浙江省温州市灵溪中学2019年高三数学理期末试题含解析

浙江省温州市灵溪中学2019年高三数学理期末试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 等比数列中，其前n项和为，则等于
A．B．
C．D．
参考答案：
C
等比数列的前和公式是，因此由题意可知，且，解得。

新的数列是首项为，公比是的等比数列，所以。

2. 已知函数在上是的函数，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
3. 下列说法正确的是（）
A．函数的图像关于对称.
B. 将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到.
C. 命题都是假命题，则命题“”为真命题.
D. ，函数都不是偶函数.
参考答案：
A
4. .设，则
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
A
5. 已知点为双曲线的右支上一点，为双曲线的左、右焦点，若，且的面积为（
为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（）
参考答案：
A
6. 已知函数在上的解析式为，则函数
在上的零点的个数为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
参考答案：
C
7. 已知圆O的半径为2，A，B是圆上两点且∠AOB，MN是一条直径，点C在圆内
且满足，则的最小值为
A．－3 B．C．0 D．2
参考答案：
A
由图可知：，
，又因为是圆的一条直径，故是相反向量，且，，因为点在圆内且满足
，三点共线，当为的中点时，取得最小值，故的最小值为.
8. 设当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<log a x恒成立，则a的范围是()
A．(0,1) B．(1,2) C．(1,2] D.
参考答案：
C
略
9. 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为
（A）（B）（C）21 （D）18
参考答案：
A
10. 若x,y满足约束条件则z=4x+3y的最小值为
A.20
B.22
C. 24
D.28
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数，对于任意且，均存在
唯一的实数t，使得，且，若关于x的方程有4个不相等的实数根，则a的取值范围是．
参考答案：
(－6,－3).
12. 已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为
，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为．
参考答案：
﹣x2=1
【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．
【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得a=2b，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，可得FF1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．
【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）一条渐近线的方程为ax﹣by=0，
∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，
∴，
∴2b=a，
∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，
∴FF1=3，
∴c2+4=9，
∴c=，
∵c2=a2+b2，a=2b，
∴a=2，b=1，
∴双曲线的方程为﹣x2=1．
故答案为：﹣x2=1．
13. 设数列{a n}的前n项积为T n，且. 若
，则数列{b n}的前n项和S n为________．
参考答案：
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中
间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类
隔一项的裂项求和，如或.
14. 高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为
参考答案：
略
15. 若函数f（x）=（x﹣a）（x+3）为偶函数，则f（2）= ．
参考答案：
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据偶函数f（x）的定义域为R，则?x∈R，都有f（﹣x）=f（x），建立等式，解之求出a，即可求出f（2）．
【解答】解：因为函数f（x）=（x﹣a）（x+3）是偶函数，
所以?x∈R，都有f（﹣x）=f（x），
所以?x∈R，都有（﹣x﹣a）?（﹣x+3）=（x﹣a）（x+3），
即x2+（a﹣3）x﹣3a=x2﹣（a﹣3）x﹣3a，
所以a=3，
所以f（2）=（2﹣3）（2+3）=﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
16. 已知点A是不等式组所表示的平面区域内的一个动点，点B（-1，1），O为坐标原点，则·的取值范围是。

参考答案：
【知识点】线性规划问题 E5
作出不等式组对应的平面区域如图：
设由得表示，斜率为1纵截距为
的一组平行直线，平移直线，当直线经过点D时，直线的截距最小，此时最小，当直线经过点B时，直线的截距最大，此时最
大，由，即B（1，2），此时．
由，即D（2，1）此时，故，
故答案为：.
【思路点拨】设由得表示，斜率为1纵截距为的一组平行直线，作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论.
17. 设函数，若，，则
= ．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图是一“T”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m，东西向渠宽（从拐角处，即图中A，B处开始）．假定渠内
的水面始终保持水平位置（即无高度差）．
（1）在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠的一边的夹
角为，将线段PQ的长度l表示为θ的函数；
（2）若从南面漂来一根长为7m的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由．
参考答案：
【考点】在实际问题中建立三角函数模型．
【分析】（1）求出PA，QA，即可将线段PQ的长度l表示为θ的函数；
（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意，，，
所以l=PA+QA，即（）．…
（2）设，．
由，…
令f'（θ）=0，得．…
且当θ∈（0，θ0），f'（θ）＜0；当，f'（θ）＞0，
所以，f（θ）在（0，θ0）上单调递减；在上单调递增，
所以，当θ=θ0时，f（θ）取得极小值，即为最小值．…
当时，，，
所以f（θ）的最小值为，…
即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为m．
因为，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．…
19. 已知抛物线，直线y=kx+2与C交于A、B两点，且
，其中O为原点。

(I)求抛物线C的方程：
( II)点P坐标为（0，-2），记直线PA，PB的斜率分别为，证明：
为定值．
参考答案：
略
20. （本题满分18分）如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得，则称此函数具有“性质”.
（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由.
（2）已知具有“性质”，且当时，，求在上的最大值.
（3）设函数具有“性质”.且当时，，若与交点个数为2013个，求实数的值.
参考答案：
解：（1）由得，根据诱导公式得
．具有“性质”，其中．………………4分
（2）具有“性质”，．
设，则，
……………………6分
当时，在递增，时
当时，在上递减，在上递增，且
，时
当时，在上递减，在上递增，且
，时
综上所述：当时，；当时，………………………………11分
（3）具有“性质”，，，
，从而得到是以2为周期的函数．
又设，则，
．
再设（），
当（），则，
；
当（），则，
；
对于，（），都有，而
，，
是周期为1的函数．
①当时，要使得与有2013个交点，只要与在
有2012个交点，而在有一个交点．过
，从而得
②当时，同理可得
③当时，不合题意．
综上所述…………………………18分
略
21. 已知向量．
(I)求函数的单调增区间；
(Ⅱ)已知锐角△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c．其面积，
求b+c的值．
参考答案：
略
22. 已知函数f（x）=lnx﹣x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）=m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2，证明：x1?x22＜2．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）确定函数的定义域，求导数，即可求函数f（x）的单调区间；
（2）证明x2＞2，构造g（x）=lnx﹣x﹣m，证明g（x）在（0，1）上单调递增，即可证明结论．
【解答】解：（1）f（x）=lnx﹣x的定义域为（0，
+∞）…
令f′（x）＜0得x＞1，令f′（x）＞0得0＜x＜1
所以函数f（x）=lnx﹣x的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间（0，
1）……
（2）由（1）可设f（x）=m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，满足lnx﹣x﹣m=0
且0＜x1＜1，x2＞1，lnx1﹣x1﹣m=lnx2﹣x2﹣m=0 …
由题意可知lnx2﹣x2=m＜﹣2＜ln2﹣
2 …
又由（1）可知f（x）=lnx﹣x在（1，+∞）递减
故x2＞
2
…
令g（x）=lnx﹣x﹣m
g（x1）﹣g（）=﹣x2++3lnx2﹣
ln2 …
令h（t）=+3lnt﹣ln2（t＞2），
则h′（t）=﹣．
当t＞2时，h′（t）＜0，h（t）是减函数，所以h（t）＜h（2）=2ln2﹣＜0．…
所以当x2＞2 时，g（x1）﹣g（）＜0，即g（x1）＜g
（）…因为g（x）在（0，1）上单调递增，
所以x1＜，故x1?x22＜
2．
…
综上所述：x1?x22＜
2
…。