高二数学第四学期中期考试数学试题(理)

第四学期中期考试
数 学 试 题 （理）
（120分钟完卷；总分150分）
一、选择题（本大题共12小题；每小题5分；共60分） 1．经过空间任意三点的平面 （ ） A 只有一个 B 有二个
C 有无数多个
D 只有一个或有无数多个
2．在正多面体中没有（ ）
A 正六面体
B 正八面体
C 正十二面体
D 正十六面体 3．由0；1；2；3组成的无重复数字的四位数一共有 （ ）
A 6个
B 18个
C 24 个
D 28个 4．已知α；β是平面；m 、n 、l 是直线.下列命题中不正确的是 （ ） A 若m ∥n ；m ⊥α；则n ⊥α B 若l n l m ⊥⊥,；则m ∥n
C 若m ⊥α；m ⊥β；则α∥β
D 若m ⊥α；β⊂m ；则α⊥β
5、在正方体1111D C B A ABCD -中；点P 为棱AB 上的一动点；则D A 1与P D 1所成的角为（ ）
A 随点P 的变化而变化
B 45° C
60 D
90
6、若55105)2(x a x a a x +++=- ；则521a a a +++ =（
）
A 31
B 1
C －1
D －31 7、在三棱柱的9条棱中异面直线共（ ）
A 36对
B 24对
C 12对
D 6对
8、先后抛掷2枚均匀的硬币；出现“一枚正面；一枚反面”的概率是（ ）
A
31 B 41 C 21 D 3
2
9．某人射击1次；命中目标的概率是0.6；他连续射击若干次；若规定命中目标两次后便停止射击；则此人射击3次后停止射击的概率是（ ）
A 0.432
B 0.288
C 0.144 D
10．学校高中二年级新来了4名同学；要把这4名同学分到高二的1、2、3班3个班去；每班至少1人；不同的分法共有（ ）
A 72种
B 36种
C 24种
D 12种
11．如图；在正三棱锥BCD A -中；E 、F 分别是AB 、BC 的中点；且DE EF ⊥；若a BC =；则正三棱锥BCD A -的体积为（ ）
A
3122a B 312
3a C 3242a D 324
3a
12．正方形ABCD 的边长为6 cm ；点E 在AD 上；且AE ＝错误!AD ；点F 在BC 上；且BF ＝错误!BC ；把正方形沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C 后；则EF ＝ （ ）
A ．27 cm
B ．215 cm
C ． 2 6 cm
D ．6 cm
二、填空题（本大题共4小题；每小题4分；共16分）
13、设地球半径为R ；在南纬30°圈上有A 、B 两点；这两点的经度差为π；则A 、B 两点的球面距离为 ；
14．已知n x x )21(2- 的展开式中第二项与第九项的二项式系数相等；则n x x )21(2-的展开式中9
x 的
系数是 ；
15．某单位有7个连在一起的停车位；现有3辆不同型号的车需要停放；如果要求剩余的4个空车位连在一起；则不同的停放方法有 种（用数字作答） ；
16．在正方形D C B A ABCD ''''-中；过对角线D B '的一个平面交'
AA 于E ；交C C '于F ；则
① 四边形E D BF '一定是平行四边形
② 四边形E D BF '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ③ 四边形E D BF '有可能是正方形
④ 四边形E D BF '有可能垂直于平面D D B B '' 以上结论正确的为 。

（写出所有正确结论的编号）
第四学期中期考试
数 学 答 题 卷
F
C
B
A
E
D
一、选择题（每小题5分；共60分）
13、 ； 14、 ；
15、 ； 16、 。

三、解答题：（本大题共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

） 17、（12分）有5个男生和3个女生；从中选出5人担任5门不同学科的科代表；求分别符合下列条件的选法数： （1）女生2人男生3人；
（2）男生甲必须包括在内；但不担任数学科代表。

18、（12分）已知正方体1111D C B A ABCD 的棱长为2；E 是11C D 的中点。

（1）求直线AE 与平面ABCD 所成的角； （2）求异面直线AD 与C B 1间的距离。

19、（12分）已知：甲袋中有3个黑球；2个白球；乙袋中有4个黑球；3个白球. （1）从甲袋中任意取出两个球；求取得一黑球一白球的概率； （2）从乙袋中任意取出三个球；求至少取得两个黑球的概率；
（3）从甲、乙两袋中分别取出一个球；求取得一黑球一白球的概率.
20、（12分）甲、乙两人各进行3次射击；甲每次击中目标的概率为32；乙每次击中目标的概率2
1。

（1）求甲恰好击中目标1次的概率； （2）求乙至少击中目标1次的概率；
（3）求乙恰好比甲少击中目标2次的概率．
21、（12分） 如图； 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中；AC ＝3
点D 是AB 的中点；
（1）求证：AC 1//平面CDB 1； （2）求异面直线 AC 1与 B 1C 所成角．
22.(14分)在三棱锥S-ABC中；△ABC是边长为4的正三角形；平面SAC⊥平面ABC；SA=SC=23；M、N分别为AB、SB的中点。

（1）求证：AC⊥SB；
（2）求二面角N-CM-B的大小；
（3）求点B到平面CMN的距离。

第四学期中期考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分；共60分）
二、填空题（每小题4分；共16分） 13、
32R ； 14、 －2
21
； 15、24； 16、 ①②④。

