黑龙江省安达七中2020届高三上学期寒假考试(5)数学试卷 Word版含答案

数学试卷五
一、选择题
1.已知集合{},{|(1,0,1,21)(2)0}A B x x x =-=+-<，则A B ⋂=( ) A.{}0,1 B.{}1,0-
C.{}1,0,1-
D.{}0,1,2
2.若i
1i
a ++的实部与虚部相等，则实数a 的值为( ) A.0
B.1
C.2
D.3
3.下列各点中，可以作为函数sin 3cos 1y x x =-+图象的对称中心的是( ) A.(,1)3
π
B.(,1)6
π
C.(,0)3
π
D.(,0)6
π
4.执行如图所示的程序框图，如果输入4N =，则输出p 为( )
A.6
B.24
C.120
D.720
5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244,2a a ==，则6S =( ) A.0
B.10
C.15
D.30
6.已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，可以作为//αβ的充分条件的是( ) A.//,,m n m n αβ⊂⊂ B.//,,m n m n αβ⊥⊥ C.,//,//m n m n αβ⊥
D.,,m n m n αβ⊥⊥⊥
7.已知12,e e u r u u r 是两个单位向量，且夹角为3
π
，R,t ∈则12e te +u r u u r 与12te e +u r u u r 数量积的最小值为( )
A.
3 2 -
B.
3
- C.
1
2
D.
3
8.我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：
①四个侧面都是直角三角形；
②最长的侧棱长为6；
③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；
④外接球的表面积为24π．
其中正确的个数为( )
A.3
B.2
C.1
D.0
9.已知抛物线2
:2(0)
C y px p
=>的焦点为F，过F且倾斜角为120︒的直线与抛物线C 交于,A B两点，若,
AF BF的中点在y轴上的射影分别为,
M N，且43
MN=
物线C的准线方程为( )
A.
3
2
x=- B.2
x=- C.3
x=- D.4
x=-
10.已知函数
1ln,1
()11
,1
22
x x
f x
x x
+≥
⎧
⎪
=⎨
+<
⎪⎩
，若12
x x
≠，且
12
))
((2
f x f x
+=，则
12
x x
+的取值范围是( )
A.[)
2,+∞ B.[)
e1,
-+∞ C.[)
32ln2,
-+∞ D.[)
32ln3,
-+∞
11.已知偶函数()
f x，当0
x>时，满足2()'()6
f x xf x
+<，且(1)2
f=，则
2
1
()3
f x
x
>-
的解集为（）
A. {|22}x x x <->或
B. {|11}x x -<<
C. {|11}x x x <->或
D.
{|11}x x -<<
12.如图，在ABC △中，点,D E 是线段,上两个动点,且AD AE x AB y AC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r
，则
14
x y
+
的最小值为（ ）
A ．
92 B ．2 C ．52 D ．32
二、填空题
13.将函数()cos 3sin (R)f x x x x =-∈的图象向左平移(0)∝∝>个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则∝的最小值是 .
14.图中所示的矩形OABC 区域内任取一点(),,M x y 则点M 取自阴影部分的概率为 .
15.设点P 为函数311
()()2f x x x
=
-图象上任一点，且()f x 在点P 处的切线的倾斜角为∝，则∝的取值范围为________．
16.函数1
1(1)
()5ln (1)
x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x kx =恰有两个不同的实根时，实数k 范围
是 . 三、解答题
17.在ABC △中，设内角,,A B C 的对边为,,a b c ，向量31,44m ⎛⎫
= ⎪⎝⎭u r ，
(cos ,sin )n A A =-r
，32
m n +=
u r r ． 1.判定ABC △的形状； 2.若2b =，2a c =
，求ABC △的内切圆与外接圆的面积比．
18.已知函数()ln f x x x x =+，证明：函数()f x 存在零点.
19.已知数列
与{}n b ,若13a =且对任意正整数n 满足12n n a a +-=,数列{}n b 的前n 项
和2
n n S n a =+
1.求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;
2.求数列1
1
{
}n n b b +的前n 项和n T . 20.平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为(1
31
x t y t t =+=+⎧⎪⎨⎪⎩为参数),以原点为极点, x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为2
2cos 1cos θ
ρθ
=-. 1.写出直线l 的极坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程;
2.已知与直线l 平行的直线l '过点()2,0M ,且与曲线 C 交于,?A B 两点,试求AB . 1.把直线l 的参数方程化为普通方程为)311y x =-+, ∵cos sin x y ρθ
ρθ==⎧⎨
⎩
,∴直线l 3cos sin 310ρθρθ-=,
由2
2cos 1cos θ
ρθ
=
-,可得()221cos 2cos ρθρθ-=, ∴曲线 C 的直角坐标方程为2
2y x =.
