高考数学试卷理科 答案普通高等学校招生全国统一考试湖北A卷数学理工类7

高考数学试卷(理科) 答案普通高等学校招生全国统一考试（湖北A 卷）数学（理工类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 方程2
+6+13=0x x 的一个根是 A 3+2i B 3+2i C 2 + 3i D 2 + 3i
()()22
2+6+13=+3+4=0+3=-4,+3=2x x x x x i ∴±，所以=-32x i ±，故选A
2. 命题“3
00,R x C Q x Q ∃∈∈”的否定是 A 300,R x C Q x Q ∃∉∈B 3
00,R x C Q x Q ∃∈∉ C 300,R x C Q x Q ∀∉∈ D 3
00,R x C Q x Q ∀∈∉
存在性命题的否定为“∃”改为“∀”，后面结论加以否定，故为3
00,R x C Q x Q ∀∈∉，选D
3. 已知二次函数()=y f x 的图像如图所示 ， 则它与x 轴所围图形的面积为 A.
25πB.43C.32D.2
π 由图像可知，二次函数解析式为()2
=1-f x x
设面积为S ，则()()1
1
1
223
-10014=1-=21-=2-=33
S x dx x dx x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
⎰⎰，故
选B
4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.
83π B.3π C.103
π D.6π
此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为 1，高为 4，
现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体 ，从而构成一个底面半径为1，高为6的圆柱，这个圆柱的体积为=6V π，要求几何体的体积为圆柱体积的一半，为3π，故选B 5.设a Z ∈，且013a ≤≤，若2012
51+a 能被13整除，则=a
A.0
B.1
C.11
D.12
()
()2012
2012020121
201120112012
201220122012201251+=52-1+=52-52+
+-52++a a C C C C a ，显然上式除了+1a 外，其余各个
因式都能被13整除，所以2012
51+a 能被13整除，只需=12a ，故选 D
6.定义在（∞，0）∪（0，+∞）上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}{}
n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”。

现有定义在（∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①()2=f x x ；②()=2x f x ；③(
)f x ()=ln f x x 。

则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 A.①②B.③④ C.①③ D.②④
令等比数列{}n a 的公比为q ，①()2=f x x ，()()2
2+12+1+12===n n n n n n f a a a q f a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
是等比数列；②()=2x
f x ，
()()+1+1-+12==2
2
n n n
n a a a n a n f a f a 不一定是 常数，不一定是等比数列；③(
)f x ，
()
(
)
+1n n f a f a 是等比数列；④()=ln f x x ，举个特例，令()=2,=ln 2=ln 2=ln 2n n n n n a f a n 是等差数列不是等比数列，从而选C
7.设,,,,,a b c x y z 是正数，且2
2
2
2
2
2
++=10,++=40,++=20a b c x y z ax by cz ，则
++=++a b c
x y z
A.
14B.13C.12D.34
由柯西不等式知(
)()()
2
222
2
2
2
++++++=400a b c x y z ax by cz ≥，而此时()()222222++++=400a b c x y z 恰好满
足取等条件
==a b c x y z ，令===,=,=,=a b c
k a kx b yk c zk x y z
代入到222++=10a b c 中得 ()2222211
++=10,=,>0=42
k x y z k k k ∴∴，所以由合比定理得
++1=====++2a b c a b c k x y z x y z ，故选C 8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。

在扇形OAB 内随机取一点，则
此点取自阴影部分的概率是
A. 2
1-
π
B.
11-2πC. 2πD.1
π
设大圆的半径为2，则小圆半径为1，扇形面积为21=2=4S ππ⨯扇，而阴影部分的面积为1
11-2-2-+2-=-22
4242πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⨯⨯⨯⨯
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率-22
=
=1-P πππ
，故选A 9.函数()2=cos f x x x 在区间[0,4]上的零点个数为 A.4 B.5 C.6 D.7
当=0x 时，()0=0f ，当2
0<4,0<16x x ≤≤，而使余弦为零的角的弧度数为+
,2
k k Z π
π∈，令+
162
k π
π≤
则=0,=1,=2,=3,=4k k k k k 时对应角分别为
3579,
,,,22222
πππππ
均满足条件，当=5k 时，
11>162
π
不满足条件，综上零点个数为6个，故选C
10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3
16
9
d V ≈似的近似公式。

