围是。

3. 如图，抛物线 y = 1
x 2+bx-2 与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A （ -1,0 ），点 M
2
（m,0）是 x 轴上的一个动点，当
MC+MD 的值最小时，
m 的值是
24/41 。

4.抛物线 y=ax2+bx+c(a ≠0)与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于 C 点，若△ ABC 是 直角三角形，则 ac= .
5.如图，半径为 r1 的圆内切于半径为 r2 的圆，切点为 P ，过圆心 O1 的直线与⊙ O2 交于 A 、B ，与⊙ O1 交于 C 、 D ，已知 AC ：CD ：DB=3：4：2，则
r1
= ．
r 2
二、解答题
6.（1）如图，四边形 ABCD中，∠ BAD=120°，∠B=∠ D=90°，在 BC、CD 上分别找一点 M、 N,使△ AMN周长最小时，求∠ AMN+∠ANM的度数。

（2）如图，直线 y= k1x +b 与双曲线 y= k2
交于 A、B 两点，其横坐标分别为 1 和x
5，求不等式 k1x < k2
+b 的解集。

x
7.如图，AC为⊙ O的直径，B 是⊙ O外一点，AB交⊙O于 E 点，过 E 点作⊙O的切线，交 BC于 D点，DE=DC,作 EF⊥AC 于 F 点，交 AD 于 M 点。

（ 1）求证：BC是⊙ O 的切线。

（ 2） EM=FM.
8. （ 2015?鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴
交于点 C．抛物线
2
y=ax +bx+c 的对称轴是 x= ﹣且经过 A、 C 两点，与 x 轴的另一交点为
点 B ．
（1）①直接写出点 B 的坐标；②求抛物线分析式．
（2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连结PA，PC．求△PAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．
（3）抛物线上能否存在点 M ，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A 、M 、N 为极点的三角形与△ ABC 相像？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明原因．
【基础要点轮动】 选择题
1. （ - 1
） -1 +（ π - 3 ） 0+√（ -2）2
的值为
（
）
A.-1
2
B.-3
C.1
D.0
2. 要使分式
5 存心义，则 x 的取值范围是 （
）
x 1
A.x
1
B.x <1
C.x>1
D.x ≠-1
3. 对于函数 ，以下说法错误的选项是 （ ）
A. 它的图象散布在一、三象限
B. 它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C. 当 x ＞ 0 时， y 的值随 x 的增大而增大
D. 当 x ＜ 0 时， y 的值随 x 的增大而减小
4.如图， PA 、 PB 是⊙ O 的切线，切点是 A 、 B ，已知∠ P=60 °， OA=3 ，那么∠ AOB 所对弧 的长度为（ ）。

A.6 π
B.5 π
C.3π
D.2 π
5.抛物线
2
个单位再向下平移 3 个单位，所得的图像分析
y=x +bx+c （ a ≠0 ）图像向右平移 2
2
）。

式为 =x -2x-3 ，则 b ， c 的值为（
A.b=2 ， c=2
B.b=2 ， c=0
C.b=-2 ， c=-1
D.b=-3 ， c=2
6.如图， △ABC 中， CD ⊥ AB ，垂足为 D 。

以下条件中，不可以证明 △ ABC 是直角三角形的 是（ ）
A. ∠ A+∠ B=90° 2
2
2
B.AB =AC+BC
C.
D.CD 2=AD?BD
7.以下命题是真命题的是（
）
A. 对角线相互垂直且相等的四边形是正方形
B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．两边相等的平行四边形是菱形
8.以下图，正方形网格中，网格线的交点称为格点。

已知 A 、B 是两格点，假如 C 也是图
中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则 C 点的个数是（ C ）
A．6B．7C．8D．9
填空题
9.如图，直线l1∥l2∥l3 ,点 A、B、C分别在在直线 l1、l2、l3 上，若∠ 1=70°,∠2=50°，则∠ ABC=度。

第9题图第 10题图
10. 如图某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1： 3 ，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB 的
长度是。

11.某课外小组的同学们在社会实践活动中检查了20 户家庭某月的用电量，以下表所示：
用电量（度）
120 140 160 180 200 户数 2 3 6 7 2
则这 20 户家庭该月用电量的众数和中位数分别是。

12.已知菱形ABCD的边长是8，点 E在直线 AD 上，若 DE=3，连结 BE与对角线 AC 订交于点 M，则S△ABM：S△CBM的值为。

第 10 讲综合性解答问题
【中考热门剖析】
代数型综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题，波及知识：主要包含方程、函数、不等式等内容。

解题策略：用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形联合思想以及代入法、待定系数法、配方法等。

几何型综合题是指以几何知识为主或许以几何变换为主的一类综合题。

波及知识：主要包含几何的定义、公义、定理、几何变换等内容。

解题策略：解决几何型综合题的要点是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机交融起来，进行剖析、推理，从而达到解决问题的目的。

