尖扎县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

尖扎县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 过抛物线C ：x 2=2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段|AF|=（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
2． 将函数f （x ）=sin2x 的图象向右平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，则它的一个对称中心是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 设函数()()21x
f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数，使得()0f t <，则的
取值范围是（ ）
A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭1111] 4． 下列正方体或四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是
（ ）
5． 在等差数列{a n }中，3（a 3+a 5）+2（a 7+a 10+a 13）=24，则此数列前13项的和是（ ）
A ．13
B ．26
C ．52
D ．56
6． 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）
A.x
y e -= B.3y x = C.ln y x = D.y x =
7． 已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 8． 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a ＝6 102，
b ＝2 016时，输出的a 为（ ）
A ．6
B ．9
C ．12
D ．18
9． 已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1（n ∈N *），且a 2+a 4+a 6=9，则log （a 5+a 7+a 9）的值是（ ）
A ．﹣
B ．﹣5
C ．5
D ．
10．A 是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量
，
，若
，则角B 的大小为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．复数i i -+3)1(2
的值是（ ）
A ．i 4341+-
B ．i 4341-
C ．i 5351+-
D ．i 5
351-
【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算，属于容易题．
二、填空题
13．已知x ，y
满足条件，则函数z=﹣2x+y 的最大值是 ．
14
．二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为 ．
15．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=()210{ 21(0)
x
x
x e
x x x +≥++<，若函数y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，则a 的取值范围是_____． 16．用“＜”或“＞”号填空：30.8 30.7．
17
．不等式
的解集为R ，则实数m 的范围是
．
18．若a ，b 是函数f （x ）=x 2﹣px+q （p ＞0，q ＞0）的两个不同的零点，且a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q 的值等于 ．
三、解答题
19．在平面直角坐标系中，已知M （﹣a ，0），N （a ，0），其中a ∈R ，若直线l 上有且只有一点P ，使得|PM|+|PN|=10，则称直线l 为“黄金直线”，点P 为“黄金点”．由此定义可判断以下说法中正确的是
①当a=7时，坐标平面内不存在黄金直线； ②当a=5时，坐标平面内有无数条黄金直线；
③当a=3时，黄金点的轨迹是个椭圆；
④当a=0时，坐标平面内有且只有1条黄金直线．
20．已知奇函数f（x）=（c∈R）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．
21．已知等差数列{a n}中，其前n项和S n=n2+c（其中c为常数），（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b1=1，{a n+b n}是公比为a2等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．
22．已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=10．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．
23．已知不等式的解集为或（1）求，的值
（2）解不等式.
24．在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81．
（Ⅰ）求a n；
（Ⅱ）设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．
尖扎县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：∵x2=2y，∴y′=x，
∴抛物线C在点B处的切线斜率为1，
∴B（1，），
∵x2=2y的焦点F（0，），准线方程为y=﹣，
∴直线l的方程为y=，
∴|AF|=1．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查导数知识，正确运用抛物线的定义是关键．
2．【答案】D
【解析】解：函数y=sin2x的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）]=sin（2x﹣）；考察选项不难发现：
当x=时，sin（2×﹣）=0；
∴（，0）就是函数的一个对称中心坐标．
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．
3．【答案】D
【解析】
考
点：函数导数与不等式．1
【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令()0f x =将函数变为两个函数()()()21,x g x e x h x ax a =-=-，将题意中的“存在唯一整数，使得()g t 在直线()h x 的下方”，转化为存在唯一的整数，使得()g t 在直线()h x ax a =-的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得m 的取值范围.
4． 【答案】D 【解析】
考
点：平面的基本公理与推论．
5． 【答案】B
【解析】解：由等差数列的性质可得：a 3+a 5=2a 4，a 7+a 13=2a 10，
代入已知可得3×2a 4+2×3a 10=24，即a 4+a 10=4，
故数列的前13项之和S 13=
==
=26
故选B
【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及整体代入的思想，属中档题．
6． 【答案】B 【解析】
试题分析：对于A ，x
y e =为增函数，y x =-为减函数，故x
y e -=为减函数，对于B ，2'30y x =>，故3
y x
=为增函数，对于C ，函数定义域为0x >，不为R ，对于D ，函数y x =为偶函数，在(),0-∞上单调递减，
在()0,∞上单调递增，故选B.
考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性. 7． 【答案】A.
【解析】||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-⇔->-，设()||cos f x x x =-，[,]x ππ∈-， 显然()f x 是偶函数，且在[0,]π上单调递增，故()f x 在[,0]π-上单调递减，∴()()||||f f αβαβ>⇔>，故是充分必要条件，故选A. 8． 【答案】
【解析】选D.法一：6 102＝2 016×3＋54，2 016＝54×37＋18，54＝18×3，18是54和18的最大公约数，∴输出的a ＝18，选D.
法二：a ＝6 102，b ＝2 016，r ＝54， a ＝2 016，b ＝54，r ＝18， a ＝54，b ＝18，r ＝0. ∴输出a ＝18，故选D.