根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是 A.3
169d V ≈
32d V ≈3300157d V ≈32111
d V ≈ 由球的体积公式3
4=
3
V R π得3
34V R π3336=4V V d ππD 二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分。

请将答案填在答题卡对应题号的
位置上。

答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

（一）必考题（1114题）
11.设△ABC 的内角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c.若()()+-++=a b c a b c ab ，则角C=______________。

由()()+-++=a b c a b c ab 得()2
2
2
2
2
+-=+-=-a b c ab a b c ab ⇒，所以222+-1
cos =
=-22
a b c C ab ，=120C ︒
12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=___________.
=1,=1n s ；=2,=4n s ，当=3n 时，输出=9s
13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。

如22，,11,3443,94249等。

显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有
90个：101,111,121，…，191,202，…，999。

则 （Ⅰ）4位回文数有______个；
（Ⅱ）2n ＋1（n ∈N+）位回文数有______个。

4位回文数有1001,1111,1221,1331，…，1991,,2112,2222,2332，…， 2992，,9009,9119，…，9999共90个 2n ＋1（n ∈N+）位回文数有9101010⨯⨯⨯
⨯，共有n 个10，所以为910n 个
14.如图，双曲线()22
22-=1>>0x y a b a b
的两顶点为12,A A ，虚轴两端
点为12,B B ，两焦点为12,F F 。

若以12A A 为直径的圆内切于菱形
1122F B F B ，切点分别为A ，B ，C ，D 。

则
（1）双曲线的离心率e=______；
（2）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值
1
2
=S S __________。

（1）由已知()()()2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
22
4
+=+-=2--3+=0bc b c b c a
b c c a c a c a c a c a ⇒⇒⇒
42-3+1=0e e ，解得23+55+1
e e ⇒ （2）由已知得1=2S bc ，又直线22B F 的方程为()=-
-b y x c c ，而直线OA 的方程为=c
y x b
联立解得 2222
22
=+=+b c x b c
bc y b c ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以2222222=4++b c bc S b c b c ，()()()()()22222222122222222222222
+2-2-125+2=====222-2-14++b c c a e S bc b c bc S b c c a c e e b c b c （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分。

） 15.（选修41：几何证明选讲）
如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB=4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为_____________。

设圆的半径为r ，由已知=OC r ，又22=-OD DC DC r OD ⊥∴
OD 最小时，CD 有最大值，而OD 取最小值时，OD AB ⊥，此时22221
=-=-44
OD r AB r ，所以CD 有最大值
2
16.（选修44：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线=
4
π
θ与曲线
()
2=+1=-1x t y t ⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数）相较于A ，B 来两点，则线段AB 的中点的直角坐标为_________。

射线=4π
θ的直角坐标方程为()=0y x x ≥，曲线()
2
=+1=-1x t y t ⎧⎪⎨⎪⎩的直角坐标方程为()2=-2y x 联立方程解得 =1=4,=1=4
x x y y ⎧⎧⎨
⎨⎩⎩，所以线段AB 的中点的直角坐标为55,22⎛⎫
⎪⎝⎭ 三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）
已知向量()()
=cos -sin ,sin ,=-cos -sin ,23a x x x b x x x ωωωωωω，设函数()()=+f x a b x R λ∈的图像关于直线x=π对称，其中,ωλ为常数，且1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）若y=f （x ）的图像经过点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
，求函数()f x 在区间30,5π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的取值范围。

()()()=+=sin -cos sin +cos +23sin cos +f x a b x x x x x x λωωωωωωλ
22=sin -cos cos +2-cos2x+=2sin 2-+6x x x x x x πωωωωλωωλωλ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
（1）函数()()=+f x a b x R λ∈的图像关于直线x=π对称，所以1
2-=+
,=+,6
223
k k k Z k z π
π
ωππω⨯∈∴∈ 又15,1,=
26ωω⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以()5=2sin -+36f x x πλ⎛⎫
⎪⎝⎭
的周期为26=
553
ππ （2）若y=f （x ）的图像经过点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
，则
有52sin -+=0346ππλλ⎛⎫
⨯∴ ⎪⎝⎭，所以
(
)5=2sin -36f x x π⎛⎫
⎪⎝⎭
[]35550,,--,,2sin --1,25366636x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫
∈∈∴∈ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭
，函数()f x 在区间
30,5π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的取值范围
为⎡⎣
18.（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 前三项的和为3，前三项的积为8. （1）求等差数列{}n a 的通项公式；
（2）若231,,a a a 成等比数列，求数列{}
n a 的前n 项的和。

