数学一轮(理科) 浙江专用 配套同课异构多媒体实用课

第4讲直线、平面垂直的判定与性质
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是
() A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥βD．AC⊥β
解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.
答案 D
2．设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是
() A．过a一定存在平面β，使得β∥α
B．过a一定存在平面β，使得β⊥α
C．在平面α内一定不存在直线b，使得a⊥b
D．在平面α内一定不存在直线b，使得a∥b
解析当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故A错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，故选B；平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必然垂直于直线a，故C错误；当a与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故D错误．
答案 B
3.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△
ABC所在平面，那么
()
A．P A＝PB＞PC
B．P A＝PB＜PC
C．P A＝PB＝PC
D．P A≠PB≠PC
解析∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，
∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，
∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，
故P A＝PB＝PC.
答案 C
4．(2015·嘉兴质量检测)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是
() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β
解析A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不正确；C中，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；D中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．
答案 C
5.(2015·深圳调研)如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，
则下列正确的是
()
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
解析因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC ⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C.
答案 C
二、填空题
6.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是
点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；
④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________．
解析由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.
又AC⊥BC，且P A∩AC＝A，
∴BC⊥平面P AC，∴BC⊥AF.
又∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，
∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确．
答案①②③
7．如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)．
解析∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
答案DM⊥PC(或BM⊥PC)
8．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．
解析假如①③④为条件，即m⊥n，n⊥β，m⊥α成立，过m上一点P作PB∥n，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过P A，PB的平面与α，β的交线l交于点C.因为l⊥P A，l⊥PB，所以l⊥平面P AB，
所以l⊥AC，l⊥BC.
所以∠ACB是二面角α－l－β的平面角．
由m⊥n，显然P A⊥PB，所以∠ACB＝90°，所以α⊥β.
由①③④⇒②成立．
反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立．
答案①③④⇒②(②③④⇒①)
三、解答题
9.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，
P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：
(1)P A⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面P AD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以P A ⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形．
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，
所以BE∥平面P AD.
(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知P A⊥底面ABCD.
所以P A⊥CD.又P A∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD.
从而CD⊥PD.
又E，F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.
故CD⊥EF，由EF，BE⊂平面BEF，且EF∩BE＝E.
所以CD⊥平面BEF.CD⊂平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
10.如图，四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，P A⊥底面
ABCD，且P A＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．
(1)求证：PB⊥DM；
(2)求CD与平面ADMN所成角的正弦值．
(1)证明∵P A⊥底面ABCD，
∴P A⊥AB，P A⊥AD，
∵N是PB的中点，且P A＝AB，
∴AN⊥PB.
∵AD⊥P A、AD⊥AB，P A∩AB＝A.
∴AD⊥平面P AB，
∴AD⊥PB，由条件知MN∥BC∥AD，
∴MN和AD在同一个平面内，从而PB⊥平面ADMN. 又∵DM⊂平面ADMN，∴PB⊥DM.
(2)解取AD的中点G，连接BG、NG，则BG∥CD，∴BG和CD与平面ADMN所成的角相等．
∵PB⊥平面ADMN，
∴∠BGN是BG与平面ADMN所成的角．
设P A＝AD＝AB＝2，则BG＝5，BN＝2，
∴在Rt△BGN中，sin ∠BGN＝BN
BG＝10 5.
即CD与平面ADMN所成角的正弦值为10 5.
能力提升题组(建议用时：35分钟)
11.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上
的射影H必在
()
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
解析由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．
答案 A
12．(2014·衡水中学模拟)如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.则以下命题中，错误的命题是
()
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH垂直于平面CB1D1
C．AH延长线经过点C1
D．直线AH和BB1所成角为45°
解析对于A，由于AA1＝AB＝AD，所以点A在平面A1BD上的射影必到点A1，B，D的距离相等，即点H是△A1BD的外心，而A1B＝A1D＝BD，故点H是△A1BD的垂心，命题A是真命题；对于B，由于B1D1∥BD，CD1∥A1B，故平面A1BD∥平面CB1D1，
而AH⊥平面A1BD，从而AH⊥平面CB1D1，命题B是真命题；对于C，由于AH⊥平面CB1D1，因此AH的延长线经过点C1，命题C是真命题；对于D，由C知直线AH即是直线AC1，又直线AA1∥BB1，因此直线AC1和BB1所成的角就等于直线AA1
＝2，因此命题D是假命题．与AC1所成的角，即∠A1AC1，而tan∠A1AC1＝2
1
答案 D
13．(2013·河南师大附中二模)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；
③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.
