(完整版)人教版数学七年级下册期末试卷填空题汇编精选考试题(二)

一、解答题
1．在平面直角坐标系中，点(,1)A a ，(,3)B b 满足关系式2(1)|2|0++-=a b ．
（1）求a ，b 的值；
（2）若点(3,)P n 满足ABP △的面积等于6，求n 的值；
（3）线段AB 与y 轴交于点C ，动点E 从点C 出发，在y 轴上以每秒1个单位长度的速度向下运动，动点F 从点(8,0)-M 出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，问t 为何值时有2ABE
ABF
S
S
=，请直接写出t 的值．
解析：（1）1a =-，2b =；（2）233或13
-；（3）22
15或2
【分析】
（1）根据一个数的平方与绝对值均非负，且其和为0，则可得它们都为0，从而可求得a 和b 的值；
（2）过点P 作直线l 垂直于x 轴，延长AB 交直线l 于点Q ，设点Q 坐标为(3,)a ，过A 作
AH l ⊥交直线l 于点H ，根据面积关系求出Q 点坐标，再求出PQ 的长度，即可求出n 的值；
（3）先根据AGOC CONB AGNB S S S +=梯形梯形梯形求出C 点坐标，再根据ADG
DNB
AGNB S S S
+=梯形求
出D 点坐标，根据题意可得F 点坐标，由2ABE
ABF
S S
=得关于t 的方程，求出t 值即可．
【详解】
（1）2(1)0a +≥，|2|0-≥b ，且2(1)|2|0++-=a b 2(1)0∴+=a ，|2|0b -=
a 1∴=-，
b 2=
（2）过P 作直线l 垂直于x 轴，延长AB 交直线l 于点Q ，设点Q 坐标为(3,)a ， 过A 作AH l ⊥交直线l 于点H ，如图所示
∵AHQ ABH BQH S S S =+△△△ ∴
111
4(1)42(1)1222
a a ⨯-=⨯⨯+-⨯ 解得113a =
，Q 点坐标为113,3⎫
⎛ ⎪⎝⎭
∵113
41222
ABP AQP BPQ S S S PQ PQ PQ =-=⨯-⨯=△△△ ∴
313
162n -= 解得：233n =或1
3
- （3）当22
15
t =
或2时，有2ABE
ABF
S S
=．
如图，延长BA 交x 轴于点D ，过A 点作AG ⊥x 轴于点G ，过B 点作BN ⊥x 轴于点N ，
∵AGOC CONB AGNB S S S +=梯形梯形梯形
∴
111
(1)1(3)2(13)3222
OC OC +⨯++⨯=⨯+⨯ 解得：53OC =
∴50,3C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∵ADG
DNB
AGNB S S S
+=梯形
∴
111
1(13)3(3)3222
DG DG ⨯+⨯+⨯=+⨯ 解得：3
2
DG = ∵(1,0)G -
∴5,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭
当运动t 秒时，(82,0)F t -+
∴51182222DF t t ⎛⎫
=-+--=- ⎪⎝⎭
∵CE =t ∴13
=[2(1)]22ABE
S CE t ⨯--=，111
(31)222
ABF
BDF
DAF
S S
S
DF t =-=
⨯-=- ∵2ABE
ABF
S S
=
∴
311
2222
t t =- 解得：22
15
t =或2． 【点睛】
本题主要考查三角形的面积，含绝对值方程解法，熟练掌握直角坐标系的知识，三角形的面积，梯形的面积等知识是解题的关键，难点在于对图形进行割补转化为易求面积的图形．
2．如图1，已知直线CD ∥EF ，点A ，B 分别在直线CD 与EF 上．P 为两平行线间一点．
（1）若∠DAP ＝40°，∠FBP ＝70°，则∠APB ＝
（2）猜想∠DAP ，∠FBP ，∠APB 之间有什么关系？并说明理由； （3）利用（2）的结论解答：
①如图2，AP 1，BP 1分别平分∠DAP ，∠FBP ，请你写出∠P 与∠P 1的数量关系，并说明理由；
②如图3，AP 2，BP 2分别平分∠CAP ，∠EBP ，若∠APB ＝β，求∠AP 2B ．（用含β的代数式
表示）
解析：（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP+∠FBP，理由见解析；（3）①∠P=2∠P1，
理由见解析；②∠AP2B=
1 180
2
β
︒-．
【分析】
（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB=∠FBP，最后根据
∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；
（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．
（3）①根据（2）的规律和角平分线定义解答；②根据①的规律可得
∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解．
【详解】
（1）证明：过P作PM∥CD，
∴∠APM=∠DAP．（两直线平行，内错角相等），
∵CD∥EF（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠MPB=∠FBP．（两直线平行，内错角相等），
∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP．（等式性质）即∠APB=∠DAP+∠FBP=40°+70°=110°．（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．
理由：见（1）中证明．
（3）①结论：∠P=2∠P1；
理由：由（2）可知：∠P=∠DAP+∠FBP，∠P1=∠DAP1+∠FBP1，
∵∠DAP=2∠DAP1，∠FBP=2∠FBP1，
∴∠P=2∠P1．
