福建省厦门科技中学2018-2019学年高二(上)10月月考数学试卷(文科)(解析版)

福建省厦门科技中学2018-2019学年高二（上）10月月考数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若数列的前4项分别是，，，，则此数列的一个通项公式为（）
A. B. C. D.
2.已知等差数列{a n}，a3+a7=10，a8=8，则公差d=（）
A. 1
B.
C.
D.
3.已知数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为
（）
A. B. C. 或 D. 1
4.已知△ABC中，a=1，b=，B=45°，则角A等于（）
A. B. C. D.
5.△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2-c2=4，且C=60°，则ab的
值为（）
A. B. C. 1 D.
6.由a1=1，a n+1=给出的数列{a n}的第34项是（）
A. B. 100 C. D.
7.在△ABC中，B=，AB=2，D为AB中点，△BCD的面积为，则AC等于（）
A. 2
B.
C.
D.
8.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，AC=2，BD=2，∠ACD=60°，则AD=（）
A. 2
B.
C.
D.
9.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列
结论错误的是（）
A. B.
C. D. 和均为的最大值
10.等差数列{a n}的公差为d，前n项的和为S n，当首项a1和d变化时，a2+a8+a11是一
个定值，则下列各数中也为定值的是（）
A. B. C. D.
11.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a1=-2016，-=2，则S2018的值为（）
A. 018
B. 2 018
C. 2 017
D. 019
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A+cos（A+）=，b+c=4，
则△ABC周长的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.数列{a n}满足前n项和S n=n2-3n+2，则数列a n的通项公式为______．
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b cos C+c cos B=，则=______．
16.在等比数列{a n}中，若1，a2，a3-1成等差数列，则=______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=10，S3=24．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）求S n，并求S n的最大值．
18.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知c=3，C=，sin B=2sin A．
（1）求a，b的值；
（2）求△ABC的面积．
19.在△ABC中，若lgsin A，lgsin B，lgsin C成等差数列，且三个内角A，B，C也成等
差数列，试判断此三角形的形状．
20.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a cos2C+2c cos A cos C+a+b=0，
（1）求角C的大小；
（2）若b=4sin B，求△ABC面积的最大值．
21.如图，一艘船由A岛以v海里/小时的速度往北偏东
10°的B岛形式，计划到达B岛后停留10分钟后继
续以相同的速度驶往C岛．C岛在B岛的北偏西65°
船到达D处，此时测得C岛在北偏西35°的方向上．如果一切正常，此船何时能到达C岛？（精确到1分钟）
22.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10=55，S20=210．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N*），使得b1、b m、b k成等比数列．若存在，求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：根据数列的前4项分别是，可得奇数项为负数，偶数项为正数，第n 项的绝对值等于||，
故此数列的一个通项公式为，
故选：C．
根据数列的前4项可得，奇数项为负数，偶数项为正数，第n项的绝对值等于||，由此可得此数列的一个通项公式为．
本题主要考查数列的概念及其简单表示法，求数列的通项公式，属于基础题．注意通项公式不是唯一的，如也是此数列的一个通项公式．
2.【答案】A
【解析】
解：等差数列{a n}，a3+a7=10，a8=8，则a3+a7=2a5=10，
∴a5=5，
∴a8-a5=8-5=3d，
∴d=1，
故选：A．
根据题意可得a3+a7=2a5=10，即可求出a5=5，再根据通项公式可得a8-a5=8-5=3d，解得即可．
本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的性质，考查了运算能力和转化能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】
解：由题意2a3=a1+a2，∴2a1q2=a1q+a1，∴2q2=q+1，∴q=1或q=
故选：C．
a1，a3，a2成等差数列得2a3=a1+a2，利用数列的通项公式展开即可得到公比q的方程，易求
本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．
4.【答案】D
【解析】
解：∵，B=45°
根据正弦定理可知
∴sinA==
∴A=30°
故选：D．
根据正弦定理，将题中数据代入即可求出角B的正弦值，进而求出答案．
本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．
5.【答案】A
【解析】
解：∵△ABC的边a、b、c满足（a+b）2-c2=4，
∴c2=（a+b）2-4=a2+b2+2ab-4，
又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab，
∴2ab-4=-ab，
∴ab=．
故选：A．
