《弧长和扇形面积》圆PPT课件

a2
a 2
2
3a . 2
S ABC 1 BC AD 1 a
3a
3a2 .
2
22 4
A
F E
B
DC
挑战自我
8、如图，从一个直径是1m的圆形铁皮中剪 出一个圆心角为90度的扇形，你会求图中 “新月形”的面积吗？
O
AB
归纳 小结
l nR
180
S扇形
n R2
360
S 扇形
1 lR 2
1.扇形的弧长和面积大小与哪些因素有关？
解决问题：制造弯形管道时，要先按中心线计算 “展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展
直长度L(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长 因此所要求的展直长度
在同圆或等圆中，由于相等的圆心角所对的弧相等， 所以具有相等圆心角的扇形，其面积也相等.
1. 你还记得圆面积公式吗？ 2. 圆面积可以看作是多少度的圆心角所对
的扇形的面积？
3. 1°的圆心角所对的扇形面积 是多少？
4. n°的圆心角呢？
圆的面积公式： S R2，
O· 1° n°
R
360°的圆心角所对的扇形的面积,
C
B
O
A
2.已知扇形的圆心角为120，半径为12cm,
则扇形的面积为
48cm2
.
3.已知扇形的圆心角为120，半径为6 ， 则扇形的弧长为 （ B ）
A. 3 B.4π C.5π D.6π
4则、这已个知扇半形径的为面2积cm，的S扇扇形= ，34其弧．长为
4 ，
3
5、一扇形的弧长是20cm，面积为240cm2 那么扇形的圆心角为 150度 .
2
cm
B
C
2. 如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离,它 们的半径都是1,顺次连接四个圆心得到四边形
ABCD,则图形中四个扇形(空白部分)的面积之和
是___________.
B A
D
C
变式：如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交， 且半径都是2cm，求图中阴影部分的面积。
B A
D
C
3.如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，
弧长公式
问题2.已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对 弧长．
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长
为l，则
l nR
180
注意：在应用弧长公式l nR ， 进行计算时，
要注意公式中n的意义．n表1示810°圆心角的倍数，
它是不带单位的。
应用：已知公式中的任意两个量，可以求第三个
量。
(1)已知圆的半径为10cm,半圆的弧长为 ( 10πcm )
A
5m 4m o
B
C
6.两个同心圆被两条半径截得
的
A ，求阴影部
分面积。
7C.如为图圆，心正，三以角a形为AB半C径的的边圆长相为切a，于分点别D、以EA、、FB，、
求图中阴影部分2的面积．
解：连接AD，则 AD BC
垂足为D
根据勾股定理，得
AD
AB2 BD2
6、有一把折扇，已知折扇的骨柄长为30cm，折扇扇 面宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120度， 若要改用一把圆扇，则圆扇的半径应是多少才能得到 与折扇面积一样的风景。
A B O
1:⊙A, ⊙B, ⊙C两两不相交,且半径都是1cm,
则图中的三个扇形的面积之和为多少?弧长
的和为多少?
A
cm2
是圆周长的__________
A
O
n° B
（5）n°圆心角所对弧长是__________
弧长公式
若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对
的弧长为l，则
注意：
在应用弧长公式 l nR
O n°
180 A
B
l
进行计算时,要注意公式中n的意义,n表
示1°圆心角的倍数,它是不带单位的；
尝试练习1
已知弧所对的圆周角为90°,半径是4, 则弧长为多少？
解：由弧长公式，可得弧AB 的长
l 100 900 500 1570（mm）
180
因此所要求的展直长度 L 2 7001570 297（0 mm） 答：管道的展直长度为2970mm．
例2、如图所示，△ABC内接于⊙O，⊙O的 半径R=3cm，若∠B=45°，则弧AC的长是
______ 1.5π
D
弓形的面积 = S扇+ S⊿ A
E
B
0
C
思考：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？
如果扇形的半径为R的圆中，圆心角为no ，那么扇 形面积的计算公式为：
s n r 2 nr r 1 lr
360
180 2 2
扇形的弧长与扇形面积的关系为：
S扇形
1 2
lR
议一议
扇形所对的弧长
L nR
180
D
C
A
B
A/
如下图，由组成圆心角的两条半径
和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
B
B
弧 圆心角 O
A
扇形 O
A
从 练习 中 悟 方 法
由组成圆心角的两条半径和圆心角
所对的弧所围成的图形叫做扇形.