代数和几何型综合题是指以代数知识与几何知识综合运用的一类综合题。

波及知识：代数与几何的重要知识点和多种数学思想方法。

【经典考题讲练】
例 1.如图，已知矩形 OABC中，OA＝2，AB＝4，双曲线y k
（k＞0）与矩形两x
边 AB、 BC分别交于 E、F。

（1）若 E是 AB 的中点，求 F 点的坐标；
（2）若将△ BEF 沿直线 EF 对折， B 点落在 x 轴上的 D 点，作 EG⊥ OC，垂足为 G，证明△EGD∽△ DCF，并求 k 的值。

y
E
A
B
F
x
O G D C
例1题图
例 2.（ 2014?十堰）已知抛物线C1：y=a（ x+1 ）2
﹣ 2 的极点为A ，且经过点B（﹣ 2，﹣ 1）．
（1）求 A 点的坐标和抛物线C1的分析式 .
（2）如图 1，将抛物线C1向下平移 2 个单位后获得抛物线C2，且抛物线C2与直线 AB 相交于 C，D 两点，求S△OAC： S△OAD的值 .
（3）如图 2，若过 P（﹣ 4，0）， Q（ 0， 2）的直线为l，点 E 在（ 2）中抛物线C2对称轴右边部分（含极点）运动，直线m 过点 C 和点 E．问：能否存在直线m，使直线l， m 与 x 轴围成的三角形和直线l ，m 与 y 轴围成的三角形相像？若存在，求出直线m 的分析式；若不存在，说明原因．
剖析：（ 1）由抛物线的极点式易得极点 A 坐标，把点 B 的坐标代入抛物线的分析式即可解决问
题．
（2）依据平移法例求出抛物线C2 的分析式，用待定系数法求出直线AB 的分析式，再通
过解方程组求出抛物线C2 与直线 AB 的交点 C、D 的坐标，就能够求出S△ OAC ：S△ OAD 的值．
（3）设直线 m 与 y 轴交于点G，直线 l，m 与 x 轴围成的三角形和直线l ，m 与 y 轴围成的三角形形状、地点跟着点G 的变化而变化，故需对点G 的地点进行议论，借助于相像三角
形的判断与性质、三角函数的增减性等知识求出切合条件的点G 的坐标，从而求出相应的
直线 m 的分析式．
例 3.（ 10 分）（ 2015?桂林）如图，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接正方形， AB=4 ， PC、 PD 是⊙ O 的两条切线， C、 D 为切点．
（1）如图 1，求⊙ O 的半径；
（2）如图 1，若点 E 是 BC 的中点，连结 PE，求 PE 的长度；
（3）如图 2，若点 M 是 BC 边上随意一点（不含 B、 C），以点 M 为直角极点，在 BC 的上方作∠AMN=90°，交直线 CP 于点 N，求证： AM=MN ．
剖析：（ 1）利用切线的性质以及正方形的判断与性质得出⊙O 的半径即可；
（2）利用垂径定理得出 OE⊥ BC ，∠ OCE=45°，从而利用勾股定理得出即可；
（3）在 AB 上截取 BF=BM，利用（ 1）中所求，得出∠ ECP=135°，再利用全等三角形的判断
与性质得出即可．
【解答策略提炼】
1、代数综合题是以代数知识及代数变形为主的综合题。

主要包含方程、函数、
不等式等内容。

解题策略：用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形
联合思想以及代入法、待定系数法、配方法等。

解代数综合题要注意方程、不
等式和函数、统计等知识点之间的横向联系和数学思想方法、解题技巧的灵巧
运用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而解决问题。

2、几何综合题考察的图形种类多、条件隐晦，在察看方法上要注意从三角形、
四边形、圆的定义、性质、判断来察看剖析图形，经过找寻、分解、结构基本
图形以发现图形特点；在思虑方法上剖析发掘题目的隐含条件，注意联合代数
知识与几何图形的性质思虑，不停的由已知想未知，为解决问题创建条件。

【专项达标训练】一、填空题
1.如图，在四边形ABCD中， AB=4,BC=7， CD=2， AD=x,则 x 的取值范围
是。

2.如图，在△ ABC中， AB=AC， D 在 AB 上， BD=AB，则∠ A 的取值范围是。

A
A
x
D
4 D
2
B
7
C B C
第 1题图
第2题图
3.在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， AC=3， BC=
4.若以 C 点为圆心， r 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是。

4.如图，矩形 ABCD中， E 为 DC的中点， AD：AB= ： 2，CP： BP=1： 2，连结 EP 并延伸，交 AB 的延伸线于点F，AP、BE 订交于点 O．以下结论：① EP 均分∠ CEB；②△ EBP∽△ EFB；
③△ ABP∽△ ECP；④ AO?AP=OB2．此中正确的序号是．（把你以为正确的
序号都填上）
5.（ 2015 南通）对于X 的一元二次方程ax2-3x-1=0 的两个不相等的实数根都在-1 和 0 之间（不包含 -1 和 0），则 a 的取值范围是。

