人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第十章 概率 有限样本空间与随机事件 事件的关系和运算

【例4】 盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A=“3个球中
有1个红球,2个白球”,事件B=“3个球中有2个红球,1个白球”,事件C=“3个球
中至少有1个红球”,事件D=“3个球中既有红球又有白球”.问:
(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?
(2)事件C与A的交事件是什么事件?
解 (1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球,故
来判断.若遇到比较复杂的题目,必须严格按照事件之间关系的定义来推理.
学以致用•随堂检测全达标
1.(例1对点题)某人做试验,从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,有放
回地取两个小球,每次取一个,先取的小球的标号为x,看清编号后放回盒子
摇匀,再取一个小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y).试写出这个试验
“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件?如果用集合的形式来表示它们,
那么这些集合与样本空间有什么关系?
探究点一 试验的样本空间
问题4:如何表示随机事件?
【例1】 某人做试验,从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地
取两个小球,每次取一个,先取的小球的标号为x,后取的小球的标号为y,这
第十章
10.1.1 有限样本空间与随机事件
10.1.2 事件的关系和运算
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
1.理解有限样本空间、样本空间、样本点的概念.(数学抽象)
2.理解必然事件、不可能事件、随机事件、基本事件的含义及
学习目标 其关系.(数学抽象)
②确定是否至少有一个结果发生会意味着两个事件都发生,若是,则两事件
不互斥,否则就是互斥的.
(3)判断对立事件的步骤:
①判断是互斥事件;
②确定两个事件必然有一个发生,否则只互斥,但不对立.
探究点四 用简单事件的和或积表示复杂事件
问题8:如何通过事件的运算得到新的事件?什么是和事件与积事件?如何
用和事件与积事件表示复杂事件?
样构成有序实数对(x,y).
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件.
解 (1)当x=1时,y=2,3,4;
当x=2时,y=1,3,4;
当x=3时,y=1,2,4;
当x=4时,y=1,2,3.因此,这个试验的样本空间是
Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.
( √ )
重难探究•能力素养全提升
问题1:概率的研究对象是什么?如何研究?
问题2:体育彩票摇奖时,将10个质地和大小完全相同、分别标号0,1,2,…,9
的球放入摇奖器中,经过充分搅拌后摇出一个球,观察这个球的号码.这个
随机试验共有多少个可能结果?如何表示这些结果?
问题3:在体育彩票摇号试验中,摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗?摇出
地分发给甲、乙、丙三人,每人至少分得一本,则下列两个事件为互斥事件
的是(
)
A.事件“甲分得一本”与事件“丙分得两本”
B.事件“甲分得《红楼梦》”与事件“乙分得《西游记》”
C.事件“甲分得两本”与事件“乙分得两本”
D.事件“乙分得《三国演义》”与事件“丙分得《水浒传》”
答案 C
解析 将《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》四本书随机地分
的样本空间.
解 当x=1时,y可取1,2,3,4.
同理,x=2,3,4时,对应的不同的试验结果也有4个.
所以这个试验的样本空间为
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),
(4,2),(4,3),(4,4)}.
2.袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球,分别写出以下随机试验的样
本空间.
(1)从中任取1球;
(2)从中任取2球.
提示 (1)Ω={红,白,黄,黑}.
(2)若记(红,白)表示一次试验中取出的是红球与白球,则Ω={(红,白),(红,黄),
(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)}.
知识点二:事件的概念及分类
C.买了一注彩票中一等奖
D.实数a+b=b+a

D.至多2个白球
答案 (1)A
(2)D
解析 (1)由于袋子中白球的个数为2,所以摸出的3个球都是白球是不可能
事件,故A选项正确;摸出的3个球都是红球是随机事件,故B选项错误;摸出
的球至少一个红球是必然事件,故C选项错误;摸出的球至多2个白球是必
然事件,故D选项错误.
事件A与事件B相等
A也包含事件B
Venn图
符号
读法
含义
事件A与事件 事件A与事件B至少有一个发生,
A∪B
B的并事件(或 这样的一个事件中的样本点或
(或A+B)
和事件)
者在事件A中,或者在事件B中
A∩B
事件A与事件 事件A与事件B同时发生,这样的
(或AB) B的交事件(或 一个事件中的样本点既在事件A
3.理解事件A与事件B之间的关系及并事件、交事件、事件互斥、
事件互为对立等相关概念.(逻辑推理、数学运算)
基础落实•必备知识全过关
知识点一:有限样本空间的相关概念
1.随机试验:我们把对随机现象的 实现 和对它的 观察
简称试验,常用字母 E 表示.
称为随机试验,
说明:本节中我们研究的是具有以下特点的随机试验.
必然事件是必定会发生的事件.
(3)只有当A中的样本点都发生了,事件A才发生.( × )
当A中有样本点发生,事件A就发生了.
知识点三:利用集合的知识研究随机事件
符号
读法
B⊇A
事件B包含事件A(或
(或A⊆B)
事件A包含于事件B)
含义
若事件A发生,则事件
B一定发生
A=B(B⊇A
事件B包含事件A,事件
且A⊇B)
⌀
为不
可能事件.
名师点睛
应该注意事件发生的结果是相对应于“一定条件”而言的.故要弄清某一随
机事件,必须明确何为事件发生的条件.随机事件发生有可能性大小之分.
微判断
判断下列说法是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”并说明理由.
(1)从集合的角度看,事件⌀与事件Ω的关系为⌀⊆Ω.( √ )
(2)必然事件也可能不发生,不可能事件一定不能发生.( × )
(1)事件 A 发生,事件 B 与事件 C 不发生,则可表示为 AB C.
( √ )
(2)事件 A,B,C 均不发生可表示为A B C.
