专题01 勾股定理与几何综合的三种考法(解析版)

专题01勾股定理与几何综合的三种考法类型一、翻折问题
【答案】2.5或10
【分析】分两种情况：理，矩形的性质进行解答．
【详解】解：设CE x =，则当E 点在线段BC 上时，如图 矩形ABCD 中，=5AB ==5CD AB ∴，AD BC = 点M ，N 分别在AD ==4DM CN ∴，
∴四边形CDMN 为平行四边形，
矩形ABCD 中，=5AB ，BC =6，
==5CD AB ∴，6AD BC ==，AD ∥ 点M ，N 分别在AD ，BC 上，且∴四边形CDMN 为平行四边形，
=90°NCD ∠ ，
∴四边形MNCD 是矩形，
==90°DMN MNC ∴∠∠，MN CD =由折叠知，==5C D CD '，
【答案】5
【分析】可根据勾股定理求解形的面积公式求解即可．【详解】解：∵在正方形
类型二、最值问题【答案】16
3
【分析】首先利用勾股定理求出最短解决问题．
【详解】解：在Rt ABC △中，2262AC AB BC ∴=+=11A E A B BE =- ，1A B AB =∴当BE 最小时，1A E 最大，
当BE AC ⊥时BE 最小，
又 12ABC S AB BC =⨯⨯=△BE ∴的最小值为83
，1A E ∴的最大值为816833
-=
【答案】82
【分析】延长BC至点D¢，使得
D E DE ''=，可证()SAS CD E BDE '' ≌，得到'=CE BE ，因此AC BE AC CE '+=+，当AC 与CE '在同一直线时，AC CE AE ''+=为最小，过点E '作E F AD '⊥，交AD 的延长线于点F ，构造出Rt AE F ' ，利用勾股定理求出AE '的长，从而得到AC BE +的最小值．
【详解】如图，延长BC 至点D ¢，使得8DD BC '==，过点D ¢作E D BD '''⊥，并在该垂线上截取D E DE
''=
∵:2:1AE ED =，且6
AE DE AD +==∴4AE =，2
DE =∵BD BC CD =-，CD DD CD
''=-又DD BC
'=∴CD BD
'=∵AD BC ⊥，E D BD '''
⊥∴90D BDE '∠=∠=︒
∵D E DE
''=∴()
SAS CD E BDE '' ≌∴'=CE BE
∴AC BE AC CE '
+=+如下图，当AC 与CE '在同一直线时，AC CE AE ''+=为最小过点E '作E F AD '⊥，交AD 的延长线于点F
∵AD BC ⊥，E D BD '''⊥，E F AD '⊥
(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE (2)探究：当点C 满足什么条件时，(3)根据（2）中的结论，请构造图形求代数式【答案】(1)2222(4)x x +-+(2)5
(3)13
A．21cm B．15
在Rt ABE △中，22AE AB BE =-在Rt ADE △中，22AE AD DE =-∴22AB BE -22
AD DE =-∵20cm 13cm AB DA BD ==，，
A．13B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，是解题的关键．
【答案】15
【分析】设CD x =，CE y =，根据三等分点的定义可得57AD =，53BE =，根据勾股定理可得2225x y +=，最后再利用勾股定理得到AB
【答案】5
【分析】过点C 作CE 据8BCD S =△，得出BD 【详解】解：如图所示，过点
∠=∠=
∵CDA ABD
∠+∠=
∴CDE ADB
∠=∠，
∴CDE A
=，
又∵CD AD
≌
△△
ABD DEC
【答案】5
【分析】由轴对称的性质可知：
后根据勾股定理可得DB，BE
【详解】解：由轴对称的性质可知：在Rt△ADB′中，根据勾股定理，得DB′=222159
-=-
AD AB'
∵BC=AD=15，
∴EC=BC-BE=15-BE，
A ．3
2B ．5
2【答案】B
【分析】根据勾股定理和已知条件可得6AD BF ==，求出3CF =，利用勾股定理求出【详解】解：∵26AD BC ==，
∴3BC =，
∵:5:3AB BC =，
∴5AB =，
【点睛】本题考查了勾股定理和全等三角形的判定和性质，全等是解题的关键.
