2020-2021初中数学四边形真题汇编含答案解析(1)

2020-2021初中数学四边形真题汇编含答案解析(1)
一、选择题
1．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB ，CD 于E 、F ，连接PB 、PD ．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．10
B ．12
C ．16
D ．18
【答案】C
【解析】
【分析】 首先根据矩形的特点，可以得到S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PFC =S △PCN ，最终得到S 矩形EBNP = S 矩形MPFD ,即可得S △PEB =S △PFD ，从而得到阴影的面积．
【详解】
作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ．
则有四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，
∴S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PFC =S △PCN
∴S 矩形EBNP = S 矩形MPFD ,
又∵S △PBE = 12S 矩形EBNP ，S △PFD =12
S 矩形MPFD ， ∴S △DFP =S △PBE =
12
×2×8=8， ∴S 阴=8+8=16，
故选C ．
【点睛】 本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S △PEB =S △PFD ．
2．如图，□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ⊥AC .若4AB =,6AC =，则BD 的长为（ ）
A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
【答案】B
【解析】
【分析】 根据勾股定理先求出BO 的长，再根据平行四边形的性质即可求解.
【详解】
∵6AC =，
∴AO=3，
∵AB ⊥AC ，
∴BO=2234+=5
∴BD=2BO=10，
故选B.
【点睛】
此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知勾股定理的应用.
3．如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，30BE AD
BCE ⊥∠=︒，.若2AE =，则边BC 的长为( )
A 5
B 6
C 7
D ．22【答案】B
【解析】
【分析】 由菱形的性质得出AD ∥BC ，BC=AB=AD ，由直角三角形的性质得出3，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE 2+22=3）2，解得：2，即可得出结果． 【详解】
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD BC BC AB =，∥.
∵BE AD ⊥.∴BE BC ⊥.
∴30BCE ∠=︒，∴2EC BE =， ∴223AB BC EC BE BE ==-=.
在Rt ABE △中，由勾股定理得)22223BE BE +=
， 解得2BE =
，∴36BC BE ==
故选B.
【点睛】
此题考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
4．设四边形的内角和等于α，五边形的外角和等于β，则α与β的关系是( ) A ．αβ>
B ．αβ=
C ．αβ<
D ．180βα=+o
【答案】B
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形的内角和等于a ，
∴a=（4-2）•180°=360°．
∵五边形的外角和等于β，
∴β =360°， ∴a=
β． 故选B ．
【点睛】
本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．
5．如图，点M 是正方形ABCD 边CD 上一点，连接AM ，作DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，连接BE ，若AF ＝1，四边形ABED 的面积为6，则∠EBF 的余弦值是（ ）
A ．21313
B ．31313
C ．23
D ．1313
【答案】B
【解析】
【分析】
首先证明△ABF ≌△DEA 得到BF=AE ；设AE=x ，则BF=x ，DE=AF=1，利用四边形ABED 的面
积等于△ABE 的面积与△ADE 的面积之和得到
12
•x•x+•x×1=6，解方程求出x 得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE ，最后利用余弦的定义求解．
【详解】
∵四边形ABCD 为正方形，
∴BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，
∵DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，
∴∠AFB ＝90°，∠DEA ＝90°，
∵∠ABF+∠BAF ＝90°，∠EAD+∠BAF ＝90°，
∴∠ABF ＝∠EAD ，
在△ABF 和△DEA 中
BFA DEA ABF EAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩
∴△ABF ≌△DEA （AAS ），
∴BF ＝AE ；
设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝1，
∵四边形ABED 的面积为6， ∴11162
2x x x ⋅⋅+⋅⨯=，解得x 1＝3，x 2＝﹣4（舍去）， ∴EF ＝x ﹣1＝2， 在Rt △BEF 中，222313BE =+=，
∴313cos 13
BF EBF BE ∠=
==． 故选B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．
6．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )．
A ．180°
B ．360°
C ．540°
D ．720°
【答案】C
【解析】
【分析】 根据多边形内角和公式2180()n -⨯︒即可求出结果．
【详解】
解：黑色正五边形的内角和为：5218540(0)-⨯︒=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．
7．如图所示，点E 是矩形ABCD 的边AD 延长线上的一点，且AD=DE ，连结BE 交CD 于点O ，连结AO ，下列结论不正确的是（ ）
A ．△AO
B ≌△BOC
B ．△BO
C ≌△EO
D C ．△AOD ≌△EOD D ．△AOD ≌△BOC
【答案】A
【解析】
根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形应用排它法求欠妥 即可： ∵AD=DE ，DO ∥AB ，∴OD 为△ABE 的中位线．∴OD=OC ．
∵在Rt △AOD 和Rt △EOD 中，AD=DE ，OD=OD ，∴△AOD ≌△EOD （HL ）．
∵在Rt △AOD 和Rt △BOC 中，AD=BC ，OD=OC ，∴△AOD ≌△BOC （HL ）．
∴△BOC ≌△EOD ．
综上所述，B 、C 、D 均正确．故选A ．
8．如图，在矩形ABCD 中，AB m =，6BC =，点E 在边CD 上，且23CE m =．连接BE ，将BCE V 沿BE 折叠，点C 的对应点C '恰好落在边AD 上，则m =（ ）
A ．33
B ．3
C 3
D ．4
【答案】A
【解析】
【分析】
设AC′=x ，在直角三角形ABC′和直角三角形DEC′中分别利用勾股定理列出关于x 和m 的关系式，再进行求解，即可得出m 的值.
