海淀一模文科数学试题及答案

海淀区2011年高三年级第二学期期中练习
数 学 （文科） 2011.4
选择题 （共40分）
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
要求的一项.
1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}
42≥∈=x x B R ，则=B A
A.
{}2 23x
x x ≤-≤<或 B. {}32<<x x C. {}32<≤x x D. R
2. 设0.5
323, log 2, cos
3
a b c π===，则
A. c b a <<
B. c a b <<
C. a b c <<
D. b c a << 3．函数1()x f x x
+=
图象的对称中心为
A ．(0,0) B.(0,1)
C. (1,0)
D. (1,1)
4. 执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出的x 值为
A. 25 B ．24 C. 23 D ．22
5.从集合{1,1,2}A =-中随机选取一个数记为k ，从集合{2,1,2}B =-中随
机选取一个数记为b ，则直线y kx b =+不经过第三象限的概率为 A ．
29
B.
13
C.
49
D.
59
6. 在同一个坐标系中画出函数,sin x
y a y ax ==的部分图象，其中01a a >≠且，则下列所给图象中可能正确的是
A
7. 已知函数22
1, 1,
()1, 1,
x ax x f x ax x x ⎧++≥⎪=⎨++<⎪⎩ 则“20a -≤≤”是“()f x 在R 上单调递增”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则l 与下列曲线一定有公共点的是 A ．2
2
(1)1x y -+= B ．．
2
2
12
x
y += C. 2y x = D ．22
1x y
-=
非选择题（共110分）
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
9. 计算
21i
=+__________________.
10. 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3,s 则它们的大小关系为 . （用“>”连接）
11. 如图，在正方体1111ABC D A B C D -中，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，则三棱锥P A B C -的主视图与左视图的面积的比值为_________.
12. 已知函数()x
f x xe =，则'()f x =________;函数()f x 图象在点(0,(0))f 处的切线方程为_______
13. 已知向量(,2),(1,)a x b y ==，其中,0x y ≥.若4≤ a b ，则y x -的取值范围为 .
P
D
C
B
A
1
A 1
D 1
B 1
C 左视
主视
乙
丙
甲
14．如图，线段A B =8，点C 在线段A B 上，且A C =2，P 为线段C B 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设C P =x ， △C PD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为________；()f x 的最大值为 ________.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. （本小题共13分）
在A B C ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，已知1tan 2
B =，1tan 3
C =
,且1c =.
(Ⅰ) 求tan()B C +； (Ⅱ) 求a 的值.
16. （本小题共13分）
数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）.
( I )求n S ；
( II ) 是否存在等比数列{}n b 满足112339, b a b a b a ===，？若存在，则求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，则说明理由.
17. （本小题共13分）
如图：梯形A B C D 和正△P A B 所在平面互相垂直，其中//,AB DC 12
A D C D A
B ==
，且O 为A B
中点.
( I ) 求证：//B C 平面P O D ； ( II ) 求证：A C ⊥PD .
A
C
P B
D
B
A
C
D
O
P
18. （本小题共14分）
已知函数1()ln (0,)f x a x a a x
=
+≠∈ R
（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；
(II) 若在区间[1,e]上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围.
19. （本小题共14分）
已知椭圆222
2
:
1x y C a
b
+
= (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为1
2
.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点. 求O 到直线距离的l 最小值.
20. （本小题共13分）
已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i = ， 设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j = ，12()100m g m b b b m =+++- (1,2,3).m = （Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g ； (II) 若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++= ，求函数)(m g 的最小值.
海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学（文）
答案及评分参考 2011．4
选择题 （共40分）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
非选择题 （共110分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）
9.1i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 1
12. (1)x
x e +， y x = 13. [4,2]-
14. (2,4) ，三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分） 解：（I ）因为1tan 2
B =
，1tan 3
C =
,tan tan tan()1tan tan B C B C B C
++=- …………………3分
代入得到，1123tan()111123
B C ++=
=-
⨯. …………………6分
（II ）因为180A B C =-- …………………7分 所以tan tan[180()]tan()1A B C B C =-+=-+=- …………………9分 又0180A << ，所以135A = . …………………10分
因为1tan 03C =
>，且0180C <<
，所以sin 10
C =
， …………………11分
由sin sin a c A
C
=
，得a =. …………………13分
16. （共13分）
解：（I ）因为12n n S S n -=+，所以有12n n S S n --=对2n ≥，*N n ∈成立 ………2分 即2n a n =对2n ≥成立，又1121a S ==⋅, 所以2n a n =对*N n ∈成立 …………………3分 所以12n n a a +-=对*N n ∈成立 ，所以{}n a 是等差数列， …………………4分 所以有2
12
n
n a a S n n n +=
⋅=+ ，*N n ∈ …………………6分
（II ）存在. …………………7分 由（I ），2n a n =，*N n ∈对成立
所以有396,18a a ==，又12a =， ………………9分 所以由 112339, b a b a b a ===，，则
231
2
3b b b b == …………………11分
所以存在以12b =为首项，公比为3的等比数列{}n b ，
其通项公式为1
23n n b -=⋅ . ………………13分
17. （共13分）
证明: (I) 因为O 为A B 中点， 所以1,2
B O A B =
…………………1分
又//,AB CD 12C D A B =
，
所以有,//,CD BO CD BO = …………………2分 所以O D C B 为平行四边形,所以//,BC OD …………………3分 又D O ⊂平面,POD B C ⊄平面,POD
所以//B C 平面P O D . …………………5分 (II)连接O C .
