课件：复数项级数

n1
1 2
14
1 收敛，(莱布尼兹型的交错级数) 6
yn 1-
n1
1 3
15
1 7
收敛，
故级数
zn
收敛。
lim
n
yn
,
lim
n
yn
.
一、复数序列
2. 复数序列极限存在的充要条件
定理
设 zn xn i yn, a i ,
则
lim
n
zn
a
的充要条件是
lim
n
xn
,
lim
n
yn
.
证明 充分性 “ ”
若 lim
n
xn
,
lim
n
yn
,
则 e 0 , N , 当 n N 时，
|zn - a| a | xn - |
解
由于 | zn |
n0
n0
1 n!
e,
即 zn 绝对收敛，故 zn 收敛。
n0
n0
分析
由于 | zn |
n0
n0
1 发散， ( p 级数，比阶法) n
因此不能马上判断 zn 是否收敛。
解
zn
in n
1 cos πn i n2
1 sin πn n2
记为
xn i yn ,
xn -
P80
定理 级数 xn 和 yn 都收敛。
4.1
证明 令 n 和 n 分别为级数 xn 和 yn 的部分和，
n
则级数 zn 的部分和 sn zk n i n ,
k 1
由于序列 {sn } 收敛的充要条件是{ n } 和{ n } 都收敛，
即得级数 zn 收敛的充要条件是 xn 和 yn 都收敛。
当 n > N 时，总有 | zn - a | < e 成立，则称复数序列 {zn } 收敛于复数 a，或称 a 为复数序列 {zn }的极限，记作
lim
n
zn
a,
或
zn a , (n ).
一、复数序列
2. 复数序列极限存在的充要条件
定理
P78
设 zn xn i yn, a i ,
则
lim
n
zn
a
的充要条件是
定理 4.1
lim
n
xn
,
lim
n
yn
.
证明 必要性 “ ”
若
lim
n
zn
a
,
则
e
0,
N,
当 n N 时，| zn - a | e ,
|zn - a| a | xn - |
zn | yn - |
| xn - | |zn - a| e , | yn - | | zn - a| e ,
(2)
lim
n
|
zn
|
0
lim
n
zn
0.
例
设 zn
10000n n!
in,
讨论序列 {zn } 的收敛性。
解
10000n
lim
n
|
zn
|
lim
n
n!
0,
lim
n
zn
0,
即序列 {zn } 收敛。
二、复数项级数
1. 基本概念
定义 设 {zn }n1,2, 为一复数序列，
(1) 称 zn z1 z2 为复数项级数，简记为 zn .
n1
n
(2) 称 sn zk z1 z2 zn 为级数的部分和；
k 1
(3)
如果序列
{sn } 收敛，即 lim n
sn
s
,
则称级数收敛，
并且极限值 s 称为级数的和；
(4) 如果序列 {sn } 不收敛，则称级数发散。
二、复数项级数
2. 复数项级数收敛的充要条件
定理 设 zn xn i yn , 则级数 zn 收敛的充分必要条件是
cos
πn 2
i
1 n2
sin
πn 2
记为
xn i yn ,
由于级数 | xn | 和 | yn | 均为收敛， (绝对收敛) 故有级数 xn 和 yn 均收敛，即得级数 zn 收敛。
在复数项级数中是否也能引入绝对收敛的概念呢？
二、复数项级数
4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛
定义 (1) 若 | zn | 收敛，则称 zn 绝对收敛。 P81 (2) 若 | zn | 发散， zn 收敛，则称 zn 条件收敛。
zn | yn - |
| xn - | e , | yn - | e ,
| zn - a | | xn - | | yn - | 2e ,
lim
n
zn
a
.
解
zn
in
i nLeabharlann π ine2 i
n
cos nπ i (sin nπ 1 ).
2
2n
由
{cos
nπ 2
}或
{sin
nπ 2
1 n
}发散，
即得
{
zn
}
也发散。
附 考察实序列{| zn |} 的收敛性。(其中 zn 见上例)
已知 | zn |
in
i n
,
根据复数模的三角不等式有
1-
1 n
|zn |
1
1 n
,
lim
n
|
zn
|
1
,
故序列 {| zn |}收敛。
注 (1) 序列{| zn |} 收敛
序列 { zn } 收敛；
定理 若 | zn | 收敛，则 zn 必收敛。 P80 定理4.4 证明 由 | zn | 收敛， xn2 yn2 收敛，
又 | xn | xn2 yn2 , | yn | xn2 yn2 ,
根据正项级数的比较法可得， | xn | 和 | yn | 均收敛， xn 和 yn 均收敛， zn 收敛。
第四章 解析函数的级数表示
§4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数 §4.3 泰勒级数 §4.4 洛朗级数
§4.1 复数项级数
一、复数序列 二、复数项级数
一、复数序列
1. 基本概念 定义 设 zn 为复数，称 {zn }n1,2, 为复数序列。
极限 设 {zn }n1,2, 为一复数序列，又设 a 为一确定的复数， 如果对任意给定的 e > 0，相应地存在自然数 N，使得
二、复数项级数
3. 复数项级数收敛的必要条件
定理
设 zn xn i yn,
则
zn
收敛的必要条件是
lim
n
zn
0.
P80 定理4.3
证明 由于级数 zn 收敛的充要条件是 xn和 yn都收敛，
而实数项级数 xn 和 yn 收敛的必要条件是：
lim
n
xn
0,
lim
n
yn
0
等价于
lim
n
zn
0,
因此
zn
收敛的必要条件是
lim
n
zn
0.
P81 例4.2 部分
解
级数
n1
1 2n
收敛，
(几何级数 an , 0 a 1时收敛)
n1
但级数
1
n1 n
发散，
(
p 级数
n1
1 np
,
p 1时发散)
因此级数 zn 发散。
P81 例4.2 部分
解
zn
1 n2
in
1 n2
iπn
e2
1 n2