19.（本小题满分12分）
如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D 在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），
（1）当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大；（2）当三棱锥ABCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小
20．（本小题满分12分）
降水量X X<300300≤X<700700≤X<900X≥900
工期延误天数Y02610
，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率。

21.（本小题满分13分）
设A 是单位圆2
2
+=1x y 上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线
l 上，且满足()=>0,1DM m DA m m ≠且.当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .
（1）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
（2）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于,P Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线
QN 交曲线C 于另一点H ，是否存在m ，使得对任意的>0k ，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存
在，请说明理由。

22.(本小题满分14分)
（1）已知函数()()()=-+1->0r
f x rx x r x ，其中r 为有理数，且0<<1r .求()f x 的最小值；
（2）试用（1）的结果证明如下命题：
设12120,0,,a a b b ≥≥为正有理数，若12+=1b b ，则12
12
1122+b
b a a a b a b ≤；
（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。

注：当α为正有理数时，有求导公式()-1
'=x
x
α
αα
高考数学试卷解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合
{124}
A =，，，
{246}
B =，，，则
A B =
▲．
【答案】{}1,2,4,6。

【主要错误】{2,4}，{1,6}。

2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生． 【答案】15。

【主要错误】24,25,20等。

3．设a b ∈R ，，117i
i 12i
a b -+=-（i 为虚数单位），则
a b +的值为▲．
【答案】8。

【主要错误】4，2，4，5+3i ，40/3，6，等。

【分析】由117i
i 12i
a b -+=
-得
()()()()117i 12i 117i 1115i 14
i ===53i 12i 12i 12i 14
a b -+-+++=
+--++，所以=5=3a b ，，=8a b +。

4．下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是▲．
【答案】5。

【主要错误】4，10，1，3，等。

【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：
是否继续循环 k 2k 5k 4-+
循环前
0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4
第六圈
否
输出5
∴最终输出结果k=5。

5．函数
x x f 6log 21)(-=的定义域为▲．
【答案】
(0。

【主要错误】（0，6），(]{}6
,
0，
{}
6/≤x x ，
{}
6,0/≠>x x x 等。

【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
1266000112log 0log 620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪
⇒⇒⎨⎨⎨
⎩⎪⎪⎩⎩
6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲．
【答案】
3
5。

【主要错误】
52，43，54，21，107。

【解析】∵以1为首项，3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，
∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是
63
=105。

7．如图，在长方体
1111
ABCD A B C D -中，
3cm
AB AD ==，
12cm
AA =，则四棱锥
11A BB D D -的体积为▲cm3．
【答案】6。

【主要错误】
26，3，72，30。

【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形，∴△ABD 中=32BD cm ，BD 边上的高是
3
22
cm （它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高）。

∴四棱锥11A BB D D -的体积为13
3222=632
⨯⨯⨯。

8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线
22
214
x y m m -=+的离心率为5，
则m 的值为▲．
【答案】2。

【主要错误】2，5，3，1。

【解析】由22
214x y m m -=+得22==4=4a m b m c m m +++，，。

∴24
==
=5c m m e a m
++，即244=0m m -+，解得=2m 。

9．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中
点，点F 在边CD 上，若
2AB AF =，则AE BF 的值是▲．
【答案】
2。

【主要错误】
22-，22，3，2,32
，2，1，
2等20余种。

【解析】由2AB AF =，得cos 2AB AF FAB ∠=，由矩形的性质，得
cos =AF FAB DF ∠。

∵AB
=2DF =，∴1
DF =。

∴1CF =。

记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+。

又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =。

∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE
BF AE
BF AE BF
θαβαβαβ
+-
(
)
=cos cos sin sin =122
1AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯-
本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。

10．设
()
f x 是定义在
R
上且周期为2的函数，在区间
[11]-，上，
0111()2
01
x x ax f x bx x <+-⎧⎪
=+⎨⎪+⎩≤≤≤，
，，，其中
a b ∈R
，．
若
1322f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则3a b +的值为▲． 【答案】10。