②由①得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，
∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，
∴∠CAP2=1
2∠CAP，∠EBP2=1
2
∠EBP，
∴∠AP2B=1
2∠CAP+1
2
∠EBP，
= 1
2（180°-∠DAP）+ 1
2
（180°-∠FBP），
=180°- 1
2
（∠DAP+∠FBP），
=180°- 1
2
∠APB，
=180°- 1
2β． 【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．
3．已知AB ∥CD ，∠ABE 与∠CDE 的角分线相交于点F ．
（1）如图1，若BM 、DM 分别是∠ABF 和∠CDF 的角平分线，且∠BED ＝100°，求∠M 的度数；
（2）如图2，若∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝1
3
∠CDF ，∠BED ＝α°，求∠M 的度数；
（3）若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1
n
∠CDF ，请直接写出∠M 与∠BED 之间的数量关系
解析：（1）65°；（2）3606
α︒-︒
；（3）2n ∠M +∠BED =360° 【分析】
（1）首先作EG ∥AB ，FH ∥AB ，连结MF ，利用平行线的性质可得∠ABE +∠CDE =260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF +∠CDF =130°，从而得到∠BFD 的度数，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质可求∠M 的度数；
（2）先由已知得到∠ABE =6∠ABM ，∠CDE =6∠CDM ，由（1）得∠ABE +∠CDE =360°-∠BED ，∠M =∠ABM +∠CDM ，等量代换即可求解； （3）由（2）的方法可得到2n ∠M +∠BED =360°． 【详解】
解：（1）如图1，作//EG AB ，//FH AB ，连结MF ，
//AB CD ，
//////EG AB FH CD ∴，
ABF BFH ∴∠=∠，CDF DFH ∠=∠，180ABE BEG ∠+∠=︒，180GED CDE ∠+∠=︒，
360ABE BEG GED CDE ∴∠+∠+∠+∠=︒，
100BED BEG DEG ∠=∠+∠=︒，
260ABE CDE ∴∠+∠=︒，
ABE ∠和CDE ∠的角平分线相交于E ，
130ABF CDF ∴∠+∠=︒，
130BFD BFH DFH ∴∠=∠+∠=︒，
BM 、DM 分别是ABF ∠和CDF ∠的角平分线，
12MBF ABF ∴∠=∠，1
2MDF CDF ∠=∠，
65MBF MDF ∴∠+∠=︒，
1306565BMD ∴∠=︒-︒=︒；
（2）如图1，13
ABM ABF ∠=∠，1
3CDM CDF ∠=∠，
3ABF ABM ∴∠=∠，3CDF CDM ∠=∠，
ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ，
6ABE ABM ∴∠=∠，6CDE CDM ∠=∠， 66360ABM CDM BED ∴∠+∠+∠=︒，
BMD ABM CDM ∠=∠+∠， 6360BMD BED ∴∠+∠=︒，
3606
BMD α︒-︒
∴∠=
； （3）由（2）结论可得，22360n ABM n CDM E ∠+∠+∠=︒，M ABM CDM ∠=∠+∠， 则2360n M BED ∠+∠=︒． 【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．
4．直线AB ∥CD ，点P 为平面内一点，连接AP ，CP ．
（1）如图①，点P 在直线AB ，CD 之间，当∠BAP ＝60°，∠DCP ＝20°时，求∠APC 的度数；
（2）如图②，点P 在直线AB ，CD 之间，∠BAP 与∠DCP 的角平分线相交于K ，写出∠AKC 与∠APC 之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，点P 在直线CD 下方，当∠BAK ＝23∠BAP ，∠DCK ＝2
3
∠DCP 时，写出
∠AKC 与∠APC 之间的数量关系，并说明理由．
解析：（1）80°；（2）∠AKC＝1
2∠APC，理由见解析；（3）∠AKC＝2
3
∠APC，理由见解
析
【分析】
（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；
（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线
的定义，得出∠BAK+∠DCK＝1
2∠BAP+1
2
∠DCP＝1
2
（∠BAP+∠DCP）＝1
2
∠APC，进而得
到∠AKC＝1
2
∠APC；
（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据已知得出∠BAK﹣
∠DCK＝2
3∠BAP﹣2
3
∠DCP＝2
3
∠APC，进而得到∠BAK﹣∠DCK＝2
3
∠APC．
【详解】
（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；（2）∠AKC＝1
2
∠APC．
理由：如图2，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，
∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK+∠DCK＝1
2∠BAP+1
2
∠DCP＝1
2
（∠BAP+∠DCP）＝1
2
∠APC，
∴∠AKC＝1
2
∠APC；
（3）∠AKC＝2
3
∠APC