课后训练
1．如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点F 处，已知3CE =，8AB =，则图中阴影部分的面积为（）
A ．20
B ．24
C ．28
D ．30
【答案】D 【分析】根据矩形对边相等四角都是直角，折叠对应线段相等，得到5EF =，根据勾股定理得到4CF =，10BC =，推出6BF =，根据三角形面积公式即得答案．
【详解】解：设BC x =，
∵矩形ABCD 中，8AB CD ==，且3CE =，
【答案】2.5
【分析】根据折叠得到BE 股定理求得AC 的值，再由勾股定理可列方程求解即可．
【详解】解：根据折叠可得设BE EB x '==，则4EC =
【答案】72 2
【分析】作DG AM
⊥，由题意可得
等三角形的性质可得DM=MB；然后根据等腰三角形的性质可得
32
DMF
是BMF
翻折而成，
DMF
∴ ≌BMF
，
∴DM=MB
∵等腰直角ABC
中
【答案】52
【分析】先过点D 作证ABC DAE △≌△，得出【详解】解：过点D ∵90BAD ∠=︒，AC
【点睛】本题考查了全等三角形和勾股定理的综合，解题的关键．
7．如图，在矩形ABCD
称点分别是点M、N．如果直线
【答案】8714
3
-
【分析】先根据题意画出图形，然后利用三角形勾股定理即可得到答案．【详解】解：如图，
连接,BM EN ，则有四边形BMNE 已知6AB =，8BC =，则BM =在Rt BMC 中，2CM BC =
2286282CM ∴=-==则827CN MN CM =-=-设DE a =，则EN a =，EC 【答案】413
【分析】延长CF 至F ，使CF BE ==
则1DH CE DF CF CD ==-=，，∵90AE BC BCD ⊥∠=︒，，
∴90AE CD AEB BCD ∠=︒=∠∥，
【答案】7
【分析】如图：在DC 上取一点G ，使DG BE =，然后证明ABE ADG ≌△△可得AE AG =，EAB GAD ∠=∠；然后再证明EAF GAF ≌△△可得EF FG =，设BE x =，即13GC x =-，22EF FG x ==-，最后在Rt ECF 运用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：如图：在DC 上取一点G ，使DG BE =，
∵90BAD BCD ∠=∠=︒，
∴180D ABC ∠+∠=︒，
∵180ABE ABC ∠+∠=︒，
∴D ABE ∠=∠，
又∵AB AD =，DG BE =，
∴ABE ADG ≌△△()SAS ，
∴AE AG =，EAB GAD ∠=∠，
∵45EAF BAE BAF ∠=∠+∠=︒，
∴45GAD BAF ∠+∠=︒，
∴45GAF ∠=︒，即EAF GAF ∠=∠，
∴()SAS EAF GAF ≌△△，
∴EF FG
=设BE x =，即13GC x =-，22EF FG x
==-在Rt ECF 中，222
+=EC FC EF ∴()()22
29522x x ++=-，解得：7x =．
∴7BE =．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键．
【答案】26
【分析】首先过点N作NG 边形AMCN为菱形，由△
,
DN x=由勾股定理可求得【详解】解：如图，过点
故答案为：26
【点睛】折叠实质为几何图形中的轴对称变化，结合条件平行，直角，可以得到等腰三角形，直角三角形，进而可以利用勾股定理，相似等知识解决问题.
11．如图的实线部分是由【答案】3
【分析】根据题意利用折叠后图形全等，求解.
【详解】解：由题意可知∵15cm BC =，20cm AC =∴'15,BC B C cm AC ===∵90ACB ∠=︒，。