将（a+b）2-c2=4化为c2=（a+b）2-4=a2+b2+2ab-4，又C=60°，再利用余弦定理得
c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab即可求得答案．
本题考查余弦定理，考查代换与运算的能力，属于基本知识的考查．
6.【答案】A
【解析】
解：∵a1=1，a n+1=，
∴等式两边取倒数得，
则，
即数列{}是公差d=3的等差数列，首项为1，
则=1+3（n-1）=3n-2，
则a n=，
则a34=，
故选：A．
根据递推公式，利用取倒数法，得到数列{}是等差数列，即可得到结论．
本题主要考查数列项的计算，利用取倒数法，得到数列{}是公差d=3的等差数列是解
决本题的关键．
7.【答案】B
【解析】
解：由题意可知在△BCD中，B=，AD=1，
∴△BCD的面积S=×BC×BD×sinB=×BC×=，
解得BC=3，在△ABC中由余弦定理可得：
AC2=AB2+BC2-2AB•BCcosB=22+32-2•2•3•=7，
在△BCD中，由面积公式可得BC，再由余弦定理可得．
本题考查正余弦定理解三角形，属基础题．
8.【答案】B
【解析】
解：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，
AC=2，BD=2，∠ACD=60°，
∴∠BAC=60°，∴BC=
=，
∴AB2+BC2=AC2，∴，
∴CD==3，
∴AD==．
故选：B．
由余弦定理先求出BC=，再由勾股定理求出，从而CD=3，由此
利用余弦定理能求出AD==．
本题考查三角形边长的求法，涉及到正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方思想、数形结合思想，是中档题．
9.【答案】C
【解析】
解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，
可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．
S9==9a5，S5==5a3．
S9-S5=9（a1+4d）-5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．
因此C错误．
故选：C．
S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．作差S9-S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．
本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】
解：∵a2+a8+a11=（a1+d）+（a1+7d）+（a1+10d）=3（a1+6d）=3a7，
且a2+a8+a11是一个定值，
∴a7为定值，
又S13==13a7，
∴S13为定值．
故选：C．
利用等差数列的通项公式化简已知的式子，得到关于a7的关系式，由已知式子为定值得到a7为定值，再利用等差数列的求和公式及等差数列的性质化简S13，也得到关于a7的关系式，进而得到S13为定值．
此题考查了等差数列的通项公式，求和公式，以及等差数列的性质，a7的值是已知与未知桥梁与纽带，灵活运用等差数列的通项公式求出a7的值是解本题的关键．
解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，
∴数列{}是等差数列．
设数列{}的公差为d′，则由-=2，得2d′=2，解得d′=1，
∴=+2 017d′=a1+2 017d′=-2 016+2 017=1，
∴S2018=2018．
故选：B．
数列{}是等差数列，求出数列{}的公差为d′=1，由此能求出S2018．
本题考查等差数列的前2016项的和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
12.【答案】A
【解析】
解：∵sinA+cos（A+）=，
∴sinA+cosA-sinA=，可得：sin（A+）=，
∵A∈（0，π），A+∈（，），
∴A+=，解得A=，
∵b+c=4，
∴由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-bc=16-3bc，
∵由b+c=4，b+c≥2，得0＜bc≤4，
∴4≤a2＜16，即2≤a＜4．
∴△ABC周长L=a+b+c=a+4∈[6，8）．
故选：A．
利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得sin（A+）=，结合A的范围可求A，再
由余弦定理求得a2=16-3bc，再由基本不等式，求得bc的范围，即可得到a的范围，进而可求周长的范围．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理及运用，同时考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．
13.【答案】a n=
【解析】
解：∵数列{a n}满足前n项和S n=n2-3n+2，
∴当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2-3n+2-[（n-1）2-3（n-1）+2]=2n-4，
又∵当n=1时，a1=S1=0≠2×1-4，
故a n=．
故答案为：a n=．
利用a=，能求出数列{a} 的通项公式．
14.【答案】
【解析】
解：∵bcosC+ccosB=，
∴利用正弦定理化简可得：sinBcosC+sinCcosB=sinB，即sin（B+C）=sinB，
∵sin（B+C）=sinA，
∴sinA=sinB，
∴利用正弦定理化简可得a=，
∴=．
故答案为：．
利用正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA= sinB，进而根据正弦定理化简即可得解．
本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
15.【答案】等腰三角形或直角三角形
【解析】
解：原式可化为=⇒=sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B⇒A=B或A+B=．
故答案为等腰三角形或直角三角形
左边利用正弦定理，右边“切变弦”，对原式进行化简整理进而可得A和B的关系，得到答案．
本题主要考查了正弦定理的应用．考查了学生利用正弦定理解决三角形问题的能力．16.【答案】
【解析】
解：设等比数列的公比为q，
依题意1，a2，a3-1成等差数列，