理由：如图3，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，
∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，
∵∠BAK＝2
3∠BAP，∠DCK＝2
3
∠DCP，
∴∠BAK﹣∠DCK＝2
3∠BAP﹣2
3
∠DCP＝2
3
（∠BAP﹣∠DCP）＝
2
3
∠APC，
∴∠AKC＝2
3
∠APC．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计算．
5．已知：直线AB∥CD，M，N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连HM，HN．（1）如图1，延长HN至G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．求证：2∠MEN﹣∠MHN＝180°；
（2）如图2，∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E．
①请直接写出∠MEN与∠MHN的数量关系：；
②作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延长线于点Q，若∠H＝140°，求∠ENQ的度数．（可直接运用①中的结论）
解析：（1）见解析；（2）①2∠MEN＋∠MHN＝360°；②20°
【分析】
（1）过点E作EP∥AB交MH于点Q，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等即可得证．
（2）①过点H作GI∥AB，利用（1）中结论2∠MEN﹣∠MHN＝180°，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等得出∠AMH＋∠HNC＝360°﹣（∠BMH＋∠HND），进而用等量代换得出2∠MEN＋∠MHN＝360°．
②过点H作HT∥MP，由①的结论得2∠MEN＋∠MHN＝360°，∠H＝140°，∠MEN＝110°．利用平行线性质得∠ENQ＋∠ENH＋∠NHT＝180°，由角平分线性质及邻补角可得∠ENQ＋∠ENH＋140°﹣1
2
（180°﹣∠BMH）＝180°．继续使用等量代换可得∠ENQ度数．【详解】
解：（1）证明：过点E作EP∥AB交MH于点Q．如答图1
∵EP∥AB且ME平分∠BMH，
∴∠MEQ＝∠BME＝1
2
∠BMH．
∵EP∥AB，AB∥CD，
∴EP∥CD，又NE平分∠GND，
∴∠QEN＝∠DNE＝1
2
∠GND．（两直线平行，内错角相等）
∴∠MEN＝∠MEQ＋∠QEN＝1
2∠BMH＋1
2
∠GND＝1
2
（∠BMH＋∠GND）．
∴2∠MEN＝∠BMH＋∠GND．
∵∠GND＋∠DNH＝180°，∠DNH＋∠MHN＝∠MON＝∠BMH．∴∠DHN＝∠BMH﹣∠MHN．
∴∠GND＋∠BMH﹣∠MHN＝180°，
即2∠MEN﹣∠MHN＝180°．
（2）①：过点H作GI∥AB．如答图2
由（1）可得∠MEN＝1
2
（∠BMH＋∠HND），
由图可知∠MHN＝∠MHI＋∠NHI，
∵GI∥AB，
∴∠AMH＝∠MHI＝180°﹣∠BMH，
∵GI∥AB，AB∥CD，
∴GI∥CD．
∴∠HNC＝∠NHI＝180°﹣∠HND．
∴∠AMH＋∠HNC＝180°﹣∠BMH＋180°﹣∠HND＝360°﹣（∠BMH＋∠HND）．又∵∠AMH＋∠HNC＝∠MHI＋∠NHI＝∠MHN，
∴∠BMH＋∠HND＝360°﹣∠MHN．
即2∠MEN＋∠MHN＝360°．
故答案为：2∠MEN＋∠MHN＝360°．
②：由①的结论得2∠MEN＋∠MHN＝360°，
∵∠H＝∠MHN＝140°，
∴2∠MEN＝360°﹣140°＝220°．
∴∠MEN＝110°．
过点H作HT∥MP．如答图2
∵MP∥NQ，
∴HT∥NQ．
∴∠ENQ＋∠ENH＋∠NHT＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵MP平分∠AMH，
∴∠PMH＝1
2∠AMH＝1
2
（180°﹣∠BMH）．
∵∠NHT＝∠MHN﹣∠MHT＝140°﹣∠PMH．
∴∠ENQ＋∠ENH＋140°﹣1
2
（180°﹣∠BMH）＝180°．
∵∠ENH＝1
2
∠HND．
∴∠ENQ＋1
2∠HND＋140°﹣90°＋1
2
∠BMH＝180°．
∴∠ENQ＋1
2
（HND＋∠BMH）＝130°．
∴∠ENQ＋1
2
∠MEN＝130°．
∴∠ENQ＝130°﹣110°＝20°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，邻补角，等量代换，角之间的数量关系运算，辅助线的作法，正确作出辅助线是解题的关键，本题综合性较强．
6．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度
数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
解析：（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°
【分析】
（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；
∠BME，进而可求解．
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=1
2
【详解】
解：（1）过E作EH∥AB，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如图2，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝1
2∠MEN＝1
2
（∠BME＋∠END），∠ENP＝1
2
∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝1
2（∠BME＋∠END）﹣1
2
∠END＝1
2
∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝1
2
×60°＝30°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．
7．如图，∠EBF＝50°，点C是∠EBF的边BF上一点．动点A从点B出发在∠EBF的边BE 上，沿BE方向运动，在动点A运动的过程中，始终有过点A的射线AD∥BC．
（1）在动点A运动的过程中，（填“是”或“否”）存在某一时刻，使得AD平分∠EAC？（2）假设存在AD平分∠EAC，在此情形下，你能猜想∠B和∠ACB之间有何数量关系？并请说明理由；
（3）当AC⊥BC时，直接写出∠BAC的度数和此时AD与AC之间的位置关系．
解析：（1）是；（2）∠B＝∠ACB，证明见解析；（3）∠BAC＝40°，AC⊥AD．
【分析】
（1）要使AD平分∠EAC，则要求∠EAD＝∠CAD，由平行线的性质可得∠B＝∠EAD，
∠ACB＝∠CAD，则当∠ACB＝∠B时，有AD平分∠EAC；
（2）根据角平分线可得∠EAD＝∠CAD，由平行线的性质可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝
∠CAD，则有∠ACB＝∠B；
（3）由AC⊥BC，有∠ACB＝90°，则可求∠BAC＝40°，由平行线的性质可得AC⊥AD．【详解】
解：（1）是，理由如下：
要使AD平分∠EAC，
则要求∠EAD＝∠CAD，
由平行线的性质可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，
则当∠ACB＝∠B时，有AD平分∠EAC；
故答案为：是；
（2）∠B＝∠ACB，理由如下：
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，
∴∠B＝∠ACB．
（3）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵∠EBF＝50°，
∴∠BAC＝40°，
∵AD∥BC，
∴AD⊥AC．
【点睛】
此题考查了角平分线和平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行线的有关性质是解题的关键．
8．如图1，已知直线m∥n，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即
∠OPA=∠QPB．
（1）如图1，若∠OPQ=82°，求∠OPA的度数；
（2）如图2，若∠AOP=43°，∠BQP=49°，求∠OPA的度数；
（3）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形ABCD，光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为
O→P→Q→R→O→P→…试判断∠OPQ和∠ORQ的数量关系，并说明理由．
解析：（1）49°，（2）44°，（3）∠OPQ=∠ORQ
【分析】
（1）根据∠OPA=∠QP B．可求出∠OPA的度数；
（2）由∠AOP=43°，∠BQP=49°可求出∠OPQ的度数，转化为（1）来解决问题；
（3）由（2）推理可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，从而
∠OPQ=∠ORQ．
【详解】
解：（1）∵∠OPA=∠QPB，∠OPQ=82°，
∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×1
2=（180°-82°）×1
2
=49°，
（2）作PC∥m，
∵m∥n，
∴m∥PC∥n，
∴∠AOP=∠OPC=43°，
∠BQP=∠QPC=49°，
∴∠OPQ=∠OPC+∠QPC=43°+49°=92°，
∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×1
2=（180°-92°）×1
2
44°，
（3）∠OPQ=∠ORQ．
理由如下：由（2）可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，
∴∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠RQC，
∴∠OPQ=∠ORQ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定，解决本题的关键是注意问题的设置环环相扣、前为后用的设置目的．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC,点A的坐标是(4，0)，点B的坐标是(2，3)，点C在x轴的负半轴上,且AC=6.
(1)直接写出点C的坐标.
(2)在y轴上是否存在点P，使得S△POB=2
3
S△ABC若存在,求出点P的坐标;若不存在，请说明
理由.
(3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线CH,连接BH，点M在射线CH上运动(不与点
C、H重合).试探究∠HBM，∠BMA，∠MAC之间的数量关系，并证明你的结论.
解析：(1)C(-2，0)；(2)点P坐标为(0，6)或(0，-6)；(3)∠BMA=∠MAC±∠HBM，证明见解析.【分析】
(1)由点A坐标可得OA=4，再根据C点x轴负半轴上，AC=6即可求得答案；
(2)先求出S△ABC=9，S△BOP=OP，再根据S△POB=2
3
S△ABC，可得OP=6，即可写出点P的坐标；
(3)先得到点H的坐标，再结合点B的坐标可得到BH//AC，然后根据点M在射线CH上，分点M在线段CH上与不在线段CH上两种情况分别进行讨论即可得.
