第一章无机材料的受力形变

对于剪切应变，则有如下虎克定律：
xy=xy/G yz=yz/G zx=zx/G G ------剪切模量或刚性模量。 G, E, 参数的关系： G=E/2(1+) 如果 x = y = z ，材料的体积模量K------各向同等 的压力与其引起的体积变化率之比。 K=－p/(V/V)=E/[3(1－2 )]
2. 弹性变形机理
虎克定律表明，对于足够小的形变，应力与应变成 线性关系，系数为弹性模量E。作用力和位移成线性 关系，系数为弹性常数K。
(1) 原子间相互作用力和弹性常数的关系
12
－
F
ro r ＋
＋
－
在r=ro时，原子1和2处于平衡状 态，其合力F=0.
当原子受到拉伸时，原子2向右
位移，起初作用力与位移呈线
2. 应变 (u/y)dy
y
(v/y)dy
B
B
dy
yx
C
C
xy
A

(v/x)dx
0
A
x
dx
(u/x)dx
XY面上的剪应变
已知：O点沿x,y,z方向的位移分量分别为u,v,w
（1）正应变
应变为：u/x ， 用偏微分表示 ： u/ x 在O点 处沿x方向的正应变 是： xx = u/x 同理： yy= v/y
方向不同弹性模量不一样
架状结构
－石英 SiO2 石英玻璃SiO2
单链状硅酸盐
C11=C22=0.9,C33=1.0 C11=C22=C33=0.8
霓辉石 NaFeSi2O6 C11=1.9 C22=1.8 C33=2.3 普通辉石(CaMgFe)SiO3 C11=1.8 C22=1.5 C33=2.2 透辉石 CaMgSi2O6 C11=2.0 C22=1.8 C33=2.4
总共有36个系数。
根据倒顺关系有（由弹性应变能导出）：
Sij=Sji , －21/E1－12/E2，系数减少至21个
考虑晶体的对称性，
例如：斜方晶系，剪应力只影响与其平行的平面的应变， 不影响正应变，S数为9个(S11,S22,S33,S44,S55,S66,S12 = S21,S23,S13) 。 六方晶系只有5个S(S11 = S22, S33, S44, S66, S13) 立方晶系为3个S(S11,S44,S12) MgO的柔顺系数在25oC时， S11 =4.03×10-12 Pa-1; S12 =－0.94×10-12 Pa-1; S44 = 6.47×10-12 Pa-1 . 由此可知，各向异性晶体的弹性常数不是均匀的。
r1
r2
r
则：F= m1d2r1/dt2=m2d2r2/dt2=－K(r－ro)
得: md2(r－ro)/dt2=－K(r－ro) 或 md2/dt2=－K
其中： m=m1·m2/(m1+m2)（折合质量）
解此方程可以得共振频率：=(K/m)1/2 / 2 (与晶格振
动中的长光学纵波相似，也叫极化波，能引起静电极
同理可以得出其他两个剪切应变：
yz= v/z+w/y zx= w/x +u/z 结论：
一点的应变状态可以用六个应变分量来决定，即 三个剪应变分量及三个正应变分量。
2.1.3 弹性形变 1. 广义虎克定律（应力与应变的关系）
（1）各向同性体的虎克定律
x
y z
x
b c
c
L
(3) 弹性刚度系数
使原子间的作用力平行于x轴，作用于原子上的作用力： F=－u/r , 应力：xx－(u/r)/ro2
dxx－(2u/r2)dr/ro2 , 相应的应变：d xx =dr/ro dxx =C11d xx C11－ (d2U/dr2)ro /ro= K/ ro = E1
(2) 各向异性
作用力对不同方向正应变的影响
各种弹性常数随方向而不同，
即： Ex Ey Ez ,
xy yz zx
在单向受力x时，在y, z方向的应变为：
yy =－ yx x= －yx x/Ex=（ －yx /Ex ） x =S21 x
zz =－ zx x= －zx x/Ex=S31 x
zz= w/z.
x u u O A O´ A´
x
（2）剪切应变
A点在x方向的位移是：u+(u/x)dx， OA的长 度增加(u/x)dx. O点在 y方向的应变： v/x, A点在y方向的位 移v +(v/x)dx, A点在y方向相对O点的位移为： (v/x)dx, 同理：B点在x方向相对O点的位移为：
U
A A
D
P
L
B
B
C
E
F
负荷作用在面积为S的ABCD面上，
剪切应力：=P/S; 剪切应变：=U/L=tg.