( √ )
( × )
(3)事件 A,B,C 至少有两个发生可表示为 A∪B∪C.
应表示为:(BC)∪(AC)∪(AB)∪(ABC).
(4)若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则事件 A 与事件 B 一定为互斥事件.
4.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间
Ω= {ω1,ω2,…,ωn} 为有限样本空间,也就是说Ω为有限集的情况即为有限
样本空间.
名师点睛
样本点与样本空间的关系可联想元素与集合的关系来理解记忆.注意:试验
不同,对应的样本空间也不同;同一试验,若试验的目的不同,则对应的样本
C.取出的3个球中既有红球也有白球
D.取出的3个球中不止一个红球
答案 D
解析 从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球,则事件“取出1个
红球和2个白球”的对立事件是取出的3个球中至少有两个红球.故选D.
4.(例4对点题)从一批100件的产品中每次取出一个(取后不放回),假设100
件产品中有5件是次品,用事件Ak表示第k次取到次品(k=1,2,3),试用A1,A2,A3
1.样本空间Ω的 子集 称为随机事件,简称
事件
.
2.只包含 一个样本点
的事件称为基本事件.
3.在每次试验中,当且仅当 A中某个样本点出现时 ,称为事件A发生.
4.Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点
发生,所以Ω总会发生,我们称
Ω
为必然事件.
5.空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称
1
绝对值不小于零,是必然事件;③某彩票中奖的概率为
100 000
,买100 000张
这种彩票不一定能中奖,因此是随机事件,所以其中是必然事件的为②.
3.(例3对点题)从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球,则事件
“取出1个红球和2个白球”的对立事件是(
)
A.取出2个红球和1个白球
B.取出的3个球全是红球
【例2】 (1)一个不透明的袋子中装有8个红球、2个白球,除颜色外,球的大
小、质地完全相同,采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能
事件的是(
)
A.3个都是白球
B.3个都是红球 C.至少1个红球
(2)下列事件中,是必然事件的是(
)
A.任意买一张电影票,座位号是2的倍数
B.12个人中有两个人生肖相同
(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A,则A={(2,1),(2,3),(2,4)}.
规律方法
随机事件的结果是相对于条件而言的,要弄清某一随机事件的
结果,必须明确事件发生的条件.在写试验结果时,要按照一定的顺序采用
列举法写出,注意不能重复也不能遗漏.
探究点二 随机事件的概念及分类
问题5:如何理解基本事件、随机事件?两者有何关联?
(1)试验可以在相同条件下重复进行;
(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪
一个结果.
2.我们把随机试验E的 每个可能的基本结果
称为样本点,一般用ω表示
样本点.
3.全体样本点的 集合
称为试验E的样本空间,一般用Ω表示样本空间.
(2)选项A,B,C中的事件都不确定发生,因此都不是必然事件,只有选项D总
会发生,因此是必然事件.
探究点三 互斥事件、对立事件的判断
问题6:如何从基本事件出发构建随机事件?如何用集合的关系表示所列事
件的关系?
问题7:如何区分互斥事件与对立事件?两者的区别与联系是什么?
【例3】 将《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》四本书随机
2.(例2对点题)有下列事件:
①在标准大气压下,水加热到80 ℃时会沸腾;
②实数的绝对值不小于零;
1
③某彩票中奖的概率为
,则买100 000 张这种彩票一定能中奖.
100 000
其中必然事件是(
A.②
B.③
)
C.①②③
D.②③
答案 A
解析 ①在标准大气压下,水加热到80 ℃时会沸腾,是不可能事件;②实数的
积事件)
中,也在事件B中
Venn图
符号
读法
事件A与事件
B互斥(或互
不相容)
含义
Venn图
事件A与事件B不能同
A∩B=⌀
时发生,也就是说A∩B
是一个不可能事件
A∪B=Ω ,
事件A和事件B在任何
事件A与事件
且 A∩B=⌀ ,即
一次试验中有且仅有
B互为对立
一个发生
=B, =A
微判断
判断下列说法是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”并说明理由.
D=A∪B.
(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球,3个均为红
球,故C∩A=A.
规律方法
进行事件运算时应注意的问题
(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件
下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结
果进行分析.
(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识
表示下列事件.
(1)三次全取到次品;
(2)只有第一次取到次品;
(3)三次中至少有一次取到次品;
发给甲、乙、丙三人,每人至少分得一本.对于A,事件“甲分得一本”与事件
“丙分得两本”能同时发生,不为互斥事件,故A错误;对于B,事件“甲分得
《红楼梦》”与事件“乙分得《西游记》”能同时发生,不为互斥事件,故B错
误;对于C,事件“甲分得两本”与事件“乙分得两本”不能同时发生,是互斥事
件,故C正确;对于D,事件“乙分得《三国演义》”与事件“丙分得《水浒传》”
空间也不同.
微思考
1.抛掷两枚骰子,观察它们落地时朝上面的点数情况,能否写出该试验的样
本空间?
提示 可以考虑用有序数对(a,b)来表示试验的结果.其中a表示一枚骰子的
点数,b表示另一枚骰子的点数,则有Ω={(a,b)|1≤a≤6,1≤b≤6,且a,b∈N*}.Ω还
可以用列举法进行表示,该样本空间中有36个样本点.
能同时发生,不为互斥事件,故D错误.
规律方法
(1)一般判断互斥事件或对立事件时常从集合的角度来认识,若
A∪B=Ω,A∩B=⌀,则称事件A与事件B互为对立;若A∩B=⌀,则称事件A与事
件B互斥(或互不相容).对于本例中的问题,要把样本空间明确,再进行分析.
(2)判断互斥事件的步骤:
①确定每个事件包含的结果;