【详解】
(1)∵A(4，0)，
∴OA=4，
∵C点x轴负半轴上，AC=6，
∴OC=AC-OA=2，
∴C(-2，0)；
(2)∵B(2，3)，
∴S△ABC=1
2×6×3=9，S△BOP=1
2
OP×2=OP，
又∵S△POB=2
3
S△ABC，
∴OP=2
3
×9=6，
∴点P 坐标为(0，6)或(0，-6)；
(3)∠BMA=∠MAC±∠HBM ，证明如下：
∵把点C 往上平移3个单位得到点H ，C(-2，0)，
∴H(-2，3)，
又∵B(2，3)，
∴BH//AC ；
如图1，当点M 在线段HC 上时，过点M 作MN//AC ，
∴∠MAC=∠AMN ，MN//HB ，
∴∠HBM=∠BMN ，
∵∠BMA=∠BMN+∠AMN ，
∴∠BMA=∠HBM+∠MAC ；
如图2，当点M 在射线CH 上但不在线段HC 上时，过点M 作MN//AC ，
∴∠MAC=∠AMN ，MN//HB ，
∴∠HBM=∠BMN ，
∵∠BMA=∠AMN-∠BMN ，
∴∠BMA=∠MAC-∠HBM ；
综上，∠BMA=∠MAC±∠HBM.
【点睛】
本题考查了点的坐标，三角形的面积，点的平移，平行线的判定与性质等知识，综合性较强，正确进行分类并准确画出图形是解题的关键.
10．如图，在下面直角坐标系中，已知()0,A a ，(),0B b ，(),C b c 三点，其中a ，b ，c 满足关系式()2
2340a b c -+-+-=．
（1）求a ，b ，c 的值；
（2）如果在第二象限内有一点1,2P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使四边形ABOP 的面积与三角形ABC 的面积相
等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
解析：（1）a=2，b=3，c=4；（2）S 四边形ABOP = 3-m ；（3）存在，P （-3，12
）． 【分析】
（1）根据非负数的性质，即可解答；
（2）四边形ABOP 的面积=△APO 的面积+△AOB 的面积，即可解答；
（3）存在，根据面积相等求出m 的值，即可解答．
【详解】
解：（1）由已知()2
240a c --=可得：
a-2=0，b-3=0，c-4=0，
解得：a=2，b=3，c=4；
（2）∵a=2，b=3，c=4，
∴A （0，2），B （3，0），C （3，4），
∴OA=2，OB=3，
∵S △ABO =12×2×3=3，
S △APO =12×2×（-m ）=-m ，
∴S 四边形ABOP =S △ABO +S △APO =3+（-m ）=3-m
（3）存在，
∵S △ABC =12×4×3=6，
若S 四边形ABOP =S △ABC =3-m=6，则m=-3，
∴存在点P （-3，12）使S 四边形ABOP =S △ABC ． 【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，解决本题的关键是根据非负数的性质求出a ，b ，c ． 11．如图，点A (1，n )，B (n ，1)，我们定义：将点A 向下平移1个单位，再向右平移1个单位，同时点B 向上平移1个单位，再向左平移1个单位称为一次操作，此时平移后的两点记为A 1，B 1，t 次操作后两点记为A t ，B t ．
（1）直接写出A 1，B 1，A t ，B t 的坐标（用含n 、t 的式子表示）；
（2）以下判断正确的是 ．
A ．经过n 次操作，点A ，点
B 位置互换
B ．经过（n ﹣1）次操作，点A ，点B 位置互换
C ．经过2n 次操作，点A ，点B 位置互换
D ．不管几次操作，点A ，点B 位置都不可能互换
（3）t 为何值时，A t ，B 两点位置距离最近？
解析：（1）A 1(2，n ﹣1)，B 1(n ﹣1，2)，A t (1+t ，n ﹣t )，B t (n ﹣t ，1+t )；（2）B ；（3）t ＝12n -或t ＝2n 或t ＝22
n - 【分析】
（1）根据点在平面直角坐标系中的平移规律求解可得答案；
（2）由1+t ＝n 时t ＝n ﹣1，知n ﹣t ＝n ﹣（n ﹣1）＝1，据此可得答案；
（3）分n 为奇数和偶数两种情况，得出对应的方程，解之可得n 关于t 的式子．
【详解】
解：（1）A 1（2，n ﹣1），B 1（n ﹣1，2），A t （1+t ，n ﹣t ），B t （n ﹣t ，1+t ）； （2）当1+t ＝n 时，t ＝n ﹣1．
此时n ﹣t ＝n ﹣（n ﹣1）＝1，
故选：B ；
（3）当n 为奇数时：1+t ＝n ﹣t 解得t ＝12
n -， 当n 为偶数时：1+t ＝n ﹣t +1 解得t ＝2
n ， 或1+t ＝n ﹣t ﹣1 解得t ＝
22
n -． 【点睛】 本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握点在平面直角坐标系中的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
12．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A 、B 两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润 = 销售收入-进货成本）
（1）求A 、B 两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A 种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若
能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
解析：（1）A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；（2）超市最多采购A 种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；（3）超市不能实现利润1400元的目标；
【分析】
（1）根据第一周和第二周的销售量和销售收入，可列写2个等式方程，再求解二元一次方程组即可；
（2）利用不多于5400元这个量，列写不等式，得到A 型电风扇a 台的一个取值范围，从而得出a 的最大值；
（3）将B 型电风扇用(30-a)表示出来，列写A 、B 两型电风扇利润为1400的等式方程，可求得a 的值，最后在判断求解的值是否满足（2）中a 的取值范围即可
