三维悬链线大位移井的井眼曲率公式

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科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald
在大位移井轨道设计的各种不同方法中,悬链线型轨道可以减小钻柱的摩阻、改善钻柱的受力情况,在钻井实践中显示出了其优越性。

经典的悬链线轨道是二维的,为了适应地层方位漂移等复杂地质情况,最近又提出了三维悬链线轨道设计的新方
法P [1]。

但是文献[1]并没有给出悬链线井段上任意点的井眼曲率正确的计算公式,这给实际应用造成了一定的困难。

本文使用微分几何学中计算三维曲线曲率的一般方法推导出了三维悬链线井段的井眼曲率公式。

约定:除非特别说明,本文公式中具有长度量纲的参数其单位为m,角度的单位为rad,井眼曲率、方位角变化率、井斜角变化率等参数的单位为rad/m。

1 悬链线井段的关键方程
文献[1]给出了悬链线井段上任意点井斜角和方位角方程:
a
L b
tan 11tan (1)
L k b (2)式中, 为井斜角；b L L L ,L 为
井深；a 为悬链线的特征参数,m；
为方位角；k 为方位角变化率；
参数的下脚标b 表示对应参数是井段开始点处的参数。

井眼轨道上任意点坐标变化率如下[2]: cos sin x (3) sin sin y (4) cos z (5)式中,x 为北坐标；y 为东坐标；z 为垂深。

而坐标都是弧长(井深L)的函数,因此使用微分几何学中的标准符号x 来表示坐标x 对井深L的一阶导数,x 来表示坐标x 对井深L的二阶导数,以此类推。

2 坐标的二阶导数
为了求出井眼曲线的曲率,除了井身点坐标对井深L的一阶导数(3)～(5)之外,还需要求出坐标对L的二阶导数。

由于井斜角和方位角都是井深L的函数,而坐标也是井深L 的的函数,可以使用复合函数求导法。

为此先求出井斜角和方位角对井深L的导数。

使用复合函数求导法求x 坐标的二阶导数:
sin sin cos cos x (6)类似地可以求得:
cos sin sin cos y (7) sin z (8)于是有:
2
22)()()(z y x 222sin )()( (9)
3 井眼曲率的计算公式
从式(1)得:
)cot (cot b b a L L (10)于是有:
a
2sin
(11)从式(2)得:
k (12)根据以弧长为参数的空间曲线的曲率公式[3]
:
2
22)()()(z y x K 将式(9)和(11)～(12)代入上式,化简后得:
22)(sin sin ak a
K
(13)
式(13)就是悬链线井段上任意点处的
井眼曲率的解析计算公式。

4 数值算例
使用文献[1]中的算例数据:悬链线井段的特征参数为 a
3449.22m,垂深800～
1200m时的方位变化率为0.6(°)/30m,井斜角从45.96°变化到51.64°,井深从952.24m 变化到1558.76m。

每个30m 井深计算一个井身点的井眼曲率,计算结果见表1。

可见井眼轨道上井身点的井眼曲率是缓慢变化的,随着井斜角的增加而增加。

5 结论
根据微分几何学方法推导出了三维悬链线轨道上任意井身点处的井眼曲率计算公式,并用数值算例进行了验证。

本文公式可用于三维悬链线轨道设计完成后的井眼曲率计算。

参考文献
[1]刘修善.三维悬链线轨道的设计方法
[J].石油钻采工艺,2010,32(6):7-10.[2]鲁港,李晓光,单俊峰,等.平均井眼曲
率的计算[J].钻采工艺,2007,30(4):149～150,160.
[3]数学手册编写组.数学手册[M].北京:
人民教育出版社,1979:409.
三维悬链线大位移井的井眼曲率公式
王作启
(中国石油辽河油田公司兴隆台采油厂 辽宁盘锦 124010)
摘 要:使用微分几何学的标准方法推导了三维悬链线钻井轨道上任意点的井眼曲率的计算公式。

与行业标准中推荐使用的井段平均井眼曲率计算公式相比,本文公式在描述井眼曲率的变化情况时更精确。

关键词:钻井 井眼轨道 大位移井 悬链线 井眼曲率中图分类号:TE96文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2012)02(b)-0072-01
表1 井眼曲率计算结果数据表
井深(m )
井斜角(°) 井眼曲率(°/30m )
952.24 45.96 0.2575 982.24 46.22 0.2598 1012.24 46.48 0.2620 1042.24 46.74 0.2643 1072.24 47.01 0.2666 1102.24 47.28 0.2689 1132.24 47.55 0.2713 1162.24 47.82 0.2736 1192.24 48.10 0.2760 1222.24 48.37 0.2784 1252.24 48.65 0.2808 1282.24 48.93 0.2833 1312.24 49.22 0.2857 1342.24 49.50 0.2882 1372.24 49.80 0.2907 1402.24 50.08 0.2932 1432.24 50.38 0.2957 1462.24 50.68 0.2982 1492.24 50.98 0.3008 1522.24 51.28 0.3033 1552.24 51.58 0.3059 1558.76
51.65
0.3065
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