【主要错误】2，3，4，10，5等十余种。

【解析】∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴()()11f f -=，
即2
1=
2
b a +-+① 又∵311=1222f f a ⎛⎫⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴1
4
1=
23
b a +-+② 联立①②，解得，=2. =4a b -。

∴3=10a b +-。

11．设
α
为锐角，若
4cos 65απ⎛
⎫+=
⎪⎝
⎭，则
)
12
2sin(π
+
a 的值为▲．
【答案】
，
50
578。

【主要错误】
2524，25
2
17，
50
231，
53，50
587
，等30余种。

【解析】∵α为锐角，即02
<<
π
α，∴
2=
66
2
6
3
<<
π
π
π
π
πα+
+。

∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3sin 65απ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭。

∴3424sin 22sin cos =2
=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭。

∴7cos 2325απ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭。

∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12
343434a a a a π
π
πππππ⎛⎫⎛
⎫+
+
-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2427217
=
=225225250
-。

12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为
228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共
点，则K 的最大值是▲．
【答案】
4
3。

【主要错误】1，2，43，2
1
，
5等。

【解析】∵圆C 的方程可化为：()2
241x y -+=，∴圆C 的圆心为(4,0)，半径为1。

∵由题意，直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点；
∴存在0x R ∈，使得11AC ≤+成立，即min 2AC ≤。

∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-的距离
2
421
k k -+，∴
2
4221
k k -≤+，解得
403
k ≤≤。

∴k 的最大值是
43。

13．已知函数
2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若
关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，
，则实数c 的值为▲． 【答案】9。

【主要错误】1，2，3，4，7，6，等。

【解析】由值域为[0)+∞，，当2
=0x ax b ++时有2
40a b =-=，即2
4
a b =
， ∴2
222
()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫=++=++
=+ ⎪⎝⎭。

∴2
()2a f x x c ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭解得2a c x c -<+<，22a a c x c --<<-。

∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +，， ∴()()2622
a a c c c ----==，解得9c =。

14
．
已
知
正
数
a b c
，，满足：
4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，
则
b
a 的取值范围是▲．
【答案】
[] 7e ，。

【主要错误】（0,1），[1,+∞)，(1, 2)，[0,7]，[1/e ，e],(1，e) ，1，2。

【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可化为：354a c a b c c a b
c c
b e c
⎧⋅+≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪⎪⎪≥⎩。

设
==a b
x y c c
，，则题目转化为： 已知x y ，满足35
4
00x
x y x y y e
x >y >+≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪⎩
，，求y x 的取值范围。

作出（x y ，）所在平面区域（如图）。

求出=x y e 的切线的斜率e ，设过切点()00P x y ，的
切线为()=0y ex m m +≥，则
00000
==y ex m m
e x x x ++
，要使它最小，须=0m 。

∴
y
x
的最小值在()00P x y ，处，为e 。

此时，点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间。

当（x y ，）对应点C 时，=45=205=7=7=534=2012y x y x y
y x y x y x
x --⎧⎧⇒⇒⇒⎨
⎨--⎩⎩， ∴y
x
的最大值在C 处，为7。

∴
y x 的取值范围为[] 7e ，
，即b
a
的取值范围是[] 7e ，。

【注】最小值e 的主要求法：
法一，c c a b c ln ln +≥⇒c
b
c c c b c a ln ln ln =-≤⇒c b c a ln ≤ ⇒c
b
c b
c a c b a b ln ≥=。

令x c b =，x x c
b c b ln ln
=，导数法e x x ≥ln 。

法二，c b c a ln ≤，令x c a =，则c b e x ≤，b ce x ≤， x
e e a c a b x
x =≥，令x e y x
=
，则0)
1(2
'
=-=x
x e y x ， 驻点x=1，x>1⇒
0'>y ; x<1⇒0'<y
故
e x
e y x ≥=。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
15．在
ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．
（1）求证：
tan 3tan B A
=；
（2
）若
cos 5C =，求A 的值．
【答案】解：（1）∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即
cos =3cos AC A BC B 。