【详解】
解：（1）设A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为x 元、y 元，
依题意得：3518004103100x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：250210x y =⎧⎨=⎩
， 答：A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元．
（2）设采购A 种型号电风扇a 台，则采购B 种型号电风扇（30-a ）台．
依题意得：200a+170（30-a ）≤5400，解得：a≤10．
答：超市最多采购A 种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；
（3）依题意有：（250-200）a+（210-170）（30-a ）=1400，
解得：a=20，∵a≤10，
∴在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标．
【点睛】
本题是二元一次方程和一元一次不等式应用题的综合考查，解题关键是依据题意，找出等量关系式(不等关系式)，然后按照题目要求相应求解
13．（阅读感悟）
一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x ，y 满足35x y -=①，237x y +=②，求4x y -和75x y +的值．
本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x ，y 的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由①－②可得42x y -=-，由①+②×2可得7519x y +=．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
（解决问题）
（1）已知二元一次方程组34312x y x y +=⎧⎨+=⎩
，则x y -= ，x y += ． （2）某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买20支铅笔、20块橡皮、20本日记本共需多少元？
（3）对于实数x ，y ，定义新运算：x y ax by c =++※，其中a ，b ，c 是常数，等式右边
是通常的加法和乘法运算．已知1416=※，1521=※，求11※的值．
解析：（1）－4，4；（2）购买20支铅笔、20块橡皮、20本日记本共需120元；（3）1
【分析】
（1）由①-②得2x -2y =-8，则x -y =-4，再由①+②得4x +4y =16，则x +y =4；
（2）设1支铅笔x 元，1块橡皮y 元，1本日记本z 元，由题意：买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，列出方程组，再由整体思想”求出x +y +z =6，即可求解；
（3）由定义新运算：x ※y =ax +by +c 得1※4=a +4b +c =16①，1※5=a +5b +c =21②，求出a +b +c =1，即可求解．
【详解】
解：（1）34312x y x y +=⎧⎨+=⎩
①②， ①-②得：2x -2y =-8，
∴x -y =-4，
①+②得：4x +4y =16，
∴x +y =4，
故答案为：-4，4；
（2）设1支铅笔x 元，1块橡皮y 元，1本日记本z 元，
由题意得：5323295358x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩
①②， ①×2-②得：x +y +z =6，
∴20x +20y +20z =20（x +y +z ）=20×6=120，
即购买20支铅笔、20块橡皮、20本日记本共需120元；
（3）∵x ※y =ax +by +c ，
∴1※4=a +4b +c =16①，1※5=a +5b +c =21②，
②-①得：b =5，
∴a +c =16-4b =-4，
∴a +b +c =1，
∴1※1=a +b +c =1．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想以及新运算等知识；熟练掌握整体思想和新运算，找准等量关系，列出方程组是解题的关键．
14．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x 的多项式用记号f(x)来表示．例如f(x)＝x 2＋3x －5，把x ＝某数时多项式的值用f(某数)来表示．例如x ＝－1时多项式x 2＋3x －5的值记为f(－1)＝(－1)2＋3×(－1)－5＝－7.
(1)已知g(x)＝－2x 2－3x ＋1，分别求出g(－1)和g(－2)；
(2)已知h(x)＝ax 3＋2x 2－ax －6，当h(12)＝a ，求a 的值；
(3)已知f(x)＝2+3kx a －6x bk -－2(a ，b 为常数)，当k 无论为何值，总有f(1)＝0，求a ，b 的值． 解析：(1)g(－1)＝2 g(－2)＝－1 (2)a ＝－4 (3)a ＝
132，b ＝－4. 【解析】
【分析】（1）将x=-1和x=-2分别代入可得出答案；
（2）将x=12
代入可得关于a 的一元一次方程，解出即可； （3）由f(1)＝0，把x=1代入可得关于a 、b 、k 的方程，根据无论k 为何值时，都成立就可求出a 、b 的值．
【详解】（1）由题意得：g （-1）=-2×（-1）2-3×（-1）+1=2；
g （-2）=-2×（-2）2-3×（-2）+1=-1；
（2）由题意得：1116822
a a a +--=， 解得：a=-4；
（3）∵k 无论为何值，总有f(1)＝0，
∴21236
k a bk +---=0， 则当k=1、k=0时，可得方程组21203612036
a b a +-⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩， 解得：1324
a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩. 【点睛】本题考查了代数式求值、解一元一次方程、一元一次方程的解、解二元一次方程组等，读懂新定义是解题的关键.
