2020春沪科版九年级数学下册课件-第24章 圆-【教案】 圆周角与圆心角、弧的关系

圆周角与圆心角、弧的关系
一、知识讲解：
1．圆周角与圆心角的的概念：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。

3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。

4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。

5．圆的内接四边形对角之和是180度。

6．弧的度数就是圆心角的度数。

解题思路：
1．已知圆周角，可以利用圆周角求出圆心角
2．已知圆心角，可以利用圆心角求出圆周角
3．已知直径和弧度，可以求出圆周角与圆心角
1.圆周角与圆心角的定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

注意圆周角定义的两个基本特征：
(1)顶点在圆上；
(2)两边都和圆相交。

二、教学内容
【1】圆心角：顶点在圆心的角。

利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征：
练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．
【2】理解圆周角定理的证明
一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。

已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，
求证：∠BAC= 1/2∠BOC.
分析：通过图形的演示指导学生进一步去寻找圆心O与∠BAC的关系
本题有三种情况：
（1）圆心O在∠BAC的一边上 O
（2）圆心O在∠BAC的内部
（3）圆心O在∠BAC的外部 B D C
●如果圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角
形的性质即可证明
●如果圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将这个角转化为上述
情况的两个角的和或差即可
证明:
圆心O在∠BAC的一条边上 A
OA=OC==>∠C=∠BAC
∠BOC=∠BAC+∠C O
==>∠BAC=1/2∠BOC. B C
【3】圆周角与圆心角的关系
（1）．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。

（2）．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。

（3）．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。

（4）．圆的内接四边形对角之和是180度。

（5）．弧的度数就是圆心角的度数。

三、精讲精练
（一）选择、填空题：
1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对
2．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
3．下列说法正确的是（）
A．顶点在圆上的角是圆周角
B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍
D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
4．下列说法错误的是（）
A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
5．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD= ．
6．如图5，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．
7.⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（）．
A、30°
B、150°
C、30°或150°
D、60°
8.△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12，则
的度数为（）．
A、60°
B、80°
C、100°
D、120°
9.如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60°的角共有( )个．
A、3
B、4
C、5
D、6
10.如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为（）
A、70°
B、65°
C、60°
D、50°
11.圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5，那么这个三角形
内角的度数分别为__________．
（二）解答题
1．如图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作EF⊥BC，垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC 的长．
2．如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？
3.如图，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC
4. 如图，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E．（1）求证：△DOE是等边三角形；（2）如图3-3-14，若∠A=60°，AB≠AC，则①中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？
5. 如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．
6. 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD和AC的长．
7.如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求证：AC⊥OD；
（2）求OD的长；
（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．
8.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，如图3-3-15，求BD 的长．
9.如图1，AB 是半⊙O 的直径，过A 、B 两点作半⊙O 的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O 上C 点时，则有AC ·AC ＋BC ·BC=AB 2．
（1）如图2，若两弦交于点P 在半⊙O 内，则AP ·AC ＋BP ·BD=AB 2是否成立？请说明理由．
（2）如图3，若两弦AC 、BD 的延长线交于P 点，则AB 2= ．参照（1）填写
相应结论，并证明你填写结论的正确性．
10．如图8，⊙O 中，两条弦AB ⊥BC ，AB=6，BC=8，求⊙O 的半径．
11．如图9，AB 是⊙O 的直径，FB 交⊙O 于点G ，FD ⊥AB ，垂足为D ，FD 交AG 于E ．求证：EF ·DE=AE ·EG ．
12．如图，AB 是半圆的直径，AC 为弦，OD ⊥AB ，交AC 于点D ，垂足为O ，⊙O 的半径为4，OD=3，求CD 的长．
13．如图，⊙O 的弦AD ⊥BC ，垂足为E ，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且sin α=5
3
，
cos β=3
1
，AC=2，求（1）EC 的长；（2）AD 的长．
14．如图，在圆内接△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上一点． （1）求证：AB 2=AD ·AE ；
（2）当D 为BC 延长线上一点时，第（1）小题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
15．如图，已知BC 为半圆的直径，O 为圆心，D 是⌒
AC 的中点，四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点E ．
（1）求证：△ABE ∽△DBC ；
（2）已知BC=2
5
，CD=25，求sin ∠AEB 的值；
（3）在（2）的条件下，求弦AB 的长．
16．如图，已知AB 是O 的直径，AC 是弦，过点O 作OD AC ⊥于D ，连结BC ． （1）求证：1
2
OD BC =
； （2）若40BAC =∠，求ABC 的度数．
（图16）
四、小结：
1、圆周角与圆心角的概念
2、圆心角与圆周角的大小关系。