……2分
由正弦定理，得
=
sin sin AC BC
B A
，∴sin cos =3sin cos B A A B 。

……2分 又∵0<A B<π+，∴cos 0 cos 0A>B>，。

∴
sin sin =3cos cos B A
B A
即tan 3tan B A =。

……2分
（2）∵cos 0C <C <π=
，∴sin C = ∴tan 2C =。

……2分
∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦，即()tan 2A B +=-。

……2分
∴
tan tan 21tan tan A B
A B
+=--。

由（1），得
24tan 213tan A A =--，解得1
tan =1 tan =3
A A -
，。

∵cos 0A>，∴tan =1A 。

∴=
4
A π。

……4分
【典型错误】（1）①由结论tan 3tan B A =分析，而又不按分析法书写。

②∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即cos =3cos AC A BC B 。

∵AC=sinB ，BC=sinA ，∴sin cos =3sin cos B A A B ，∴tan 3tan B A =。

③误用余弦定理。

(2)典型解法近10种，除用正切公式的两种方法外，其余(如,正余弦加法公式、余弦定理等)方法得不偿失。

解法的优化是关键。

16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为
11B C 的中点．
求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．
证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。

又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥。

……3分
又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，
，平面111BCC B CC DE E =，，
∴AD ⊥平面11BCC B 。

……3分
又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。

……2分 （2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥。

……2分 又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥。

又∵111 CC B C ⊂，
平面11BCC B ，1111CC B C C =，∴1A F ⊥平面111A B C 。

由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD 。

……2分
又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ， ∴直线1//A F 平面ADE 。

……2分 【典型错误】A.概念含混不清
由直三棱柱111ABC A B C -得到∆ABC 是直角三角形。

B.思维定势致错
由AD BC ⊥和1A F BC ⊥直接得出1//A F AD ，忽视了该命题在立体几何中并不一定成立。

C ．想当然使用条件
在第(1)小题证明线面垂直时，不少考生直接根据图形的特点将D 点当作是BD 的中点，从而得到AD BC ⊥，再由条件得出AD ⊥平面11BCC B 。

（一般仅能得7分）
17．如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程
221
(1)(0)20
y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的
射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐
标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解：（1）在
22
1(1)(0)20
y kx k x k =-+>中，
令0y =，得221
(1)=020
kx k x -
+。

……2分
由实际意义和题设条件知00x>k >，，
2120k
k x +=， ……2分
∴2
202020===10112k x k k k
≤++，当且仅当=1k 时取等号。

∴炮的最大射程是10千米。

……2分
（2）∵0a >，∴炮弹可以击中目标等价于存在0k >，使
22
1(1)=3.2
20ka k a -+
成立，……2分
即关于k 的方程2222064=0a k ak a -++有正根。

……2分 由()()
2
22=204640a a a ∆--+≥得6a ≤。

……2分
此时，
0k （不考虑另一根）。

∴当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标。

……2分 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。

【典型错误】（1）①说对称轴是2
120k
k
x +=，得0分。

②由2
120k k
x +=
直接得10≤x ，扣2分。

（2）2.3)1(20
1
22≥+-x k kx ，06420)1(22≤+-+kx x k ，
所以
)
1(22561442022
k k k x +-+≤，…
（耗费大量时间，仅能得2分）
18．若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点。

已知a b ，是实数，1和1是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；
（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点； （3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数． 【答案】解：（1）由32()f x x ax bx =++，得2()32f'x x ax b =++。

∵1和1是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点， ∴(1)32=0f'a b =++，(1)32=0f'a b -=-+，
解得==3a b -0，。

……2分 （2）∵由（1）得，3()3f x x x =-，
∴()()2
3
()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+，
解得123==1=2x x x -，。

……2分
∵当2x <-时，()0g x <'；当21<x <-时，()0g x >'， ∴=2x -是()g x 的极值点。

……2分
∵当21<x <-或1x >时，()0g x >'，∴=1x 不是()g x 的极值点。

∴()g x 的极值点是－2。

……2分 （3）令()=f x t ，则()()h x f t c =-。

先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈-
当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为1和2 ， ∵()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为1和2。

……2分
当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，(1)=(2)=20f d f d d <-----， ∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根。

由（1）知()()()=311f'x x x +-。

①当()2x ∈+∞，
时，()0f'x >，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f 。

此时()=f x d 在()2+∞，
无实根。

②当()1 2
x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数。

又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根。

同理，()=f x d 在（一2 ，一I ）内有唯一实根。

③当()1
1x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数。

又∵(1)0f d >--，(1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根。

因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，；当2d <时()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x <i ，。