【详解】
解：设AC′=x ，
∵AB=m ，BC=6，23
CE m =
， 根据折叠的性质可得：
BC′=6，EC′=23CE m =， ∴C ′D=6-x ，DE=13m ，
在△ABC ′中，
AB 2+AC′2=BC′2，
即2226x m +=，
在△DEC ′中，
C′D 2+DE 2=C′E 2，
即()222
12633x m m ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：()2
236x m -=，代入2226x m +=中，
得：()222366x x -=-，
解得：x=3或x=6，代入2226x m +=，
可得：当x=3时，m=33或33-（舍），
当x=6时，m=0（舍），
故m 的值为33，
故选A.
【点睛】
本题考查了折叠的性质，勾股定理，解一元二次方程，有一定难度，解题的关键是根据折叠的性质运用勾股定理求解.
9．如图，小莹用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，BC 长为10cm ．当小莹折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处(折痕为AE )．则此时EC =( )cm
A ．4
B 2
C ．22
D ．3
【答案】D
【解析】
【分析】 根据矩形的性质得AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF ，在Rt △ABF 中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC ﹣BF=4，设CE=x ，则DE=EF=8﹣x ，在Rt △CEF 中利用勾股定理得到:42+x 2=（8﹣x ）2，然后解方程即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°．
∵长方形纸片ABCD折纸，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），
∴AF=AD=10，DE=EF，
在Rt△ABF中，AB=8，AF=10，∴6
=
∴CF=BC﹣BF=4．
设CE=x，则DE=EF=8﹣x，
在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2，
∴42+x2=（8﹣x）2，解得x=3
∴EC的长为3cm．
故选：D
【点睛】
本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，根据勾股定理得出方程是解题关键．
10．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
【答案】D
【解析】
试题分析：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，解得：n=8．则原多边形的边数为7或8或9．故选D．
考点：多边形内角与外角．
11．在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（）
A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AD＝BC D．AB＝CD
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定解答即可．
【详解】
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确；
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故C正确；
∵AD∥BC，
∴∠D+∠C=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠B+C=180°，
∴AB ∥CD ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，故B 正确；
故选：D ．
【点睛】
此题考查平行四边形的判定，解题关键是根据平行四边形的判定解答．
12．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（ ）
A ．2
B ．169
C ．32
D ．2
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】 解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，
∵四边形EFGH 为正方形，
∴EG FH =，
∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形，
∴AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，
∵ABE △≌CDG V ，
∴CDG V 为等腰三角形，
∴CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，
∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，
则,EM AB GN CD ^^，EM GN =，
∵正方形ABCD 的边长为4，即4AB CD AD BC ====，
∴4MN =，
设EM GN x ==，则42EG FH x ==-，
∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等， 即2114(42)22
x x ?-，解得：121,4x x ==， ∵4x =不符合题意，故舍去， ∴1x =，则S 正方形EFGH 14122
==⨯⨯=V ABE S ， ∵ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，
∴2====V V V V ABE BCF CDG DAH S S S S ，
∵正方形ABCD 的面积4416=⨯=，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等， ∴1(4=
V AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=V ABE S ， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．
13．如图1，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，动点P 从点B 开始沿边BA 、AC 向点C 以恒定的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以恒定的速度移动，两点同时到达点C ，设△BPQ 的面积为y （cm 2）．运动时间为x （s ），y 与x 之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC 的中点时，PQ 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．3
D ．3【答案】C
【解析】
【分析】 点P 、Q 的速度比为33x ＝2，y ＝3P 、Q 运动的速度，即可求解．
【详解】
解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC＝3a，设P、Q同时到达的时间为T，
则点P的速度为3a
T
，点Q的速度为
3a
T
，故点P、Q的速度比为3：3，
故设点P、Q的速度分别为：3v、3v，
由图2知，当x＝2时，y＝63，此时点P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝2×3v＝23v，
y＝1
2
⨯AB×BQ＝
1
2
⨯6v×23v＝63，解得：v＝1，
故点P、Q的速度分别为：3，3，AB＝6v＝6＝a，
则AC＝12，BC＝63，
如图当点P在AC的中点时，PC＝6，