A
在⊙O中，由半径OA,OB和 AB所
O
构成的图形是扇形.
B
C
在⊙O中，由半径OA,OB和ACB所
构成的图形是扇形.
❖ （3）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=
❖ 以AD的长为半径的⊙A交BC于点E，则图中 S阴影=_______
❖ （4）如图，直径AB为6的半圆O，绕A点逆 时针旋转60°，此时点B到了点B’，则图中S 阴影____6_π_
巩固练习
1、如图几7-4-3，A是半径为1的圆O外一点， 且OA=2，AB是⊙O的切线，BC//OA，连结AC， 则阴影部分面积等于 。
自学提纲1
自学教材P120----P121，思考下列内容： （1）半径为R的圆,周长是_C_=__2_π_R___
（2）圆的周长可以看作是_3_6__0_度的圆心角
所对的弧 （3）圆心角是10的扇形是圆周长的_____
1°圆心角所对弧长是__________
（4）n°圆心角所对的弧长是
1°圆心角所对的弧长的___n___倍，
例3、如图所示，AB是⊙O的直径，弦DE垂 直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相 交于点P，连接EF，EO，若DE= ， ∠DPA=45°
（1）求⊙O的半径
（2）求S阴影
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2， 则这个扇形的面积，S扇=_ .
2、如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副 图案，它是一扇形图形，其中∠AOB为1200，OC 长为8cm，C34A 长为12cm，则贴纸部分的面积为 ___1_1_2_π_
1°的圆心角所对的扇形面积是3610 2R2，
圆心角为n°的扇形
面积是
S扇形
nR2 360
.
扇形面积公式
问题3.已知⊙O半径为R，求圆心角为n°的扇形
的面积？
若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积
为：
S扇形
nR 2
360
注算意时:，（要1）注在意应公用式扇中形n的的意面义积．公n式表S扇示形1=°n3圆6R心02
❖ 例3、如图，把两个扇形OAB与扇形OCD的 圆心重合叠放在一起，且∠AOB=∠COD，连 接AC
❖ （1）求证：△AOC≌△BOD
❖ （2）若OA=3cm，OC=2cm，弧AB的长为 1.5π，弧CD的长为π，求S阴影
❖ 例4、如图，已知点A、B、C、D均在已知圆 上，AD∥BC，AC平分∠BCD， ∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10cm， 求图中的S阴影
以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之
和为
个平方单位．
4. 已知等边三角形ABC的边长为
a，分别以A、B、C为圆心，以
a 2
为
半径的圆相切于点D、 E、F，求图中
阴影部分的面积S.
5. 如 图 , 一
根 35m长的绳子,
一端栓在柱子
上,另一端栓着
一只羊, 羊的
5
活动最大区
域.
5m 4m o
40分钟,分针针端转过的弧长是( B )
A. 10 cm
3
B. 20 cm C. 25 cm
3
3
D.
50 cm
3
4.弧长相等的两段弧是等弧吗？
答：不一定，因为它们不一定 完全重合.也就是说形状不一定相同.
5.有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧 所对的圆心角是81°，求这段圆弧的半径R.