……3分
现考虑函数()y h x =的零点：
( i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，。

而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零点。

( ⅱ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足2 =3, 4, 5i t <i ，。

而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点。

综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9 个零点。

……3分
【典型错误】（2）∵
3()3f x x x =-，
∴()
()2
3
()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+，解得123==1=2x x x -，。

所以，极值点为1，2。

（丢分情况严重）
19．如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为
1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭
都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；
（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．
（i ）若12
6
AF BF -=
，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．
【答案】解：（1）由题设知，222==
c
a b c e a
+，，由点(1)e ，在椭圆上，得 2222222222222222
111=1===1e c b c a b a a b b a b a a b
+=⇒+⇒+⇒⇒，∴22
=1c a -。

由点32e ⎛ ⎝⎭
，在椭圆上，得 2
2
2224222244
331311144=0=214e c a a a a a b a a -⎝⎭⎝⎭+=⇒+=⇒+=⇒-+⇒
……2分
∴椭圆的方程为2
212
x y +=。

……2分
（2）由（1）得1(10)F -，，2(10)F ，，又∵1AF ∥2BF ， ∴
设
1
AF 、
2
BF 的方程分别为=1=1my x my x +-，，
()()11221200A x y B x y y >y >，，，，，。

∴()
2
22122
11112
11
221221=0=22=1
x m m y m y my y m my x ⎧+++=⎪⇒+--⇒⎨+⎪+⎩。

……2分 ∴()()
()
)22222
2
22
1111122112210==12
m m m m m AF x y my y m m +++++++-++=+。

①
同理，
)2221=
2
m BF m +-+。

②
（i ）
由①②得，12AF BF -=
……2分
得2m =2。

∵0m >
，∴m ，∴直线1AF
的斜率为
1m 。

……2分 （ii ）
证明：∵1AF ∥2BF ，∴
2
11
BF PB PF AF =
， 即
21211111
11BF PB PF BF AF PB
PF AF PF AF +++=+⇒=。

∴1
1112
=
AF PF BF AF BF +。

由点B
在椭圆上知，12BF BF +=
()
1
1212
=
AF PF BF AF BF +。

同理。

()
2
2112
=
BF PF AF AF BF +。

∴(
)(
)
122
1221121
212
2+=
AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF +=+++
由①②得，
)21
21=2
m
AF BF m +++，2
21
=2
m
AF BF m ++，……4分
∴12+2PF PF 12PF PF +
是定值。

……2分 【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。

【典型状况】（1）根据椭圆的性质和已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭
都在椭圆上列式求解。

计算错误严重。

（2）（ⅰ）根据已知条件12AF BF -= 含参式子的运算能力低。

十几种方法中，利用直线的参数方程、椭圆的极坐标方程相对简单些，但最简单的莫过于向量法：
设2
1BF λ=，则⎩⎨⎧=-=+2
121)1(1y y x x λλ，由122
121=+y x ，得 12
)1(2
222=++-y x λλλ。

又122
222=+y x ，故λλ2132-=x ，2
31-=λx ，而321=+x x ， 得23+=
λ，于是2131-=
x ，4
)
13(22+=x 。

所以，2
21111=
+=
x y k AF 。

（ⅱ）平几知识欠缺，解答情况很差。

20．已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：2
2
1n
n n n n b a b a a ++=
+，*N n ∈，
（1）设n n n a b b +=+11
，*N n ∈，求证：数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫
⎪⎪
⎨⎬ ⎪
⎝⎭
⎪⎪⎩⎭
是等差数列； （2）设n
n
n a b b •
=
+21，*N n ∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 【答案】解：（1）∵n n n a b b +
=+11
，∴1n a +。

∴11n n b
a ++=
∴()2
2
2
2111*n n n n n n b b b n N a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

∴数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪
⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
是以1 为公差的等差数列。

（2）∵00n n a >b >，，∴
()
()2
2
222
n n n n n n a b a b <a b +≤++。

∴
1
1n
<a+=≤
设等比数列{}
n
a的公比为q，由0
n
a>知0
q>，下面用反证法证明=1
q 若1,
q>
则2
12
=
a
a<a
q
≤
，∴当
1
log q
n>
时，11n
n
a a q
+
=，与（﹡）矛盾。

