高中数学 课时跟踪检测(二十一)复数代数形式的乘除运算 新人教A版选修22

课时跟踪检测(二十一) 复数代数形式的乘除运算
一、选择题
1．(辽宁高考)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z 等于( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i
D ．3－2i 解析：选A z ＝5
2－i
＋2i ＝
＋
－
＋
＋2i ＝2＋i ＋2i ＝2＋3i.
2．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z
z －1
等于( )
A ．2i
B ．－2i
C ．2
D ．－2
解析：选B 法一：因为z ＝1－i ，
所以z 2－2z z －1
＝
－
2
－－1－i －1
＝－2
－i
＝－2i. 法二：由已知得z －1＝－i ，而z 2－2z z －1＝z －2－1z －1＝－2
－1－i ＝2
i
＝－2i.
3．若i 为虚数单位，如下图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z
1＋i
的点是( )
A ．E
B ．F
C ．G
D ．H
解析：选D 由题图可得z ＝3＋i ，所以z 1＋i ＝3＋i
1＋i
＝
＋－＋
－
＝
4－2i
2
＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．
4．(安徽高考)设i 是虚数单位， z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z 等于( )
A ．1＋I
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i
解析：选A 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. 又∵z ·z i ＋2＝2z ，∴(a 2
＋b 2
)i ＋2＝2a ＋2b i ，
∴a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i. 5．已知复数z ＝3＋i －3
2
，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( )
A.14
B.1
2 C ．1
D ．2 解析：选A ∵z ＝
3＋i
－32
＝－3i 2
＋i －3
2
＝－3－3
2
＝i 1－3i
＝
＋34
＝－
34＋i
4
， ∴z ＝－
34－i 4
， ∴z ·z ＝1
4.
二、填空题
6．若z ＝－1－i 2
时，则z 2 014＋z 104
＝________.
解析：z 2
＝⎝
⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－i.
z 2 014＋z 104＝(－i)1 007＋(－i)52
＝(－i)
1 004
·(－i)3
＋1
＝1＋i. 答案：1＋i
7．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝5
1－3i
，则x ＋y ＝________.
解析：x 1－i ＋y 1－2i ＝
x
＋2
＋
y
＋5
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 5＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋2y 5i ， 而5
1－3i
＝＋10
＝12＋32i ，所以x 2＋y 5＝12且x 2＋2y 5＝3
2
，解得x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.
答案：4
8．设z 2＝z 1－i z －1(其中z －
1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．
解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝z 1－i z －
1＝a ＋b i －i(a －b i)＝(a －b )－(a －b )i.因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1.
答案：1
三、解答题 9．计算：(1)
＋
2
＋－
2＋i ；(2)
1－3i 3＋
2
.
解：(1)＋2
＋－
2＋i
＝
－3＋4i ＋3－3i
2＋i
＝i 2＋i
＝－5＝15＋25i. (2)
1－3i
3＋2
＝3＋
－
3＋2
＝
－i
3＋i
＝
－
3－4
＝－14－34
i.
10．已知z 1＝1－i ，z 2＝1－3i ，z 3＝1－2i ，且x z 1－5z 2＝y
z 3
.
(1)求实数x ，y 的值； (2)求z 1·z 2.
解：(1)由已知x z 1－5z 2＝y
z 3
，
得x
1－i －51－3i ＝y 1－2i
， 即
x －12＋x －3
2i ＝y 5＋2y 5
i. ∵x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x －12＝y
5，
x －32＝2y
5，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，
y ＝－5.
(2)由(1)知z 1＝1＋i ，z 2＝1＋3i ， 则z 1·z 2＝(1＋i)(1＋3i) ＝1＋4i ＋3i 2
＝－2＋4i.。