可得2a2=1+a3-1，
即2a1q=a1q2，
又a1≠0，整理得q2-2q=0，
所以q=2或q=0（舍去），
则===，
故答案为：．
设等比数列的公比为q，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q，再由等比数列通项公式计算可得所求值．
本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=10，S3=24．
∴3×10+d=24，
解得d=-2．
∴a n=10-2（n-1）=12-2n．
∴当n=5或6时，S n最大，S n=-52+55=30．
【解析】
（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1=10，S3=24．利用求和公式解得d，即可得出a n．（2）利用求和公式、二次函数的单调性即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：（1）∵sin B=2sin A，
∴由正弦定理可得b=2a，
由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C，
得9=a2+4a2-2a2，解得a2=3，∴，．………………………………………………………（6分）（2）△ABC的面积：
S===．………………………（12分）
【解析】
（1）由正弦定理可得b=2a，由此利用余弦定理能求出结果．
（2）△ABC的面积S=，由此能求出结果．
本题考查三角形边长、三角形面积的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
19.【答案】解：∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C．---1
又∵A+B+C=π，∴3B=π，即B=，A+C=π．----2
∵lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差数列，
∴2lg sin B=lg sin A+lg sin C，
即sin2B=sin A sin C．
又∵B=，∴sin B=．
∴sin A sin C=sin2B=．
又∵cos（A+C）=cos A cos C-sin A sin C，
cos（A-C）=cos A cos C+sin A sin C，
∴sin A sin C=-[cos（A+C）-cos（A-C）]．
∴-[cos-cos（A-C）]=．
∴+cos（A-C）=，
∴cos（A-C）=1．-
∵A-C∈（-π，π），
∴A-C=0，即A=C=．
∴A=B=C．
∴△ABC是等边三角形．
∴a=c
又B=60°
∴△ABC是等边三角形．
【解析】
根据A，B，C成等差数列，可得2B=A+C．又A+B+C=π，3B=π，即B=，A+C=π．
又lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差数列，可得2lg sin B=lg sin A+lg sin C，即
sin2B=sin Asin C．利用和与差化简即可判断．
本题考查三角形形状的判断，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
20.【答案】（本题满分为12分）
解：（1）∵a cos2C+2c cos A cos C+a+b=0，
∴2a cos2C+2c cos A cos C+b=0．
∴由正弦定理可得：2sin A cos2C+2sin C cos A cosC+sin B=0．
∴2cos C sin（A+C）+sin B=0，即2cos C sin B+sin B=0，
∵0°＜B＜180°，
∴sin B≠0，
∴cos C=-，
∴C=120°．…6分
（2）根据（1），由正弦定理，可得：c==2，
由余弦定理，可得（2）2=a2+b2-2ab cos120°=a2+b2+ab≥3ab，…10分
∴ab≤4，
∴S△ABC=ab sin C≤．
∴△ABC面积的最大值为．．…（12分）
【解析】
（1）先利用正弦定理转化为角的三角等式，再结合三角变换公式可求角C的大小；
（2）先利用正弦定理可求c，再利用余弦定理建立关于a，b的等式，再结合基本不等式求得ab的最大值，进而可求面积的最大值．
本题主要考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理论证能力，运算求解能力和转化和化归思想，属于基础题．
21.【答案】解：在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=135°，
根据正弦定理得，=，
即CD=•AD；
在△BCD中，∠BCD=30°，∠CBD=105°，
根据正弦定理得，==，
即DB+BC=•CD；
所以DB+BC=•AD，
从而，此船行驶DB和BC共需20（1+）分钟；
故由A岛出发到达C岛全程需要50+20≈78分钟．
即该船于11时18分到达岛．（说明：11时（19分），也正确．）
【解析】
利用正弦定理求得CD、AD的值，再求DB+BC的值，从而求得此船行驶DB和BC共需时间，即可得出由A岛出发到达C岛的时间．
本题考查了三角函数模型的应用问题，是中档题．
22.【答案】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则．（1分）
由已知，得（3分）
即解得（5分）
所以a n=a1+（n-1）d=n（n∈N*）．（6分）
（2）假设存在m、k（k＞m≥2，m，k∈N），使得b1、b m、b k成等比数列，
则b m2=b1b k．（7分）
因为，（8分）
所以，，．
所以．（9分）
整理，得．（10分）
因为k＞0，所以-m2+2m+1＞0．（11分）
解得＜＜．（12分）
因为m≥2，m∈N*，
所以m=2，此时k=8．
故存在m=2、k=8，使得b1、b m、b k成等比数列．（14分）
【解析】
（1）设出其首项和公差，直接利用S10=55，S20=210求出首项和公差即可求数列{a n}的通项公式；
（2）先求出，再代入b1、b m、b k成等比数列对应的等量关系，求出m、k
之间的关系式，再利用题中k＞m≥2，k，m∈N*，即可求出对应的m、k的值．
本题第一问主要考查利用等差数列的前n项和求数列{a n}的通项公式以及等比关系的确定，是对等差数列，等比数列基础知识的考查．作这一类型题目，一般是设出基本量，利用已知条件列出等量关系，再进行求解即可．
第11页，共11页。