若01,
<q<则2
12
=1
a
a>a>
q
，∴当
1
1
log q
n>
a
时，111
n
n
a a q<
+
=，与（﹡）矛盾。

∴综上所述，=1
q。

∴()
1
*
n
a a n N
=∈
，∴1
1<a≤
又∵1
1
n
n n
n
b
b b
a
+
=()*
n N
∈，∴{}
n
b
1
的等比数列。

若1a≠
1
1，于是123
b<b<b。

又由
2
2
1
n
n
n
n
n
b
a
b
a
a
+
+
=
+
即
1
a=
，得
1
1
n
b
a-。

∴
123
b b b
，，中至少有两项相同，与123
b<b<b
矛盾。

∴1a。

∴
1
n
b
-
12
=
a b
【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

【典型状况】（1）①写出
22
1
1
1
n n
n n
b b
a a
+
+
⎛⎫⎛⎫
-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
而不知道给出结论。

②写出了
2
2
1
1
n
n
n
n
n
b
a
b
a
a
+
=
+
+
，不能进行下一步的变换。

③根据前三项成等差，说明结论，不给分。

④罗列几个条件下结论，不给分。

（2）根据基本不等式得到
1
1n
<a+≤{}
n
a
的公比=1
q。

凭感觉下结论。

第（1）小题：32%得满分；5.4%得3分；62%得零分.在解决这个问题的过程中，约有40%的学生没有做（时间不够），在做这一问的学生中，主要错误有：①没有明确的证等差数列的方法，只是将两个条件轮流代换；②计算能力差，在代换过程中，出现了错
误；③做成了
22
n
n b a ，导致错误.
第（2）小题：没有学生全对，主要得分包括：猜对答案2分；由n n
n a b b 2
1=+利用累
乘得出
n b ，2分；得出{}n a 的范围，3分.
数学Ⅱ(附加题)
21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4 1：几何证明选讲]如图，AB 是圆O 的直径，,D E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD DC =，连结,,AC AE DE ． 求证：E C ∠=∠．
证明：连接AD 。

∵AB 是圆O 的直径，∴090ADB ∠=（直径所对的圆周角是直角）。

∴AD BD ⊥（垂直的定义）。

又∵BD DC =，∴AD 是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）。

∴AB AC =（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。

∴B C ∠=∠（等腰三角形等边对等角的性质）。

又∵,D E 为圆上位于AB 异侧的两点， ∴B E ∠=∠（同弧所对圆周角相等）。

∴E C ∠=∠（等量代换）。

【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。

【解析】要证E C ∠=∠，就得找一个中间量代换，一方面考虑到B E ∠∠和是同弧所对圆周角，相等；另一方面由AB 是圆O 的直径和BD DC =可知AD 是线段BC 的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到
B C ∠=∠。

从而得证。

本题还可连接OD ，利用三角形中位线来求证B C ∠=∠。

B ．[选修4 2：矩阵与变换]已知矩阵A 的逆矩阵1
13441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
A ，求矩阵A 的特征值．
解：∵1-A A =E ，∴()
1
1
--A =A 。

∵1
13441122-⎡⎤
-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦
A ，∴()11 2 32 1--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A =A 。

∴矩阵A 的特征多项式为()2
2 3==342 1 f λλλλλ--⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦。

令()=0f λ，解得矩阵A 的特征值12=1=4λλ-，。

【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。

【解析】由矩阵A 的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A ，从而求出矩阵A 的特征值。

C ．[选修4 4：坐标系与参数方程]在极坐标中，已知圆C 经过点(
)
24
P
π
，
，圆心为直线3
sin 3ρθπ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭
与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．
【答案】解：∵圆C 圆心为直线3sin 3ρθπ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭与极轴的交点，
∴在3sin 3ρθπ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭中令=0θ，得1ρ=。

∴圆C 的圆心坐标为（1，0）。

∵圆C 经过点(
)24
P
π
，
，∴圆C 的半径为()
2
22
1212cos
=14
PC π
=+-⨯⨯。

∴圆C 经过极点。

∴圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ。

【考点】直线和圆的极坐标方程。

【解析】根据圆C 圆心为直线3sin 3ρθπ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭
与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆
C 经过点(
)
24
P
π
，
求出圆C 的半径。

