西藏拉萨中学2020届高三数学上学期第四次月考试题文

西藏拉萨中学2020届高三数学上学期第四次月考试题 文
（满分：150分，考试时间：120分钟。

请将答案填写在答题卡上）
一、选择题（每题5分，共60分）
1.已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2
≤1}，则A ∩B ＝（ ）
A ．{﹣1，0，1}
B ．{0，1}
C ．{﹣1，1}
D ．{0，1，2} 2.“x y =”是“||||x y =”的（ ）条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要 3.抛物线2
18
y x =
的准线方程是（） A. 12y = B. 2y =- C. 132
x =
D. 132
y =
4.在ABC ∆中，角A ，B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，2a bc =，则sin sin B C =（ ）
A.
1
2
B.
3 C.
35
D.
34
5在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1AD 所成角的大小为（ ）
A.30︒
B. 45︒
C. 60︒
D. 90︒ 6.已知函数13()sin 224f x x x =
-，则()f x 的最小正周期和最大值分别为（ ） A.1,4
π
B.1,
2
π
C.13
2π- D.32π
7.已知双曲线的渐近线为2
y x =，实轴长为4，则该双曲线的方程为（ ）
A. 22142x y -=
B. 22142x y -=或22148
y x -=
C. 221168x y -=
D. 221168x y -=或22
11632
y x -=
8.已知平面向量a r ，b r 满足1||||13
a b ==r
r ，且|2|||a b a b +=+r r r r ，则a r 与b r 的夹角为（ ）
A.6π
B.3π
C.23π
D.56π
9..过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点1F 做x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为其右焦点，
若1230F F P ∠=o
，则椭圆的离心率为（ ）
A.
2 B.
13
C.
12
D.
3 10.在三棱锥S ­ABC 中，已知SA ＝4，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝2π
3，若S ，A ，B ，C 四点均在球O 的球面上，且SA 恰为球O 的直径，则三棱锥S ­ABC 的体积为( )
A.312
B.14
C.12
D.34
11.函数y 的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12.已知函数()21
6,4
2,4
x x x x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩若存在实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，其中c b a >>，则()()a b f c +的取值范围是（ ）
A ．24,36（）
B ．48,54（）
C ．24,27（）
D ．()48,+∞
二、填空题（共计20分）
13.已知点(1,2)M 在抛物线2
:2(0)C y px p =>上，则点M 到抛物线C 的焦点的距离是______. 14. 设1i
2i 1i
z +=
+-，则z = ． 15.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 ______.
16.已知1F ，2F 是椭圆22
x y 143
+=的左右焦点，点M 的坐标为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则12F MF ∠的角平
分线所在直线的斜率为 . 三、解答题（共计70分）
17.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：1//BC 平面1A CD .
18.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin C cos B b ＋sin 2C
c
＝sin A .
（1）求b 的值；
B
A C
A 1
C 1
B 1
D
（2）若3sin B ＋cos B ＝2，求△ABC 的面积的最大值．
19.正项等差数列{a n }满足a 1＝4，且a 2，a 4＋2，2a 7－8成等比数列，{a n }的前n 项和为S n . （1）求数列{a n }的通项公式； （2）令b n ＝1
S n ＋2
，求数列{b n }的前n 项和T n .
20.已知椭圆2222 1 (0)x y C a b a b +=>>：的一个焦点为0)，离心率为3. 点P 为圆
22 13M x y +=：上任意一点，O 为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，证明：直线PB 与椭圆C 相切.
21.设函数f (x )＝a ln x －bx 2
(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切．
（1）求实数a ，b 的值；
（2）求函数f (x )在[1
e ，e]上的最大值．
22.已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. （1）求不等式f (x )≥1的解集；
（2）若不等式f (x )≥x 2
－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．
B
A C
A 1 C 1
B 1
D
O
文科参考答案
一 选择题
1-5 A A B D C 6-10 B B C D C 11-12 C B 二 填空题 13. 2 14. 3 15. 16. -2
17.（12分）(Ⅰ)证明：因为正三棱柱111ABC A B C -，D 为AB 的中点，
所以CD AB ⊥，1AA ⊥底面ABC . 又因为CD ⊂底面ABC ，
所以1AA CD ⊥. 又因为1AA AB A =I ，AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ， 所以CD ⊥平面11ABB A . (Ⅱ)证明：如图，连接1AC ，设1
1AC AC O =I ，连接OD ， 由正三棱柱111ABC A B C -，得1AO OC =， 又因为在1ABC ∆中，AD DB =， 所以1//OD BC ，
又因为1BC ⊄平面1A CD ，OD ⊂平面1A CD ， 所以1//BC 平面1A CD .