此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ＝3x＝43，CQ＝BC﹣BQ＝63﹣43＝23，过点P作PH⊥BC于点H，
PC＝6，则PH＝PC sin C＝6×1
2
＝3，同理CH＝33，则HQ＝CH﹣CQ＝33﹣23＝
3，
PQ＝22
PH HQ
+＝39
+＝23，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
14．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）
A．40 B．24 C．20 D．15
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO=∠DAO，得到AD=CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO=3，于是得到结论．
【详解】
∵AB＝AD，点O是BD的中点，
∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，
∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AB＝5，BO
1
2
=BD＝4，
∴AO＝3，
∴AC＝2AO＝6，
∴四边形ABCD的面积
1
2
=⨯6×8＝24，
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
15．如图，张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖图案不能铺满地面的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算各正多边形每个内角的度数，看是否能整除360°，即可判断．
【详解】
解：A．正六边形每个内角为120°，能够整除360°，不合题意；
B．正三角形每个内角为60°，能够整除360°，不合题意；
C ．正方形每个内角为90°，能够整除360°，不合题意；
D ．正五边形每个内角为108°，不能整除360°，符合题意．
故选：D ．
【点睛】
能够铺满地面的图形是看拼在同一顶点的几个角是否构成周角．
16．如图，在ABCD Y 中，8AC =，6BD =，5AD =，则ABCD Y 的面积为( )
A ．6
B ．12
C ．24
D ．48
【答案】C
【解析】
【分析】 由勾股定理的逆定理得出90AOD ∠=o ，即AC BD ⊥，得出ABCD Y 是菱形，由菱形面积公式即可得出结果．
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴142OC OC AC ===，132
OB OD BD ===， ∴22225OA OD AD +==，
∴90AOD ∠=o ，即AC BD ⊥，
∴ABCD Y 是菱形，
∴ABCD Y 的面积11862422
AC BD =
⨯=⨯⨯=； 故选C ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的关键．
17．已知▱ABCD 中，∠A+∠C ＝240°，则∠B 的度数是（ ）
A ．100°
B ．160°
C ．80°
D ．60°
【答案】D
【解析】
【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，可得∠A=∠C ，AD ∥BC ，又由∠A+∠B=180°，求得∠A 的度数，继而求得答案．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，如图，
∴∠A＝∠C，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A+∠C＝240°，
∴∠A＝120°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝60°．
故选D．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识．
18．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（）
A．∠BCA＝45°B．AC＝BD
C．BD的长度变小D．AC⊥BD
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形的性质即可判断；
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD．
故选B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质．矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识，属于中考常考题型．
19．如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标轴为()4,1, 点D 的坐标为()0,1， 则菱形ABCD 的周长等于（ ）
A ．5
B ．43
C ．45
D ．20
【答案】C
【解析】
【分析】 如下图，先求得点A 的坐标，然后根据点A 、D 的坐标刻碟AD 的长，进而得出菱形ABCD 的周长.
【详解】
如下图，连接AC 、BD ，交于点E
∵四边形ABCD 是菱形，∴DB ⊥AC ，且DE=EB 又∵B ()4,1，D ()0,1
∴E(2，1)
∴A(2，0)
∴()()2220015-+-=∴菱形ABCD 的周长为：5故选：C
【点睛】
本题在直角坐标系中考查菱形的性质，解题关键是利用菱形的性质得出点A 的坐标，从而
求得菱形周长.
20．如图，正方形ABDC 中，AB ＝6，E 在CD 上，DE ＝2，将△ADE 沿AE 折叠至△AFE ，延长EF 交BC 于G ，连AG 、CF ，下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝CG ；③AG ∥CF ；④S ∆FCG ＝3，其中正确的有（ ）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】
【分析】 利用折叠性质和HL 定理证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ，从而判断①；设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=x+2，根据勾股定理列方程求解，从而判断②；由②求得△FGC 为等腰三角形，由此推出1802FGC FCG -∠∠=o ，由①可得1802
FGC AGB -∠∠=o ,从而判断③；过点F 作FM ⊥CE ，用平行线分线段成比例定理求得FM 的长，然后求得△ECF 和△EGC 的面积，从而求出△FCG 的面积，判断④．
【详解】
解：在正方形ABCD 中，由折叠性质可知DE=EF=2，AF=AD=AB=BC=CD=6，∠B=∠D=∠AFG=∠BCD=90°
又∵AG=AG
∴Rt △ABG ≌Rt △AFG ，故①正确；
由Rt △ABG ≌Rt △AFG
∴设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=GF+EF=x+2，CE=CD-DE=4
∴在Rt △EGC 中，222
(6)4(2)x x -+=+
解得：x=3
∴BG ＝3，CG=6-3=3
∴BG ＝CG ，故②正确；
又BG ＝CG ， ∴1802
FGC FCG -∠∠=o 又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ∴1802
FGC AGB -∠∠=o ∴∠FCG=∠AGB
∴AG∥CF，故③正确；过点F作FM⊥CE，
∴FM∥CG
∴△EFM∽△EGC
∴FM EF
GC EG
=即
2
35
FM
=
解得
6
5 FM=
∴S∆FCG＝
116
344 3.6
225
ECG ECF
S S
-=⨯⨯-⨯⨯=
V V
，故④错误
正确的共3个
故选：C．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．。