其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．
解析由P A⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得P A⊥AE，
又由正六边形的性质得AE⊥AB，P A∩AB＝A，得AE⊥平面P AB，又PB⊂平面P AB，∴AE⊥PB，①正确；又平面P AD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；
由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面P AD，∴BC∥平面P AD，∴直线BC∥平面P AE也不成立，③错；在Rt△P AD中，P A＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确．答案①④
14．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，AC＝22，P A ＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
(1)证明：PC⊥平面BED；
(2)设二面角A －PB －C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小． (1)证明 因为底面ABCD 为菱形， 所以BD ⊥AC .
又P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BD ，因为AC ∩P A ＝A ，所以BD ⊥平面P AC ，所以BD ⊥PC . 如图，
设AC ∩BD ＝F ，连接EF .
因为AC ＝22，P A ＝2，PE ＝2EC ， 故PC ＝23，EC ＝23
3，FC ＝2， 从而PC FC ＝6，AC
EC ＝ 6.
所以PC FC ＝AC
EC ，又∠FCE ＝∠PCA ， 所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠P AC ＝90°. 由此知PC ⊥EF .
又BD ∩EF ＝F ，所以PC ⊥平面BED .
(2)解 在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足． 因为二面角A －PB －C 为90°， 所以平面P AB ⊥平面PBC . 又平面P AB ∩平面PBC ＝PB ， 故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC .
因为BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直， 故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ， 所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2， PD ＝P A 2＋AD 2＝2 2. 设D 到平面PBC 的距离为d .
因为AD ∥BC ，且AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 故AD ∥平面PBC ，A ，D 两点到平面PBC 的距离相等， 即d ＝AG ＝ 2.
设PD 与平面PBC 所成的角为α，则sin α＝d PD ＝1
2. 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.
15．(2014·宁波期末)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别为CC 1与A 1B 的中点，E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心．
(1)求证：DE ∥平面ABC ；
(2)求A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值． (1)证明 如图，取AB 的中点F ，连接EF ，FC ， 由已知可得EF ∥A 1A ，EF ＝1
2A 1A . 又DC ∥A 1A ，DC ＝1
2A 1A ， ∴四边形DEFC 为平行四边形，
则ED ∥CF ，∵ED ⊄平面ABC ，FC ⊂平面ABC ， ∴ED ∥平面ABC . (2)解
如图，过点E 作EH ⊥DF 于H ，连接HB ，
⎭
⎬⎫CC 1⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ⇒CC 1⊥AB ， ⎭
⎬⎫AC ＝BC ，AF ＝FB ⇒AB ⊥CF ， 又CF ∩CD ＝C ，CF ，CD ⊂平面DEFC ，
∴AB ⊥平面DEFC .
又EH ⊂平面DEFC ，∴AB ⊥EH .
又EH ⊥DF ，DF ∩AB ＝F ，AB ，DF ⊂平面ABD ，
∴EH ⊥平面ABD .
∴点H 为△ABD 的重心，在Rt △DEF 中，EF 2
＝FH ·FD ＝13FD 2＝1. ∴FD ＝3，HF ＝33，EH ＝63，CF ＝2，FB ＝2，EB ＝3，则sin ∠EBH ＝EH EB ＝2
3，
∴A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为23.
16．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC .E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .
(1)证明P A ∥平面EDB ；
(2)证明PB ⊥平面EFD ；
(3)求二面角C －PB －D 的大小．
(1)证明 如图所示，
连接AC ，AC 交BD 于O ，连接EO .
∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点．
在△P AC中，EO是中位线，
∴P A∥EO.
而EO⊂平面EDB且P A⊄平面EDB，
∴P A∥平面EDB.
(2)证明∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，
∴PD⊥DC.∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形．而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①
同样，由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC.
∴BC⊥平面PDC.
而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②
由①和②且PC∩BC＝C可推得DE⊥平面PBC.
而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.
又EF⊥PB且DE∩EF＝E，
∴PB⊥平面EFD.
(3)解由(2)知，PB⊥DF.
故∠EFD是二面角C－PB－D的平面角．
由(2)知DE⊥EF，PD⊥DB.
设正方形ABCD的边长为a，
则PD＝DC＝a，BD＝2a，
PB＝PD2＋BD2＝3a，PC＝PD2＋DC2＝2a，
DE＝1
2PC＝
2
2a，
在Rt△PDB中，DF＝PD·BD
PB＝
a·2a
3a
＝
6
3a.
在Rt△EFD中，sin∠EFD＝DE
DF＝
3
2，
∴∠EFD＝60°.∴二面角C－PB－D的大小为60°.。