正应力引起材料的伸长或缩短，剪应力引起材料的 畸变，并使材料发生转动。
2.1.2 任意的力在任意方向上作用于物体
1. 应力
z
围绕材料内部一点P， 取一体积单元
zz
zy
zx
2.1 应力、应变及弹性形变
2.1.1 基本概念
1. 正应力和正应变
正应变 ：单位长度的伸长。
So Lo
（L－Lo)/Lo=（名义应变）
S
L 真实应变= LLd1o L/L=ln(L/Lo)
伸长
正应力 ：作用于单位面积
上的力。P/So=（公称应力
或名义应力）
P
真实应力=P/S
2. 剪切应力和剪切应变
L
b
长方体在轴向的相对伸长为：x=x/E
x 应力与应变之间为线性关系，E------弹性
模量，
对各向同性体，弹性模量为一常数。
当长方体伸长时，横向收缩：
y=－c/c
z= － b/b
横向变形系数（泊松比）：=| y / x| =| z / x |
则
y =－ x= － x/E z= － x/E
(u/y)dy
线段OA及OB之间的夹角变化 OA与OA间的夹角 =(v/x)dx/dx= v/x OB与OB间的夹角= (u/y)dy/dy=u/y 线段OA及OB之间的夹角减少了v/x +u/y， xz平面的剪应变为:
xy= v/x +u/y （xy与yx)
(2) 原子间的势能与弹性常数的关系
U(ro+ ）=U(ro)+(dU/dr)ro +1/2(d2U/dr2) ro 2 =U(ro)+1/2(d2U/dr2)ro 2
F=du(r)/dr=(d2U/dr2)ro K =(d2U/dr2)ro就是势能曲线在最小值u(ro)处的曲率。
结论：弹性常数的大小实质上反映了原子间势能曲线 极小值尖峭度的大小。
C------弹性刚度系数（与弹性柔顺系数S成反比）
结论：弹性刚度系数的大小实质上也反映了原子间势 能曲线极小值尖峭度的大小。 大部分无机材料具有离子键和共价键，共价键势能曲 线的谷比金属键和离子键的深，即：弹性刚度系数大。
NaCl型晶体的弹性刚度系数 （1011达因/厘米2，200C）
晶体 TiC MgO LiF NaCl NaBr KCl KBr
(2) 温度
大部分固体，受热后渐渐开始变软，弹性常数随温度 升高而降低。
弹性模量与温度的定量关系： E=Eo－bTexp(-To/T)
或
(E－Eo)/T=－bexp(-To/T)
Eo,b,To是经验常数，对MgO,Al2O3，ThO2等氧化物， b=2.7～5.6 , To=180～320
温度对弹性刚度系数的影响，通常用弹性刚度系数的温 度系数表示： Tc=(dC/dT)/C
如果长方体在x y z的正应力作用下，虎克定律表 示为：
x=x/E－ y/E － z/E= [x－ （y＋ z ）] /E y=y/E－ x/E － y/E= [y－ （x＋ z ）] /E z=z/E－ x/E － y/E= [z－ （x＋ y ）] /E
双链状硅酸盐 角闪石
普通角闪石(CaNaK)2-3(HgFeAl)5(SiAl)8O22(OH)2 C11=1.2 C22=1.8 C33=2.8 环状硅酸盐
绿柱石Be3Al2Si6O8 C11=C22=3.1 C33=0.6 电气石(NaCa)(LiMgAl)3(AlFeMn)6(OH)4(BO3)3Si6O18 C33=1.6
对在电子仪器中的所谓延迟线和标准频率器件十分重要， 因为它们寻求零温度系数材料。
温度补偿材料：一种异常的弹性性质材料（Tc是正 的），补偿一般材料的负Tc值.且压电偶合因子大。
MgO
Tc11=－2.3
SrTiO3 Tc11=－2.6