9． 【答案】B
【解析】解：∵数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1（n ∈N *
）， ∴a n+1=3a n ＞0，
∴数列{a n }是等比数列，公比q=3． 又a 2+a 4+a 6=9， ∴=a 5+a 7+a 9=33×9=35，
则log
（a 5+a 7+a 9）=
=﹣5．
故选；B ．
10．【答案】B
【解析】解：在圆上其他位置任取一点B ，设圆半径为R ， 则B 点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR ，
其中满足条件AB 的长度大于等于半径长度的对应的弧长为2πR ，
则AB 弦的长度大于等于半径长度的概率P==．
故选B ．
【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中根据已知条件计算出所有基本事件对应的几何量及满足条件的基本事件对应的几何量是解答的关键．
11．【答案】B 【解析】解：若
，
则（a+b ）（sinB ﹣sinA ）﹣sinC （
a+c ）=0，
由正弦定理可得：（a+b ）（b ﹣a ）﹣c （
a+c ）=0，
化为a 2
+c 2﹣b 2
=﹣
ac ，
∴cosB=
=﹣
，
∵B ∈（0，π），
∴B=，
故选：B ．
【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，是一道基础题．
12．【答案】C
【解析】
i i i i i i i i i i 5
3
511062)3)(3()3(2323)1(2+-=+-=+-+=-=-+． 二、填空题
13．【答案】 4 ．
【解析】解：由约束条件
作出可行域如图，
化目标函数z=﹣2x+y 为y=2x+z ，由图可知，当直线y=2x+z 过点A （﹣2，0）时， 直线y=2x+z 在y 轴上的截距最大，即z 最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14．【答案】 70 ．
【解析】解：根据题意二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，
则n=8，
所以二项式
=
展开式的通项为
T r+1=（﹣1）r C 8r x 8﹣2r 令8﹣2r=0得r=4 则其常数项为C 84
=70
故答案为70．
【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区别．
15．【答案】11[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
，
） 【解析】当x ＜0时，由f （x ）﹣1=0得x 2+2x+1=1，得x=﹣2或x=0，
当x ≥0时，由f （x ）﹣1=0得
110x
x
e +-=，得x=0， 由，y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1=0得f （x ）﹣a=0或f （x ）﹣a=﹣2， 即f （x ）=a ，f （x ）=a ﹣2， 作出函数f （x ）的图象如图： y=
1x x
e
+≥1（x ≥0），
y ′=
1x
x e
-，当x ∈（0，1）时，y ′＞0，函数是增函数，x ∈（1，+∞）时，y ′＜0，函数是减函数， x=1时，函数取得最大值：1
1e
+，
当1＜a ﹣211e <+时，即a ∈（3，3+1
e ）时，y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有4个零点，
当a ﹣2=1+1e 时，即a=3+1
e 时则y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，
当a ＞3+1
e 时，y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有1个零点
当a=1+1
e 时，则y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，
当11{ 21
a e a >+-≤时，即a ∈（1+1e
，3）时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点．
综上a ∈11[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
，
），函数有3个零点． 故答案为：11[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
，
）． 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 16．【答案】 ＞
【解析】解：∵y=3x
是增函数，
又0.8＞0.7，
∴30.8＞30.7．
故答案为：＞
【点评】本题考查对数函数、指数函数的性质和应用，是基础题．
17．【答案】
．
【解析】
解：不等式
，
x2﹣8x+20＞0恒成立
可得知：mx2+2（m+1）x+9x+4＜0在x∈R上恒成立．
显然m＜0时只需△=4（m+1）2﹣4m（9m+4）＜0，
解得：m＜﹣或m＞
所以m＜﹣
故答案为：
18．【答案】9．
【解析】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，
∵p＞0，q＞0，
可得a＞0，b＞0，
又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，
可得①或②．
解①得：；解②得：．
∴p=a+b=5，q=1×4=4，
则p+q=9．
故答案为：9．
三、解答题
19．【答案】
①②③
【解析】解：①当a=7时，|PM|+|PN|≥|MN|=14＞10，因此坐标平面内不存在黄金直线；
②当a=5时，|PM|+|PN|=10=|MN|，因此线段MN上的点都满足上式，因此坐标平面内有无数条黄金直线，正确；
③当a=3时，|PM|+|PN|=10＞6=|MN|，黄金点的轨迹是个椭圆，正确；
④当a=0时，点M与N重合为（0，0），|PM|+|PN|=10=2|PM|，点P在以原点为圆心、5为半径的圆上，因此坐标平面内有且无数条黄金直线．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了新定义“黄金直线”、“黄金点”、椭圆的定义、圆的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴=﹣=，
比较系数得：c=﹣c，∴c=0，
∴f（x）==x+；
（Ⅱ）∵f（x）=x+，∴f′（x）=1﹣，
当x∈[2，+∞）时，1﹣＞0，
∴函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴f（x）min=f（2）=．
【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）a1=S1=1+c，a2=S2﹣S1=3，a3=S3﹣S2=5﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
因为等差数列{a n}，所以2a2=a1+a3得c=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
∴a1=1，d=2，a n=2n﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）a2=3，a1+b1=2∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12
分）
【点评】本题主要考查等差数列的定义及数列求和的方法，考查学生的运算求解能力，属中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=0，a6+a8=10．
∴，解得，
∴a n﹣1+（n﹣1）=n﹣2．
（2）=．
∴数列{}的前n项和S n=﹣1+0+++…+，
=+0++…++，
∴=﹣1++…+﹣=﹣2+﹣=，
∴S n=．
23．【答案】
【解析】
解：（1）因为不等式的解集为或
所以，是方程的两个解
所以，解得
（2）由（1）知原不等式为，即，当时，不等式解集为
当时，不等式解集为;
当时，不等式解集为;
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，
由a2=3，a5=81，得
，解得．
∴；
（Ⅱ）∵，b n=log3a n，
∴．
则数列{b n}的首项为b1=0，
由b n﹣b n﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2），
可知数列{b n}是以1为公差的等差数列．
∴．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是基础的计算题．。