因为,//,CD BO AO CD AO ==所以A D C O 为
平行四边形， …………………6分 又AD C D =,所以A D C O 为菱形，
所以 A C D O ⊥， …………………7分 因为正三角形P A B ,O 为A B 中点，
所以P O A B ⊥ ， …………………8 分 又因为平面A B C D ⊥平面P A B ,平面A B C D 平面P A B A B = ，
所以P O ⊥平面A B C D ， …………………10分 而A C ⊂平面A B C D ，所以 P O A C ⊥，
又PO DO O = ，所以A C ⊥平面P O D . …………………12分 又PD ⊂平面P O D ，所以A C ⊥P D . …………………13分
18. （共14分） 解：（I ）因为2
2
1
1'()a ax f x x
x
x
-=-+
=
， …………………2分
当1a =， 2
1'()x f x x
-=
，
令'()0f x =，得 1x =，
…………………3分
B
A
C
D
O
P
B
A
C
D O
P
又()f x 的定义域为(0,)+∞，
()f x '()f x x
所以1x =时，()f x 的极小值为1 . …………………5分
()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)； …………………6分
（II ）解法一： 因为2
2
11'()a ax f x x
x
x -=-
+
=
，且0a ≠，
令'()0f x =，得到1x a
= ，
若在区间(0,]e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立，
其充要条件是()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0即可. …………………7分 （1）当10x a
=
<，即0a <时，'()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，
所以，()f x 在区间(0,]e 上单调递减， 故()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln f e a e a e
e
=
+=+，
由
10a e
+<，得1a e
<-，即1(,)a e
∈-∞- …………………9分
（2）当10x a =>，即0a >时，
① 若1e a
≤
，则'()0f x ≤对(0,]x e ∈成立，所以()f x 在区间(0,]e 上单调递减，
所以，()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln 0f e a e a e
e
=
+=
+>，
显然，()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0不成立 …………………11分
② 若10e a
<
<，即1a e >
时，则有
所以()f x 在区间(0,]e 上的最小值为()ln
f a a a
a
=+，
由11()ln
(1ln )0f a a a a a
a
=+=-<，
得 1ln 0a -<，解得a e >，即(,)a e ∈+∞. …………………13分 综上，由(1)（2）可知：1
(,)(,)a e e ∈-∞-+∞ 符合题意. …………………14分
解法二：若在区间(0,]e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立， 即
00
1ln 0a x x +<，
因为00x >, 所以，只需001ln 0ax x +< …………………7分 令()1ln g x ax x =+，只要()1ln g x ax x =+在区间(0,]e 上的最小值小于0即可
因为'()ln (ln 1)g x a x a a x =+=+， 令'()(ln 1)0g x a x =+=，得1x e
= …………………9分
（1）当0a <时：
因为(0,)x e
∈时，()1ln 0g x ax x =+>，而()1ln 1g e ae e ae =+=+， 只要10ae +<，得1a e
<-，即1
(,)a e
∈-∞- …………………11分
所以，当 (0,]x e ∈时，()g x 极小值即最小值为1()1ln 1a g a e
e e e
=+⋅
=-
，
由10a e
-
<， 得 a e >，即(,)a e ∈+∞. …………………13分
综上，由(1)（2）可知，有1(,)(,)a e e
∈-∞-
+∞ . …………………14分
19. （共14分） 解：（Ⅰ）由已知，22
2
2
14
a b e a
-=
=
，所以2234a b =， ① …………………1分
又点3(1,)2
M 在椭圆C 上，所以2
2
1914a
b
+
= ， ② …………………2分
由①②解之，得224,3a b ==.
故椭圆C 的方程为
2
2
14
3
x
y
+
=. …………………5分
(Ⅱ) 当直线l 有斜率时，设y kx m =+时，
则由22
,
1.4
3y kx m x y
=+⎧⎪⎨+=⎪
⎩
消去y 得，222(34)84120k x km x m +++-=， …………………6分
2
2
2
2
2
2
644(34)(412)48(34)0
k m k m k m ∆=-+-=+->，
③…………7分
设A 、B 、P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则： 012012122
2
86,()23434km m x x x y y y k x x m k
k
=+=-
=+=++=
++，
…………8分 由于点P 在椭圆C 上，所以
2
2
0014
3
x y +
=
. ……… 9分
从而
2222
2
2
2
16121(34)
(34)
k m
m
k k +
=++，化简得2
2
434m k =+，经检验满足③式.
………10分 又点O 到直线l 的距离为：
2
d =
=
=≥=
………11分
当且仅当0k =时等号成立 …………12分
当直线l 无斜率时，由对称性知，点P 一定在x 轴上，
从而P 点为(2,0),(2,0)-，直线l 为1x =±，所以点O 到直线l 的距离为1 ……13分
所以点O 到直线l 2
……14分
20. （共13分）
解: (I) 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =， 所以123440,70,90,100b b b b ====，
所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=- . …………………3分 (II) 一方面，1(1)()100m g m g m b ++-=-，
根据j b 的含义知1100m b +≤，
故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ， ① …………………5分 当且仅当1100m b +=时取等号.
因为123100,,,,a a a a 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100m b =， 所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>>===
即当149m <<时，有()(1)g m g m >+； 当49m ≥时，有()(1)g m g m =+ . …………………7分 （III ）设M 为{}12100,,,a a a 中的最大值.
由（II ）可以知道，()g m 的最小值为()g M . 下面计算()g M 的值.
123()100M g M b b b b M =++++-
1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++-
233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++-
12312(23)()M M k k k M k k k k =-++++++++ 123100()M a a a a b =-+++++ 123100()100
a a a a =-+++++ ，
∵123100200a a a a ++++= ， ∴()100g M =-，
∴()g m 最小值为100 . …………………13分
说明：其它正确解法按相应步骤给分.。