18.（12分）(1)因为2sin C cos B b ＋sin 2C
c
＝sin A ，
所以sin C cos B b ＋sin C cos C c ＝sin A 2，
由正弦定理可得c b cos B ＋cos C ＝a
2
，
所以a 2＋c 2－b 22ab ＋a 2＋b 2－c 22ab ＝a
2
，
所以2a 2
2ab ＝a
2
，故b ＝2.
(2)因为3sin B ＋cos B ＝2，所以sin(B ＋π
6)＝1.
因为B ∈(0，π)，所以B ＝
π3
. 因为b ＝2，b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ，
所以4≥2ac －ac ，所以ac ≤4， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝3
4
ac ≤3，
当且仅当a ＝c ＝2，即△ABC 为等边三角形时，S △ABC 有最大值，最大值为 3.
19.（12分）(1)设数列{a n }的公差为d (d >0)， 由已知得a 2(2a 7－8)＝(a 4＋2)2
，
化简得，d 2
＋4d －12＝0，解得d ＝2或d ＝－6(舍)， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋2. (2)因为S n ＝n a 1＋a n
2
＝
n 2n ＋6
2
＝n 2
＋3n ，
所以b n ＝1S n ＋2＝1n 2＋3n ＋2＝1n ＋1n ＋2
＝
1n ＋1－1n ＋2
， 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4.
20.（12分）（Ⅰ）解：由题意，知5c =，
53
c a
=
所以3a =，22
2b a c =-=，…………………3分
所以椭圆C 的标准方程为
22 1 9
4
x y +
=.
（Ⅱ）证明：由题意，点B 在圆M 上，且线段AB 为圆M 的直径，
所以PA PB ⊥. 当直线PA x ⊥轴时，易得直线PA 的方程为3x =±， 由题意，得直线PB 的方程为2y =±，
显然直线PB 与椭圆C 相切. 同理当直线//PA x 轴时，直线PB 也与椭圆C 相切. 当直线PA 与x 轴既不平行也不垂直时，
设点00(),P x y ，直线PA 的斜率为k ，则0k ≠，直线PB 的斜率1k
-，
所以直线PA ：00()y y k x x -=-，直线PB ：00()1
y y x x k
-=-
-， 由0022(),1,94
y y k x x x y -=-+
=⎧⎪
⎨⎪⎩消去y ，
得222
0000(94)18()9()360k x y kx kx y kx ++-+--=.
因为直线PA 与椭圆C 相切，
所以22210000[18()]4(94)[9()36]0y kx k k y kx ∆=--+--=，
整理，得22210
000144[(9)24]0x k x y k y ∆=---+-=. （1） 同理，由直线PB 与椭圆C 的方程联立，
得2
2
20000211144[(9)
24]x x y y k k
∆=--++-.（2） 因为点P 为圆2
2
13M x y +=：
上任意一点， 所以220013x y +=，即22
0013y x =-.
代入（1）式，得222
0000(9)2(9)0x k x y k x --+-=，
代入（2）式，得22
2200002144[(9)2(4)]x x y k y k k
∆=-
-++- 222
00002
144[(9)2(9)]x x y k x k k =-
-++- 22200002144[(9)2(9)]x k x y k x k =--+- 0=.
所以此时直线PB 与椭圆C 相切.
综上，直线PB 与椭圆C 相切.
21.（12分）解：(1)f ′(x )＝a x
－2bx ， 因为函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－1
2
相切，
所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝a －2b ＝0，f （1）＝－b ＝－1
2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12
.
(2)由(1)知，f (x )＝ln x －12x 2
，
f ′(x )＝1x －x ＝1－x
2
x
，
当1
e ≤x ≤e 时，令
f ′(x )>0， 得1
e
≤x <1， 令f ′(x )<0，得1<x ≤e ，
所以f (x )在[1
e ，1)上单调递增；在(1，e]上单调递减，
所以f (x )max ＝f (1)＝－1
2.
22.（10分）(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x >2.
当x <－1时，f (x )≥1无解；
当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1得，2x －1≥1解得1≤x ≤2； 当x >2时，由f (x )≥1解得x >2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．
(2)由f (x )≥x 2
－x ＋m 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2
＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2
＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2
＋|x |＝－(|x |－32)2＋54≤54
，
且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2
＋x ＝54.
故m 的取值范围为⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，54.。