高中数学 2111 平面的基本性质课件 新人教A必修2

[点评] 将上述证明过程用符号表示为：∵AB⊂α， ∴A∈α，∵BC⊂α，∴C∈α，∴AC⊂α.
可见符号语言比文字语言简捷得多，因此应加强符号 语言的应用，熟练地将三种语言相互转化．
三条直线a、b、c两两相交，有三个交点，已知a与b都 在平面α内，求证c也在平面α内．
[分析] 如图，设a∩b＝D，a∩c＝F，b∩c＝E， 由a⊂α可知，F∈α， 由b⊂α知，E∈α，由E∈c，F∈c知，c⊂α.
不能，因为两个平面如果有一个公共点，就必有一条
经过这个公共点的公共直线，因此α∩β应表示这条公共直
线，而不是一个点．
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022 7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/162022/1/16January 16, 2022 8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/162022/1/162022/1/162022/1/16
[答案] 可以用公理一来解释这一现象 [解析] 当门不上锁时，两个合页相当于两个点确定 一条直线，经过一条直线有无数个平面．上锁后，三个不 共线点确定惟一平面．
[例5] 不共面的四点最多可以确定几个平面？ [分析] 不共面的四点中必定任意三点不共线(为什 么？)借助公理3可解． [解析] 设四点构成的集合α＝{A，B，C，D}，当A、 B、C、D四点不共面时，经过四点的平面是不存在的，但 是(A，B，C)、(B，C，D)、(C，D，A)、(A，B，D)各可以 确定一个平面，所以空间不共面的四点，可以确定四个平 面．
[正解] 当B、C、D不共线时，由公理3知，A、E都在 B、C、D确定的平面内．即五点共面．当B、C、D共线时， 若A在B、C、D、E确定的平面内，则A、B、C、D、E共面， 若A不在B、C、D、E确定的平面内，则A、B、C、D、E不 共面．
如图α∩β＝l，B、C、D都在l上，A∈β，E∈α，A，E 都不在l上，满足上述条件，但A、B、C、D、E不共面．
[例4] 为什么自行车可只安装一个脚撑？ [解析] 根据公理2知道，不共线的三点可以确定一个 平面，我们把自行车的前后轮看作是两个点，因此只需要 在自行车旁安装一个撑脚作为第三点，由这不共线的三点 可以确定一个平面，因此自行车只安装一只撑脚就可以．
一扇门，可以想象为平面的一部分，通常用两个合页 把它固定在门框的一边上，当门不锁上时，可以自由转动， 如果门锁上，则门就固定在墙面上．你可以用平面的哪一 性质来解释这一现象？________
等．
将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述， 并画图形表示．
α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β. [解析] 文字语言叙述为： 点A在平面α与平面β的交线l上，AB、AC分别在α、β 内．图形语言表示如右图．
[点评] 文字语言比较自然、生动，它能将问题所研 究的对象的含义更加明白地叙述出来，我们教科书上的概 念、定理等多以文字语言叙述．
图形语言，易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达 概念、定理的本质以及相互关系，在抽象的数学思维面前 起着具体化和加深理解的作用，故应下功夫掌握三种语言 的相互转化.
[例2] 已知△ABC的边AB、BC在平面α内，判断AC是 否在平面α内．
[解析] ∵AB在平面α内， ∴A点一定在平面α内． ∵BC在平面α内，∴C点一定在平面α内． ∴点A、点C都在平面α内． ∴直线AC在平面α内(公理1)．
(2)α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝A，b∩l＝B，如图．
2．1 空间点、直线、平面之间的 位置关系
2．1.1 平 面
一、阅读教材P40～43，回答下列问题： 1．因为几何里的平面是无限延展的，所以需要时可以 将平面任意 延展 ，通常画 平行四边形 表示平面．
2．当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被 遮住部分的线段画成 虚线 ．
3．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那 么这条直线上的所有 点都在这个平面内．即这条直线在这
个平面内．
符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒ 如图：
l⊂α .
4．公理2：经过 不在同一条直线上 的三个 点 ，有且 只有一个平面．即 不共线 三点确定一个平面．
5．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那 么它们有且只ຫໍສະໝຸດ 一条经过 这个公共点 的公共直线．
若平面α和β有且仅有一条公共直线l，就说平面α和β 相交 ，l叫做 交线 ，记作 l＝α∩β .
符号表示：α与β不重合，P∈α，P∈β⇒α与β有一条交 线l，且P∈l.
二、解答下列问题 1．点A在直线l上，又称直线l经过点A，记作 A∈l ； 点A不在直线l上，又称 直线l不经过点A ，记作 A∉l . 2．点A在平面α内，又称 平面α经过点A ， 记 作 A∈α ；点A不在平面α内，又称 平面α不经过点A ，记作
[例1] 若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q、b、β之
间的关系可记作
()
A．Q∈b，b∈β
B．Q∈b，b⊂β
C．Q⊂b，b⊂β
D．Q⊂b，b∈β
[解析] 解法1：(直接法)
∵点Q在直线b上，∴Q∈b.