－SiO2 Tc11=－0.5
Tc44=－1.6
其中：Tc×10-4/oC
yz
xz
xy yx
yy
S
xx
y
应力分量
x
说明：
下脚标的意义：
每个面上有一个法向应力和两个剪应力，应力分量下标：
第一个字母表示应力作用面的法线方向；
第二个字母表示应力的作用方向。
方向的规定
正应力的正负号规定：拉应力（张应力）为正，压应力 为负。
剪应力的正负号规定：
正剪应力
负剪应力
体积元上任意面上的法向应力与坐标轴的正方向相 同，则该面上的剪应力指向坐标轴的正方向者为正；
如果该面上的法向应力指向坐标轴的负方向，则剪 应力指向坐标轴的正方向者为负。
应力间存在以下关系：
根据平衡条件，体积元上相对的两个平行平面上的 法向应力大小相等，方向相反； 剪应力作用在物体上的总力矩等于零。
结论：一点的应力状态有六个分量决定 应力 T1 T2 T3 T4 T5 T6 张量 xx yy zz yz zx xy
C11 50 28.92 11.1 4.87 3.87 3.98 3.46
C12 11.30 8.80 4.20 1.23 0.97 0.62 0.58
C44 17.50 15.46 6.30 1.26 0.97 0.62 0.51
（4）用原子间振动模型求弹性常数
原子振动时有以下关系：
m1
m2
m1r1=m2r2, r=r1+r2=r1(1+m1/m2) 外力使其产生振动时，
r
性变化，后逐渐偏离，达到r时， 合力最大，此后又减小。合力
有一最大值，该值相当于材料
断裂时的作用力。
r 断裂时的相对位移：r－ro= Um 把合力与相对位移的关系看作 线性关系，则弹性常数：
K F/=tg
结论：K是在作用力曲线r=ro时的斜率，因此K的大 小反映了原子间的作用力曲线在r=ro处斜率的大小.
S21, S31为弹性柔顺系数。1, 2,3分别表示x,y,z
同时受三个方向的正应力，在x, y, z方向 的应变为：
xx= xx/Ex+S12 yy +S13 zz yy= yy/Ey+S21 yy +S23 zz zz= zz/Ez+S31 yy +S32 zz
正应力对剪应变有影响，剪应力对正应变也有影响，通 式为：
化)，则 ：
K=m(2)2=m(2c/)2
可以利用晶体的红外吸收波长测出弹性常数。
3. 影响弹性模量的因素
（1）晶体结构
架状结构 石英和石英玻璃的
架状结构是三维空间网络，不同方 向上的键结合几乎相同------几乎各 向同性。
单链结构
Si2O6
双链结构
Si4O11

环状结构（岛状结构） Si6O18
层状硅酸盐
C11=C22=2.7
黑云母K(Mg,Fe)3(AlSi3O10)(OH)2 C11=C22=1.9 C33=0.5 白云母KAl2(AlSi3O10 )(OH)2 C11=C22=1.8 C33=0.6 金云母KMg3(AlSi3O10)(OH)2 C11=C22=1.8 C33=0.5 ×1012达因/厘米2
xx= S11xx+S12 yy +S13 zz+S14 yz+S15zx+S16xy yy= S22yy+S21 xx +S23 zzS24 yz +S25zx+S26 xy zz= S33zz+S31 yy +S32 zzS34 yz +S35 zx+S36 xy yz= S41xx+S42 yy +S43 zz+S44 yz +S45zx+S46 xy zx=S51xx+S52 yy +S53 zz+S54 yz +S55zx+S56 xy xy=S61xx+S62 yy +S63 zz+S64 yz +S65zx+S66 xy