解：道长l 12m,圆心角为81，
1. 你还记得圆周长的计算公式吗？
2. 圆的周长可以看作是多少度的圆 心角所对 的弧长？
3. 1°的圆心角所对弧长是多少？ 4. n°的圆心角呢？
半径为R圆的周长为C 2R
O· 1°
可以看作是360°圆心角所对的弧长
n°
1
R
1°n°的的圆圆心心角角所所对对弧的长弧3是l6长0316022RR
n
nR 180
例2：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截 面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面 上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。
弓形的面积 = S扇- S⊿
0
A
D
B
C
解：如图，连接OA、OB，过圆心O作AB的垂线，垂足为D， 交弧AB于点C. ∵OC=0.6，DC=0.3 ∴OD=OC-DC=0.3
即n 81,由弧长公式得
l nR ,所以
180
12m
R 180l 18012 8.5m.
n 81
答：圆弧弯道的半径约为8.5m.
81° R
6. 如图，把Rt△ABC的斜边放在直线 l 上，按
顺时针方向转动一次,使它转到 ABC的位置。
若BC=1,∠A=300。求点A运动到A′位置时，点A经
(2)已知圆的半径为9cm ，60°圆心角所对的弧 长为( 3πcm )
(3)已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角 为__6_0_0___ (4)已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则 圆的半径为__2__4___。
例1、制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直 长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度 L(单位：mm，精确到1mm)
过的路线长。
A′ l 4
C
3
A
B C′
l
7.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木 板沿水平线翻滚(如图)，那么B点从开始至结 束所走过的路径长度为 （ B ）
A. 3
2
C.４
B. 4
3
D.２＋ 3
2
解析
8 已知矩形ABCD的长AB=4,宽AD=3,按如图 放置在直线AP上,然后不滑动地转动,当它转动一 周时( A A/),顶点A所经过的路线长等 于 6π 。
进行计 角的倍
数，它是不带单位的；
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
例1、如图所示，两个同心圆被两条半径截得 的弧AB的长是5π，弧CD的长是7π， AC=4cm，求S阴影
例2、如图是圆心角为30°，半径分别是 1,3,5,7…的扇形组成的图形，阴影部分的面积
依次记为S1，S2，S3 …，则S50=___6_6_π_
如图：在△AOC中，∠AOC=900，∠C=150，以O为 圆心，AO为半径的圆交AC与B点，若OA=6， 求弧AB的长。
C
B
O
A
1.已知弧所对的圆心角为900，半径是4，则弧 长为___2_π__
2. 已知一条弧的半径为9，弧长为8 π ，那么 这条弧所对的圆心角为__1_6_0_°。
3. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过
（1）与圆心角的大小有关
（2）与半径的长短有关
2.扇形面积公式与弧长公式与圆的知识的联系：
l弧＝
n 360
C圆
S扇形＝
n 360
S圆
创设情境
制造弯形管道时，要先按中心线计算 “展直长度”(虚线的长度)，再下料，
试计算图所示管道的展直长度L(单位：
mm，精确到1mm)
学习目标
了解扇形的概念，理解 n•°的圆心角所对的弧 长和扇形面积的计算公 式,并应用这些公式解 决相关问题。
在Rt△OAD中，OA=0.6，利用勾股定理可得：AD=0.3√3
在Rt△ OAD中，∵OD=1/2OA ∴∠ OAD=30° ∴∠A OD=60°， ∠ AOB=120°
有水部分的面积
0
A
D
B
C
变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截
面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面 上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。
❖ 例5、（1）如图，AB⊥BC，AB=BC=2cm，
弧OA与弧AC关于点O中心对称，则AB、BC、
弧OA与弧AC所围成的图形的面积是
________
2
❖ （2）如图，水平地面上有一面积为30π平方 厘米的扇形AOB，半径OA=6cm，且OA与 地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向 右滚动至OB与地面垂直为止，则O点移动的 距离为_____1_0_π
扇形的面积是
S扇形
nR 2
360
nR R
180 2
1 LR 2
（1）当已知弧长L和半径R，求扇形面积
时，应选用
S扇形
1 2
LR
（2）当已知半径和圆心角的度数，求扇
形面积时，应选用
nR 2
S扇形 360
❖ 例1、某扇形的周长是28cm，面积为49 平方厘米，则这个扇形的半径是__7_c_m__
❖ 例2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径 画半圆，则S阴影=_______ 2.5π-4