数学奥赛初高中数论衔接整数问题的求解思路

初高中数论衔接：整数问题的求解思路一、奇偶分析法
例4 1,2,3,…,98共98个自然数中，能够表示成两整数平方差的个数是_________. 练习：
二、整数问题
全国高中数学联合竞赛（四川初赛） 专题汇编：数论（2011-2016）
2016年四川初赛
2015年四川初赛
2014年四川初赛
12.对任意的正整数n ，定义()Z n 为满足“12...m +++是n 的倍数的最小的正整数m ”.则满足()6Z n =的全部正整数n 的和等于_______. 2013年四川初赛
2012年四川初赛
10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 ．
2011年四川初赛
10、设x 为实数，定义⎡⎤x 为不小于x 的最小整数，例如⎡⎤4=π，⎡⎤3-=-π． 关于实数x 的方程⎡⎤2
1
213-
=+x x 的全部实根之和等于 ．
三、同余问题 1、同余的性质
定义1：设m 是大于1的正整数，,a b 是整数，如果m a b -，则称,a b 关于模m 同余，记作
(mod )a b m ≡，当/m a b -，则称,a b 关于模m 不同余，记作/(mod )a b m ≡．
定理1：设,,,(1)a b c m m >是整数，则有 （1）反身性：(mod )a a m ≡；
（2）对称性：若(mod )a b m ≡，则(mod )b a m ≡；
（3）传递性：若(mod )a b m ≡，(mod )b c m ≡，则(mod )a c m ≡． 定理2：设1122(mod ),(mod )a b m a b m ≡≡，则 （1）1212(mod )a a b b m ±≡±； （2）1212(mod )a a bb m ≡． 2、典型例题
200011997例、被7除的余数是（ ）
A ．1 B.2 C.4 D.6
例2、试求出最小的正整数n ，使它的立方的末三位数为888
例3、求使21n +能被3整除的一切自然数n ．
例4、求4除55551299100++++所得的余数．
例5、已知定理：“若三个大于3的质数,,a b c 满足关系式25a b c +=，则a b c ++是整数n 的倍数”.试问：上述定理中的整数n 的最大可能值是多少？并证明你的结论.
2006110429练习 、数被除的余数为_______.
练习2、数1059,1417,2312被d 除的余数相同，1d >，则整数______.d =
练习3、使10p +,14p +都是素数的素数p （ ）
A ．不存在 B.有1个 C.有无穷多个 D.不只一个，但只有有限个
8888333343333+8888________≡练习 、 （mod7）
25530p p 练习 、是大于的质数，除以的余数为________.
2261(mod2).n
n a n a +≡练习 、设为奇数，为正整数，试证：
四、高斯函数 1. 有关概念
对于任意实数x ,[]x 为不超过x 的最大整数,,[]y x =称为取整函数或叫高斯函数,并将
{}[]y x x x ==-称为小数部分函数,表示x 的小数部分. 2. 重要性质
(1) []y x =的定义域是R ,值域为Z ; (2) 如果,x R n Z ∈∈,则有[][]n x n x +=+; (3) 对任意x R ∈,有[][][]1,1x x x x x x ≤<+-<≤; (4) 对于,x y R ∈,有[][][][][]1x y x y x y +≤+≤++; 3.典型例题
例1.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于．．6．
时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]( [x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为
A. y 10x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
B. 3y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
C. 4y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
D. 5y 10x +⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
例2. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有 A. [－x ] ＝ －[x ] B. [2x ] ＝ 2[x ]
C.[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]
D. [x －y ]≤[x ]－[y ]
例3.求232007232007⎡⎡⎡+++
+⎢⎢⎢⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
的值.
例4. 解方程 [][]83523x x -=.
例5.求方程[]2870x x -+=的所有解.
例6.解方程2721[]34
x x +-=.
课堂练习：
1. 解方程 []2440510x x -+=.
2. 解方程[]33x x -=.
3．若实数x 满足192091
[][][]546,100100100x x x ++++⋅⋅⋅++=求[100]x 的值。

4.111
11+++++.2342010⎡⎤⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦
求的值！！！！
5.解方程.232016x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。