15．某公园的门票价格如下表所示：
某中学七年级(1)、(2)两个班计划去游览该公园，其中(I)班的人数较少，不足 50 人；(2) 班人数略多，有 50 多人．如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付 1172 元，如 果两个班联合起来，作为一个团体购票，则需付 1078 元．
(1)列方程求出两个班各有多少学生；
(2)如果两个班联合起来买票，是否可以买单价为 9 元的票？你有什么省钱的方法来帮 他们买票呢？请给出最省钱的方案．
解析：(1)七（1）班有47人，七（2）班有51人;(2) 如果两个班联合起来买票，不可以买单价为9 元的票, 省钱的方法，可以买101张票，多余的作废即可
【解析】
（1）由两个班联合起来，作为一个团体购票，则需付 1078 元可知：710879=1209
÷可得票价不是9元，所以两个班的总人数没有超过100人，设七（1）班有x 人，七（2）班有y 人，可列方程组，解方程组即可得答案；（2）如果两班联合起来作为一个团体购票，则每张票11元，省钱的方法，可以买101张票，多余的作废即可。

【详解】
解：（1）∵两个班联合起来，作为一个团体购票，则需付 1078 元
有∵710879=1209
÷可得票价不是9元，所以两个班的总人数没有超过100人， ∴设七（1）班有x 人，七（2）班有y 人，依题意得：
13x+11117211111078
4751y x y x y =⎧⎨+=⎩=⎧∴⎨=⎩
∴七（1）班有47人，七（2）班有51人
（2）因为47+51=98<100
∴如果两个班联合起来买票，不可以买单价为9 元的票
∴省钱的方法，可以买101张票，多余的作废即可。

可省：10781019169-⨯=
【点睛】
熟练掌握二元一次方程组的实际问题是解题的关键。

16．如图，已知∠a 和β∠的度数满足方程组223080αββα︒
︒⎧∠+∠=⎨∠-∠=⎩
，且CD //EF,AC AE ⊥.
(1)分别求∠a 和β∠的度数；
(2)请判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由；
(3)求C ∠的度数．
解析：（1）50130αβ︒
︒⎧∠=⎨∠=⎩
；（2）//AB CD ，理由详见解析；（3）40° 【分析】
（1）利用加减消元法，通过解二元一次方程组可求出∠a 和β∠的度数；
（2）利用求得的∠a 和β∠的度数可得到180αβ∠+∠=︒，于是根据平行线的判定可判断AB ∥EF ，然后利用平行的传递性可得到AB ∥CD ；
（3）先根据垂直的定义得到90CAE ∠=︒，再根据平行线的性质计算C ∠的度数.
解（1）解方程组223080αββα︒︒⎧+=⎨∠-∠=⎩
①②， ①-②得：3150α∠=︒ ，解得：50α∠=︒
把50α∠=︒代入②得：5080β∠-︒=︒
解得：130β∠=︒；
（2）//AB CD ，
理由：∵50α∠=︒，130β∠=︒，
180αβ︒∴∠+∠=，
//AB EF ∴(同旁内角互补，两直线平行)，
又 CD//EF ，
//AB CD ∴；
（3）AC AE ⊥，
90CAE ︒∴∠=
//AB CD
180C CAB ︒∴∠+∠=
180905040C ︒∴∠=︒-︒-︒=.
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定、解二元一次方程组，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题关键.
17．某工厂准备用图甲所示的A 型正方形板材和B 型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
（1）若现有A 型板材150张，B 型板材300张，可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？
（2）若该工厂准备用不超过24000元资金去购买A 、B 两种型号板材，制作竖式、横式箱子共100个，已知A 型板材每张20元，B 型板材每张60元，问最多可以制作竖式箱子多少个？
（3）若该工厂新购得65张规格为3m 3m ⨯的C 型正方形板材，将其全部切割成A 型或B 型板材（不计损耗），用切割的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于10个，且材料恰好用完，则最多可以制作竖式箱子多少个？
解析：（1）可制作竖式无盖箱子30个，可制作横式无盖箱子60个；（2）最多可以制作竖式箱子50个；（3）最多可以制作竖式箱子45个
【分析】
（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，再解方程组即可解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得最多可以制作竖式箱子多少个； （3）根据题意可以列出相应的二元一次方程，再根据a 为整数和a≥10，即可解答本题．
【详解】
解：（1）设可制作竖式无盖箱子m 个，可制作横式无盖箱子n 个，依题意有
215043300m n m n +=⎧⎨+=⎩
， 解得3060m n =⎧⎨=⎩
， 故可制作竖式无盖箱子30个，可制作横式无盖箱子60个；
（2）由题意可得，
1个竖式箱子需要1个A 型和4个B 型，1个横式箱子需要2个A 型和3个B 型， 设竖式箱子x 个，则横式箱子（100-x ）个，
（20+4×60）x+（2×20+3×60）（100-x ）≤24000，
