第12讲幂函数与二次函数

第十二讲：幂函数与二次函数
1. 了解幂函数的概念；结合函数12
3
2
1,,,,y x
y x y x y x y x
=====的图像，了解它们的变化情况。

（1）幂函数的定义：一般地，形如 函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。

（2
2、二次函数的三种表达形式
(1)()=f x 一般式：
(2)()(,),()=
f x k h f x 顶点式：若二次函数的顶点坐标为则其解析式为
12(3)(,0),(,0),()=
x x x f x 零点式：若二次函数图象与轴的交点坐标为则其解析式为3
二、课前小测
1．下列函数中是幂函数的是( )．
A ．y ＝2x 2
B ．y ＝1x 2
C ．y ＝x 2＋x
D ．y ＝－1
x
2．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的范围是( )．
A ．f (1)≥25
B ．f (1)＝25
C ．f (1)≤25
D ．f (1)＞25
3．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )． A ．(－1,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－2,2) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 4．函数13
y x =的图象是( )．
5．二次函数y ＝f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )(x ∈R )且f (x )＝0有两个实根x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________.
1,(1)1,()8f f x =--=-且的最大值为，试确定此二次函数的解析式。

点评：求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同。

【变式迁移】
21.(0)(3,0),1,2,.
y ax bx c a x A x M x =++≠-=-已知二次函数的图象与轴相交于点对称轴为顶点到轴的距离为求此函数的解析式
题型2：幂函数的图像及性质
例2、（1）幂函数()y f x =的图像经过点3（3，）
，则()f x 是（ ） A. 偶函数，且在∞（0,+）上是增函数
B. 偶函数，且在∞（0,+）上是减函数
C. 奇函数，且在∞（0,+）上是减函数
D. 非奇非偶函数，且在∞（0,+）上是增函数
221
33
3111(),(),(),,,252
....a b c a b c A a b c B c a b C b c a D b a c
===<<<<<<<<（2）若则的大小关系是（
）
点评：在比较幂值时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较。

题型3：二次函数的图像与性质
23:[]().2.0.0.0
f x ax bx c Ab a B a b c C a b c D abc =++=-++<-+><例多选二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（）
点评：识别二次函数图像应学会“三看” （1.二次项系数2.对称轴3.特殊点）
224:()(3)1[1,).[3,0).(,3].[2,0).[3,0]
()(3)1[1,)f x ax a x a A B C D f x ax a x a =+-+-+∞--∞---=+-+-+∞=
例函数在区间上是递减的，则实数的取值范围是（）变式：若函数的单调递减区间是，则
【课堂小结】本节课你收获了什么
【课后作业】
1、 若幂函数()f x 的图象过点2
(2,
)2，则(4)f =( ) A 、16 B 、2 C 、12 D 、1
16
2.如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±1
2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )．
A ．－2，－12，12，2
B ．2，12，－1
2，－2 B ．C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－1
2
3.已知f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a ＜b )，m ，n 是f (x )的零点，且m ＜n ，则a ，b ，m ，n 从小到大的顺序是________．
4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2
5．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.
2.()3
(1),()(2)[2,2]()f x x ax x R f x a a x f x a a =++∈≥∈-≥6已知函数当时恒成立，求的取值范围。

当时，恒成立，求的范围。