从而得到圆C 的极坐标方程。

D ．[选修4 5：不等式选讲]已知实数x ，y 满足：11
|||2|36
x y x y +<-<，，
求证：5
||18
y <．
【答案】证明：∵()()3||=|3|=|22|22y y x y x y x y x y ++-≤++-， 由题设11|||2|36x y x y +<
-<，，
∴1153||=366y <+。

∴5
||18
y <。

【考点】绝对值不等式的基本知识。

【解析】根据绝对值不等式的性质求证。

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
23．设集合{12}n P n =，，，…，*N n ∈．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若A C x n p ∈，则A C x n
p ∉2。

（1）求(4)f ；
（2）求()f n 的解析式（用n 表示）． 解：（1）当=4n 时，符合条件的集合A 为：{}{}{}{}21,42,31,3,4，，，，
∴(4)f =4。

(2)任取偶数n x P ∈，将x 除以2 ，若商仍为偶数．再除以2 ，···经过k 次以后．商必为奇数．此时记商为m 。

于是=2k x m ，其中m 为奇数*k N ∈。

由条件知．若m A ∈则x A k ∈⇔为偶数；若m A ∉，则x A k ∈⇔为奇数。

于是x 是否属于A ，由m 是否属于A 确定。

设n Q 是n P 中所有奇数的集合．因此()f n 等于n Q 的子集个数。

当n 为偶数〔或奇数）时，n P 中奇数的个数是
2n （12
n +）。

∴()()2
122()=2n
n n f n n +⎧⎪⎨⎪⎩
为偶数为奇数。

【考点】集合的概念和运算，计数原理。

【解析】（1）找出=4n 时，符合条件的集合个数即可。

（2）由题设，根据计数原理进行求解。

22．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，
0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=．
（1）求概率(0)P ξ=；
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．
【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，
∴共有2
3
8C 对相交棱。

∴232128834
(0)=6611
C P C ξ⨯==
=。

（2）若两条棱平行，则它们的距离为1
的共有6对，
∴2
12661(6611P C ξ===
，416
(1)=1(0)(=111111
P P P ξξξ=-=-=--。

∴随机变量ξ的分布列是：
ξ
0 1
()P ξ
4
11 611 111
∴其数学期望61()=11111E ξ⨯
【考点】概率分布、数学期望等基础知识。

【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率(0)P ξ=。

（2
的共有6
对，即可求出(P ξ=，从而求出(1)
P ξ=
（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量 的分布列，求出其数学期望。

高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．（5分）设i是虚数单位，则复数i3﹣=（）
A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i
2．（5分）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）
A．﹣B． C．﹣D．
4．（5分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）
A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）
C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx
5．（5分）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）
A．B．2C．6 D．4
6．（5分）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）
A．144个B．120个C．96个D．72个
7．（5分）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）
A．20 B．15 C．9 D．6
8．（5分）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜logb3”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
9．（5分）如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，那么mn的最大值为（）
A．16 B．18 C．25 D．
10．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）在（2x﹣1）5的展开式中，含x2的项的系数是（用数字填写答案）．12．（5分）sin15°+sin75°的值是．
13．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是小时．
14．（5分）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为．
15．（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；
②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；
③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；
④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．
其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（12分）设数列{an}（n=1，2，3，…）的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{}的前n项和为Tn，求使得|Tn﹣1|成立的n的最小值．17．（12分）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．
18．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M、GH的中点为N．
（Ⅰ）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（Ⅱ）证明：直线MN∥平面BDH；
（Ⅲ）求二面角A﹣EG﹣M的余弦值．
19．（12分）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．
（Ⅰ）证明：tan=；
（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．
20．（13分）如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（14分）已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0．
（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．（5分）设i是虚数单位，则复数i3﹣=（）
A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i
【分析】通分得出，利用i的性质运算即可．
【解答】解：∵i是虚数单位，则复数i3﹣，
∴===i，
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题．
2．（5分）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
【分析】求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x＜2}，
根据集合的并集可求解答案．
【解答】解：∵集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，
∴集合A={x|﹣1＜x＜2}，
∵A∪B={x|﹣1＜x＜3}，
故选：A．
【点评】本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题．
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）。