2021年云南省高考数学压轴题预测附答案

2021年高考数学压轴题预测
1．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+（2﹣a）x，a＞0．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a∈N*，若关于x的不等式f（x）≤﹣1在（0，+∞）上恒成立，求a的最小值．【分析】（1）对函数f（x）求导，然后解不关于导函数的不等式，由此得出单调性情况；
（2）问题等价于ln 1
a
+1a≤0恒成立，令t=1a，则t＞0，设g（t）＝lnt+t，问题进一步
转化为g（t）≤0在（0，+∞）恒成立，对函数g（t）求导，分析可得a≥1
t0
∈(1，2)，
进而求得答案．
【解答】解：（1）由题意得，f′(x)=1
x
−2ax−a+2=(2x+1)(−ax+1)
x
(x＞0)，a＞0，
由f'（x）＞0，得0＜x＜1
a，∴函数f（x）在(0，
1
a
)上单调递增；
由f'（x）＜0，得x＞1
a，∴函数f（x）在(
1
a，+∞)上单调递减，
∴函数f（x）在(0，1
a
)上单调递增，在(1a，+∞)上单调递减；
（2）由（1）可知，函数f（x）在(0，1
a
)上单调递增，(1a，+∞)上单调递减，
∴f(x)max=f(1
a
)=ln1a+1a−1，
又∵f（x）≤﹣1在（0，+∞）上恒成立，
∴f(x)max=ln 1
a
+1a−1≤−1，即ln1a+1a≤0，
令t=1
a，则t＞0，设g（t）＝lnt+t，则g（t）≤0，
∵g′(t)=1
t
+1=1+t t＞0，
∴函数g（t）在（0，+∞）上单调递增，且g(1
2
)=ln12+12＜0，g(1)=1＞0，
∴存在唯一的t0∈(1
2，1)，使得g（t0）＝0，且当t∈（0，t0）时，g（t）＜0；当t∈（t0，
+∞）时，g（t）＞0，
∴0＜1
a
≤t0，解得a≥1t
∈(1，2)．
∵a∈N*，
∴a的最小值为2．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，考查运算求解
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