2.直线l 的倾斜角为
π
3, ∴直线l '的倾斜角也为π
3
,又直线l '过点()2,0M ,
∴直线l '的参数方程为3(2'12x t t y t ⎧'⎪⎪
⎨
⎪'+=⎩=⎪为参数),
将其代入曲线 C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=,
设点,A B 对应的参数分别为1
2,t t ''. 由一元二次方程的根与系数的关系知1
2163t t =-'',1
24
3
t t '='+. ∴2
121AB k t t =+⋅'-' ()
2
21212
14k t t t t '''=⋅
-'++ 2
4164813
2333⨯⎛⎫=+=
⎪⎝⎭
. 21.为了参加某数学竞赛,某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试,成绩(单位:分)记录如下 理科:79,81,81,79,94,92,85,89 文科:94,80,90,81,73,84,90,80 1.画出理科,文科两组同学成绩的茎叶图
2.计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差,并从统计学的角度分析,哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好
3.若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训,求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率
(参考公式:样本数据12,,,n x x x ⋯的方差: ()()()22
21212,n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣
⎦其中x 为样本平均数)
1. 理科、文科两组同学成绩的茎叶图如下:
2.从平均数和方差的角度看,理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好. 理由如下:
()1 798181799492858985,8x =⨯+++++++= (理)
()1
9480908173849080848x =⨯+++++++= (文)
222222
1
[(7985)(8185)(8185)(7985)(9485)8
s =⨯-+-+-+-+-222(9285)(8585)(8985)]31.25+-+-+-= (理)
()()()()2222
21[94848084908481848
s =⨯-+-+-+-()()()()2222
7384848490848084]41.75+-+--+-=+ (文)
由于x x >理文, 22
S S <理文, 所以理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好
3.设理科组同学中成绩不低于90分的2人分别为,A B , 文科组同学中成绩不低于90分的人分别为,,a b c 则从他们中随机抽出3人有以下10种可能:
,,,,,,,,,ABa ABb ABc Aab Aac Abc Bab Bac Bbc abc .
其中全是文科组同学的情况只有abc 一种,没有全是理科组同学的情况, 记“抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学”为事件M , 则()1911010
P M =-
= 22.已知函数2
()ln (1)2
a f x x x a x =+
-+. 1.若函数()f x 在区间(2,)+∞内单调递增，求a 的取值范围；
2.设1x ，2x （120x x <<）是函数()()g x f x x =+的两个极值点，证明：
12()()ln 2
a
g x g x a -<
-恒成立.
参考答案
1.答案：A
解析：由B 中不等式解得：12x -<<，即12{|}B x x =-<<， ∵1,0,{,2}1A =-， ∴{,1}0A B ⋂=， 故选：A ． 2.答案：A 解析：∵
i (i)(1i)11i 1i (1i)(1i)22
a a a a
++-+-==+++-的实部与虚部相等， ∴11a a +=-，即0a =． 故选：A ． 3.答案：A
解析：解：∵函数sin 12sin()13y x x x π
=+=-+，令3
x k π
-
=π，可得3
x k π
=π+
，k Z ∈， 故函数的图象的对称中心为(,1)3
k π
π+， 故选：A ． 4.答案：B
解析：由已知中4N =，
第一次进入循环时，1p =，此时1k =不满足退出循环的条件，则2k = 第二次进入循环时，2p =，此时2k =不满足退出循环的条件，则3k = 第三次进入循环时，6p =，此时3k =不满足退出循环的条件，则4k = 第四次进入循环时，24p =，此时4k =满足退出循环的条件， 故输出的p 值是24 故选：B ． 5.答案：C
解析：数列{}n a 是等差数列，21414,23a a d a a d ==+==+，所以15,1a d ==-，则
6165
6(1)152
S a ⨯=+
-=． 故选：C ． 6.答案：B
解析：由题意知，//m n ，且,m n αβ⊥⊥，则//αβ． 故选：B 7.答案：A
解析：由12,e e u r u u r 是两个单位向量，且夹角为3
π
，
所以121211,2
e e e e ==⋅=u r u u r u r u u r ，
则1212()()e te te e +⋅+u r u u r u r u u r 222
1212(1)te te t e e =+++⋅u r u u r u r u u r 211222t t =++2133(2)222
t =+-≥-，
当且仅当2t =-时取等号，
则12e te +u r u u r 与12te e +u r u u r 数量积的最小值为3
2
-，
故选：A ． 8.答案：A
解析：由三视图还原原几何体如图，
可知该几何体为四棱锥，PA ⊥底面,2ABCD PA =， 底面ABCD 为矩形，2,4AB BC ==， 则四个侧面是直角三角形，故①正确；
最长棱为PC 2
2
2
42226++=，故②正确；
由已知可得，22,6,5PB PC PD ===则四个侧面均不全等，故③错误；