解得x≤50，
故x 的最大值是50，
答：最多可以制作竖式箱子50个；
（3）C 型可以看成三列，每一列可以做成3个A 型或1个B 型，65个C 型就有65×3=195列，
∵材料恰好用完，
∴最后A 型的数量一定是3的倍数，
设竖式a 个，横式b 个，
∵1个竖式箱子需要1个A 型和4个B 型，1个横式箱子需要2个A 型和3个B 型，1个B 型相当于3个A 型，
∴（1+4×3）a+（2+3×3）b=195×3，
∴13a+11b=585，
∵a 、b 均为整数，a≥10，
∴450a b =⎧⎨=⎩或3413a b =⎧⎨=⎩或2326a b =⎧⎨=⎩
或1239a b =⎧⎨=⎩， 故最多可以制作竖式箱子45个．
【点睛】
本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程（组）的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程和不等式的性质解答．
18．阅读材料：形如2213x <+<的不等式，我们就称之为双连不等式.求解双连不等式的
方法一，转化为不等式组求解，如221213x x <+⎧⎨+<⎩
；方法二，利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去1，得122x <<，然后同时除以2，得1112
x <<． 解决下列问题：
（1）请你写一个双连不等式并将它转化为不等式组；
（2）利用不等式的性质解双连不等式2235x ≥-+>-；
（3）已知532x -≤<-，求35x +的整数值．
解析：（1）见解析；（2）
142x <；（3）4-或3- 【分析】 （1）325x <-<，转化为不等式组3225x x <-⎧⎨-<⎩
； （2）根据方法二的步骤解答即可；
（3）根据方法二的步骤解答，得出54352
x -+<-，即可得到结论．
【详解】
解：（1）325x <-<， 转化为不等式组3225
x x <-⎧⎨-<⎩； （2）2235x -+>-，
不等式的左、中、右同时减去3，得128x -->-，
同时除以2-，得142
x <； （3）532
x -<-， 不等式的左、中、右同时乘以3，得15932x -<-
， 同时加5，得54352
x -+<-，
35x ∴+的整数值4-或3-． 【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，参照方法二解不等式组是解题的关键，应用的是不等式的性质．
19．某体育拓展中心的门票每张10元，一次性使用考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的顾客，该拓展中心除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）的售票方法．年票分A 、B 两类：A 类年票每张120元，持票者可不限次进入中心，且无需再购买门票；B 类年票每张60元，持票者进入中心时，需再购买门票，每次2元．
（1）小丽计划在一年中花费80元在该中心的门票上，如果只能选择一种购买门票的方式，她怎样购票比较合算？
（2）小亮每年进入该中心的次数约20次，他采取哪种购票方式比较合算？
（3）小明根据自己进入拓展中心的次数，购买了A 类年票，请问他一年中进入该中心不低于多少次？
解析：（1）应该购买B 类年票，理由见解析；（2）应该购买B 类年票，理由见解析；（3）小明一年中进入拓展中心不低于30次
【分析】
（1）因为80元小于120元，故无法购买A 类年票，继而分别讨论直接购票与购买B 类年票，这两种方式何者次数更多即可．
（2）本题根据进入中心的次数，分别计算小亮直接购票、购买A 类年票、购买B 类年票所消费的总金额，最后比较总花费大小即可．
（3）小明选择购买A 类年票，说明A 类年票更为划算，故需满足直接购票与购买B 类年票所花费的金额不低于120元，最后列不等式求解即可．
【详解】
（1）由于预算限制，小丽不可能买A 类年票；若直接购票，可以进中心8010=8÷次；若购买B 类年票，可进中心(8060)210-÷=次，所以应该购买 B 类年票．
（2）若直接购买门票，需花费2010=200⨯元；若购买A 类年票，需花费120元；若购买B 类年票，需花费60+202=100⨯元；所以应该购买B 类年票．
（3）设小明每年进拓展中心约x 次，根据题意列出不等式组：10120602120
x x ≥⎧⎨+≥⎩ ，解得1230x x ≥⎧⎨≥⎩
，故30x ≥． 所以小明一年中进入拓展中心不低于30次．
【点睛】
本题考查实际问题以及不等式，解题关键在于对题目的理解，此类型题目需要分类讨论做对比，其次需要从实际问题背景抽离数学关系，最后注意计算仔细即可．
20．对于实数x ，若231a x ≤+，则符合条件的a 中最大的正数为X 的内数，例如：8的内数是5；7的内数是4．
（1）1的内数是______，20的内数是______，6的内数是______；
（2）若3是x 的内数，求x 的取值范围；
（3）一动点从原点出发，以3个单位/秒的速度按如图1所示的方向前进，经过t 秒后，动点经过的格点（横，纵坐标均为整数的点）中能围成的最大实心正方形的格点数（包括正方形边界与内部的格点）为n ，例如当1t =时，4n =，如图2①……；当4t =时，9n =，如图2②，③；……
①用n 表示t 的内数；
②当t 的内数为9时，符合条件的最大实心正方形有多少个，在这些实心正方形的格点中，直接写出离原点最远的格点的坐标．（若有多点并列最远，全部写出）。