三、解答题：（本大题共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

）
17、解：(1)3600553523=A C C （种）；（6分） (2) =441447A A C 3360（种）。

（12分） 18．（1）5
5
2arctan
（6分）（2）2（12分） 19．解：（1）从甲袋中任取两球的总数为C 52
=10；取得一黑一白的总数为C 31
·C 21
=6；
所求的概率为P 1=
106=5
3
.（4分） （2）从乙中任取三球；至少取得两个黑球的概率3522
3
7
343713242=+=C C C C C P 。

（8分） （3）甲袋中任意取出黑球的概率为53；取出白球的概率为52；乙袋中取出黑球的概率为7
4
；
取出白球的概率为73.因此所求概率P 3=53·73+52·74=35
17
.（12分）
20．解：（1）甲恰好击中目标的1次的概率为9
2)321(32)1(2133=-⋅⋅=C P ； （4分）
（2）乙至少击中目标1次的概率为8
7
)211(1)0(133=--=-=P p ；（8分）
（3）设乙恰好比甲少击中目标2次为事件A ；乙恰击中目标0次且甲恰击中目标2次为事
件B 1；乙恰击中目标1次且甲恰击中目标3次为事件B 2；则A ＝B 1＋B 2；B 1；B 2为互斥事件．
6
1)32()211(21)321()32()211()()()(3
33213223321=⋅-⋅⋅+-⋅-=+=C C C B P B P A P .
所以；乙恰好比甲少击中目标2次的概率为1
6
.（12分）
21．解法一：（1）连结CB 1与C 1B 相交于E ；连结DE ；
∵ D 是AB 的中点；E 是BC 1的中点； ∴ DE//AC 1；
∵ DE ⊂平面CDB 1；AC 1⊄平面CDB 1； ∴ AC 1//平面CDB 1；（6分）
（2）∵ DE//AC 1；∴ ∠CED （或其补角）为AC 1与B 1C 所成的角； 在△CED 中；ED=21AC 1=25；CD=21AB=25；CE=2
1
CB 1=22； ∴ 822cos 55
2222CED ∠=
=⋅⋅
； ∴ 异面直线 AC 1与 B 1C 所成角的为arccos
22
5
.（12分）
解法2：（向量法）略
22、解法一：（1）取AC 中点D ；连结SD 、DB 。

∵SA=SC ；AB=BC ；∴AC ⊥SD 且AC ⊥BD ； ∴AC ⊥平面SDB ；又SB ⊂平面SDB ； ∴AC ⊥SB.（4分）
（2）∵AC ⊥平面SDB ；AC ⊂平面ABC ；∴平面SDB ⊥平面ABC.
过N 作NE ⊥BD 于E ；NE ⊥平面ABC ；过E 作EF ⊥CM 于F ；连结NF ；则NF ⊥CM. ∴∠NFE 为二面角N-CM-B 的平面角.
∵平面SAC ⊥平面ABC ；SD ⊥AC ；∴SD ⊥平面ABC. 又∵NE ⊥平面ABC ；∴NE ∥SD.
∵SN=NB ；∴NE=
21SD=2
122AD SA -=
2
1
412-=2；且ED=EB.
在正△ABC 中；由平几知识可求得EF=41MB=2
1； 在Rt △NEF 中；tan ∠NFE=
EF
EN
=22； ∴二面角N-CM-B 的大小是arctan22.（10分） （3）在Rt △NEF 中；NF=22EN EF +=2
3； ∴S △CMN =
21CM ·NF=233；S △CMB =2
1
BM ·CM=23.
设点B 到平面CMN 的距离为h ； ∵V B-CMN =V N-CMB ；NE ⊥平面CMB ； ∴
31S △CMN ·h=3
1
S △CMB ·NE ； ∴h=
CMN
CMB S NE S ⋅=32
4.
即点B 到平面CMN 的距离为
3
2
4.（14分） 解法二：（1）取AC 中点O ；连结OS 、OB. ∵SA=SC ；AB=BC ； ∴AC ⊥SO 且AC ⊥BO.
∵平面SAC ⊥平面ABC ；平面SAC ∩平面ABC=AC ∴SO ⊥面ABC ；∴SO ⊥BO.
如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.
则A （2；0；0）；B （0；23；0）；C （-2；0；0）； S （0；0；22）；M(1；3；0)；N(0；3；2).
∴AC =（-4；0；0）；SB =（0；23；22）；
∵AC ·SB =（-4；0；0）·（0；23；22）=0；∴AC ⊥SB. （2）由（Ⅰ）得CM =（3；3；0)；MN =（-1；0；2）.
设n =（x ；y ；z ）为平面CMN 的一个法向量； 则 ⎩⎨
⎧=+-=+0
2033z x y x 取z=1；则x=2；y=-6；
∴n =(2；-6；1)；又OS =(0；0；22)为平面ABC 的一个法向量； ∴cos(n ；OS |
|||OS n OS
⋅=
31
. ∴二面角N-CM-B 的大小为arccos
3
1
. （3）由（1）（2）得MB =（-1；3；0）；n =（2；-6；1）为平面CMN 的一个法向量；
∴点B 到平面CMN 的距离d=|
||·|n MB n =32
4.。