把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为1
2
PC =2424π⨯=π，故④正确．
∴其中正确的个数为3． 故选：A ． 9.答案：C
解析：抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为(
,0)2
p
F ，
过F 且倾斜角为120︒的直线方程设为)2
p
y x =-，
22
20py +-=，
设A 的纵坐标为1y ，B 的纵坐标为2y ，
,M N 的纵坐标为
1211
,22
y y ， 可得2
1212y y y y p +==-，
则
121
2
y y -= 可得2
1212()4192y y y y +-=，
即为2
2441923
p p +=， 解得6p =，
则抛物线的准线方程为3x =-． 故选：C ． 10.答案：C
解析：根据题意，画出分段函数()f x 图象如下：
由两个函数图象及题意，可知：12,x x 不可能同时1>． 因为当1x 和2x 都1>时，12()()2f x f x +>，不满足题意， ∴12,x x 不可能同时1>． 而12x x ≠， ∴121x x <<， ∴1212121113()()1ln ln 2222
f x f x x x x x +=
+++=++， ∵12()()2f x f x +=， ∴
1213
ln 222
x x ++=， ∴112ln x x =-，
∴122212ln ,(1)x x x x x +=+->． 构造函数()12ln ,(1)g x x x x =+-> 则2
'()1g x x
=-
． ①令'()0g x =，即2
10x -
=，解得2x =； ②令'()0g x <，即2
10x -<，解得2x <；
③令'()0g x >，即2
10x
->，解得2x >．
∴()g x 在(1,2)上单调递减，在2x =处取得极小值，在(2,)+∞上单调递增．
∴min ()(2)32ln 2g x g ==-．
∴()32ln 2g x ≥-．
∴1232ln 2x x +≥-．
故选：C ．
11.答案：B
解析：
12.答案：A
解析：
13.答案：
π6 解析：
14.答案：
12 解析：
15.答案：ππ[,)32
解析：
16.答案：11[,)5e
解析： 17.答案：1.
∵1cos ,sin 4m n A A ⎫+=+-⎪⎝⎭
u r r
且m n +=u r r ，
∴2
213cos sin 444A A ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
即223113cos sin sin 161624
A A A A +++-+=，
11sin 222
A A -=-， 即π1cos 62
A ⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭， ∵A 为ABC △的内角，∴π2
A =，
故ABC △为直角三角形．
2.由1知222b c a +=，又2b =，a =
，
∴2c =，a =
∴ABC △外圆的半径12R a =
=
内切圆的半径22
b c a r +-==-
∴面积比为22
2(232
r R ==- 解析：
18.答案：由题意可得，函数的定义域为(0,+)∞
'()1ln 1ln 2f x x x =++=+
令'
()0f x >，即21ln 20,()e x x f x +>>∴在2
1(,+)e ∞单调递增 令'()0f x <，即21ln 20,()e x x f x +<<∴在21(0,)e
单调递减 min 2211()0e e f x f ∴=<（）=- 又(e)2e 0f =>Q
∴存在02
1(,e)e x ∈，使得0()0f x = ()f x ∴存在零点
解析：
19.答案：1.由题意知数列{}n a 是公差为2的等差数列,
又因为13a =,所以()32121n a n n =+-=+.
数列{}n b 的前n 项和()2
22211n n S n a n n n =+=++=+, 当1n =时,114b S ==;
当2n ≥时,()()()2
2121121121n n n b S S n n n n n -⎡⎤⎣=-=++--+-+=+⎦
. 上式对14b =不成立.
所以数列{}n b 的通项公式为4,121,2
n n b n n =⎧=⎨+≥⎩
2.1n =时,1121120
T b b ==, 2n ≥时11111()(21)(23)22123
n n b b n n n n +1==-++++, 所以6120(23)
n n T n -=+. 1n =仍然适合上式.
综上,6120(23)n n T n -=
+. 解析：
20.答案：
解析：
21.答案：
解析：
22.答案：1.()f x 的定义域为(0,)+∞，1'()(1)f x ax a x =
+-+ 若满足题意，只要1'()(1)0f x ax a x
=+-+≥在(2,)+∞恒成立即可， 即1(1)x a x x --≥恒成立，又(2,)x ∈+∞，所以12
a ≥ 2.证明：2()()ln 2
a g x f x x x x ax =+=+-， 则()g x 的定义域为(0,)+∞，211'()ax ax g x ax a x x
-+=+-=， 若()g x 有两个极值点1212,(0)x x x x <<，
则方程210ax ax -+=的判别式240a a ∆=->，且121211,0x x x x a
+==> 得0a >又120x x <<，21121x x x a ∴<=
，即10x <<所以2212111222111()()ln ln ln ln()222
a a a g x g x x x ax x x ax x ax ax -=----+=++-，
设()ln ln()
2a h t t at at =++-，其中1t x =∈，由2'()0h t a t =-=得2t a =
又220
a a =<，所以()h t 在区间2(0,)a 内单调递增， 在区间2
(
a 内单调递减， 即()h t 的最大值为2()2ln 2ln 2ln 22a a h a a a
=-+
-<-， 从而12()()ln 2
a g x g x a -<-恒成立 解析：。