∵直线b在平面β内，∴b⊂β.
∴应选B.
解法2：(排除法) ∵点Q与直线b之间的关系是元素与集合之间的关系， ∴只能用符号“∈”或“∉”表示， ∴C、D应予排除． ∵直线b与平面β之间是集合与集合之间的关系， ∴只能用符号“⊂”或“⊄”表示，∴A应予以排除． ∴应选B. [点评] 直线、平面都看作点的集合，但是用符号表 达直线与平面之间关系时，应该用⊂或⊄，不能用⊆、
[例6] 空间有五个点A、B、C、D、E，若A、B、C、 D共面且B、C、D、E共面，那么这五点共面是否正确？为 什么？
[错解] 共面．因为A、E都在B、C、D所确定的平面 内．
[辨析] 错解没有正确理解公理2，只有不共线三点才 可确定一个平面，当B、C、D不共线时，由公理3知，A、 E都在B、C、D确定的平面内．即五点共面．当B、C、D共 线时，空间五点可以不共面，如下图所示．
[例3] 定义：若A、B、C、D四点不共面，顺次连接 四点得四边形ABCD称作空间四边形．
若空间四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA上各有 一点P、Q、R、S，且直线PS与QR交于点K，求证B、D、K 共线．
[分析] 欲证B、D、K三点共线，只要证明K在直线 BD上，而BD是平面ABD与平面BDC的交线，故运用公理3 可获证．
[证明] ∵PS∩QR＝K， ∴K∈PS， ∵PS⊂平面ABD，∴K∈平面ABD 同理，K∈平面BCD 又BD＝平面ABD∩平面BCD 据公理3，K∈BD 即B、D、K共线．
总结评述：证明三点共线，一般先证两点确定的直线 是某两个平面的交线，再证第三个点是两平面的一个公共 点．也可以证明三点都是两个平面的公共点，两个平面不 重合．
(2)公理2是确定平面的依据，“确定”的含义是“有 且仅有”．即“存在一个平面”且“只有一个平面”．
(3)公理3是判定两平面相交的依据，也是证明点共线 或线共点的依据．
应用公理3判定点共线(或点在直线上)的步骤：点是某 两个平面的公共点，直线是这两个平面的交线，则点在直 线上．
2．要逐步熟悉用集合语言来表达空间几何元素间位置 关系，掌握文字语言、符号语言和图形语言的相互转化．
A∉α .
3．直线l在平面α内，又称平面α经过直线l，记作 l⊂；α 直线l在平面α外，又称平面α不经过直线l，记作
l⊄α.
4．直线a与b相交于点A，记作 a∩b＝A ；直线l与
平面α相交于点A，记作 l∩α＝A
；平面α与β相交
于直线l，也称作直线l是平面α与β的交线，记作
α∩β＝l .
5．点A是平面α与β的公共点，能记作α∩β＝A吗？
[解析] 已知a⊂α，b⊂α， 设a∩b＝D，a∩c＝F，b∩c＝E，如图． 求证：c⊂α.
证明：∵a∩c＝F，∴F∈c，F∈a， ∵a⊂α，F∈a，∴F∈α； 同理可知E∈α，∴EF⊂α，即c⊂α.
[点评] 解答立体几何证明题，一般可先画出符合题 设要求的图形，由已知条件和待证结论分析解题的思路， 找准切入点依次写出证明过程.
人 教 A 版 数 学
本节学习重点：三个公理． 本节学习难点：①公理的理解与应用． ②点、直线、平面位置关系的符号表示与画图．
1．反映平面基本性质的三个公理是研究空间中点、直 线、平面位置关系的最基本的依据，是构成立体几何知识 体系的基础．
(1)公理1反映了直线与平面的位置关系，是判定点、 直线是否在平面内的依据，可运用公理一证明点、直线在 平面内．(判定点在平面内的步骤是：先判定直线在平面内， 点在直线上，由此得出点在平面内)；公理一的另一个作用 是用来检验平面．
3．用符号语言表示下列语句，并画出图形． (1)直线a、b都在平面α内，a与b平行，直线c与a、b都 相交，交点分别为A、B，直线l与平面α相交于点P，P不在 直线a、b上． (2)平面α与β相交于直线l，a在α内，b在β内，a、b分别 与l相交于点A、B.
[解析] (1)a⊂α，b⊂α，c∩a＝A，c∩b＝B， l∩α＝P，P∉a，P∉b，如图．
1．线段AB在平面α内，直线AB是否在平面α内？为什 么？
[解析] ∵线段AB在平面α内， ∴AB的两端点A、B在α内， 由公理1知直线AB在平面α内．
2．判断下列命题是否正确： (1)如果两个不重合的平面有两个公共点A、B，那么它 们就有无数多个公共点，并且这些公共点都在直线AB上； (2)过一条直线的平面有无数多个． [解析] (1)正确．(2)正确，如书脊和书页．