二、解答题
6.（ 2014 牡丹江） (2014 年黑龙江牡丹江)如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90°，AC=8 ，BC=6 ，CD⊥ AB 于点 D．点 P 从点 D 出发，沿线段DC 向点 C 运动，点Q 从点 C 出发，沿线段
CA 向点 A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点P 运动到 C 时，两点
都停止．设运动时间为t 秒．
（1）求线段CD 的长；
（2）设△CPQ 的面积为S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并确立在运动过程中能否存在某
一时辰 t，使得 S△CPQ：S△ABC =9： 100？若存在，求出t 的值；若不存在，说明原因．
（3）当 t 为什么值时，△ CPQ 为等腰三角形？
备用图 1备用图 2
7.（2013?连云港）如图，已知一次函数 y=2x+2 的图像与 y 轴交于点 B，与反比率函数 y=k1/x 的图像的一个交点为 A（1，m），过点 B 作 AB的垂线 BD，与反比率函数 y=k2/x 交于点 D（n,-2 ）.
（ 1）求 k1 和 k2 的值；
（ 2）若直线 AB、BD分别交 x 轴于点 C、E，试问在 y 轴上能否存在一个点 F，使得△ BDF∽△ ACE？若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明原因．
8.(2015温州)如图，AB是半圆O的直径，CD⊥ AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆
于点 F. 已知∠ AEF=135° .
（1）求证： DF∥AB；
（2）若 OC=CE，BF=2 2，求 DE的长 .
9.（ 2015?海南）如图，二次函数 y=ax2+bx+3 的图象与 x 轴订交于点 A（﹣ 3， 0）、 B（ 1，0），与 y 轴订交于点C，点 G是二次函数图象的极点，直线GC交 x 轴于点 H（ 3， 0）， AD 平行 GC交 y 轴于点 D．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求证：四边形ACHD是正方形；
（3）如图2，点 M（t ， p）是该二次函数图象上的动点，而且点M 在第二象限内，过点M 的直线 y=kx 交二次函数的图象于另一点N．
①若四边形ADCM的面积为 S，恳求出S 对于 t 的函数表达式，并写出t 的取值范围；
②若△ CMN的面积等于，恳求出此时①中S 的值．
【基础要点轮动】
一．选择题
1.（ 2013.山西）解分式方程
2
+
x + 2
= 3 时，去分母后变形为（）x - 1 1 - x
A．2+（ x+2） =3（ x-1） B． 2-x+2=3（ x-1） C． 2-（ x+2） =3（ 1- x） D． 2-（ x+2） =3（ x-1）
2.
A.2
B.
C.
D.
3.以下交通标记是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
4.如图，将△ABC绕着点 C顺时针旋转 50°后获得△A′B′C′．若∠A=40°．∠
B′=110°，则∠BCA′的度数是（）
第4题图第 7题图
A． 110 °B． 80°C． 40°D． 30°
5.以下图是某月的日历表，在这天历表上能够用一个矩形圈出 3×3 个地点相邻的
9个数 ( 如 6 ， 7 ， 8 ， l3 ， 14 ， l5 ， 20 ， 21 ， 22) ．若圈出的 9 个数中，最大数与最小数的积为 192，则这 9 个数的和为（）．
A．32B．126C．135D．144
6.以下命题是假命题的是（）
A.全等三角形的对应边相等
B.两角和一边分别对应相等的两个三角形全等
C.对应角相等的两个三角形全等
D.相像三角形的面积比等于相像比的平方
7.如图，过点Q（ 0,3.5）的一次函数与正比率函数y=2x 的图像订交于点P，能表示这个一次函数图像的方程是（）
A．3x－ 2y+3.5＝ 0B．3x－ 2y－ 3.5＝ 0
C． 3x－2y+7＝ 0D． 3x+2y－ 7＝ 0
中考数学专题复习——数形联合专题 21 / 21
8. 现有球迷 150 人欲同时租用 A 、 B 、 C 三种型号客车去观看世界杯足球赛，此中 A 、 B 、 C
三种型号客车载容量分别为 50 人、 30 人、 10 人，要求每辆车一定满载， 此中 A 型客车最多
租两辆，则球迷们一次性抵达赛场的租车方案有（ ）
A ．3种
B ．4种
C ．5种
D ．6种
二、填空题
9. 化简： 10. 若（ a-1) 2+|b-2|=0, 则以 a ， b 为边长的等腰三角形的周长为。

11. 如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥ BC,BD ⊥ DC,点 E 是 BC 的中点，且 DE ∥ AB,则∠ BCD
的
度 数 是 。

12. 如图，边长为（ a+2）的正方形纸片剪出一个边长为 a 的正方形以后，节余部分可剪拼 成一个矩形（不重叠无空隙），若拼成的矩形一边长为 2，则另一边长是 。

21
21。