数学竞赛之平面几何

A B C E F D
证明：如图，设四条直 线AB、BC、CD、AD中， AB交CD于点E，BC交AD于点F， 圆BCE与圆CDF的另一个交点为 G BGF BGC CGF BEC CDA BGF A 180，即圆ABF过点G 同理圆AED也过点G 圆BCE、圆CDF、圆ABF、圆AED交于同一点G 若点G向AB、BC、CD、DA所作垂线的垂足分别为 E、L、M、N、P， 由西姆松定理可知 L、M、N在一条直线上， M、N、P在一条直线上， 故L、M、N、P在同一条直线上
第一部分【几个著名定理】 1．梅涅劳斯（ Menelauss）定理 设 ABC 的边 AB，BC，CA 或其延长线分别交于点 P, Q, R ，且 有奇数个点在边的延长线上（如图）则 P，Q，R 三点共线的充要条 件是：
AP BQ CR 1。 PB QC RA
2.塞瓦定理： 设P、Q、R分别是ABC的BC、CA、AB边上的点， 且有偶数个点在延长线 上， BP CQ AR 则AP、BQ、CR三线共点的充要条件是 : 1 PC QA RB
证明：观察三角形 C1 B1O，可以看出，K、B2 、C2 分别在 C1B1、B1O 、OC1 或其延长线上，且 B2、K、C2 三点共线， 根据梅涅劳斯定理可得：
C1 K B1 B2 OC2 1 KB1 B2 O C 2 C1
同理：观察三角形 OB1 A1，根据梅涅劳斯定理可得：
A1 L B1 B2 OA2 1 LB1 B2 O A2 A1
第二部分【三角形五心研究】 一些重要结论： 一、外心： （1）O 为三角形外心的充要条件： ∠BOC＝2∠ A，∠BOA＝2∠C，∠AOC＝2∠B （钝角三角形中为：∠BOC＝360°-2∠ A，角 A 为钝角，如下右图） ； 或 OA=OB=OC；
A D A
B O
C
O B D C
（2）外心与顶点的连线与其中一边的夹角与该边所对的角互余（如上 左图） ，即∠OBC+∠A＝90°
观察三角形 OA1C1，根据梅涅劳斯定理可得：
C1 M A1 A2 OC2 1 MA1 A2 O C 2 C1
以上三式相乘得：
C1 K B1 L A1 M 1 KB1 LA1 MC1
可以看到，在三角形 B1 A1C1 中，L、K、M 分别在 A1B1 、 B1C1、C1 A1 或其延长线上，根据梅氏定理的逆定理，可判 断 L、K、M 共线。
A
I
B
C
A'
（3）设 I 为△ABC 的内心，BC=a，AC=b， AB=c， ∠ A 的平分线交 BC 于 K， 交△ABC 的外接圆于点 D， 则 AI AD DI b c KI DI DK a
A
O
B K D
I
C
（ 4 ） △DEF 为 切 点 三 角 形 ， 则 AD=AF=p-a ， BD=BF=p-b， CE=CF=p-c
A R B P Q C
A P
B R
C Q
3.托勒密定理： 定理：四边形 ABCD 中，有： AB· CD+AD· BC AC· BD 并当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时，等号成立。
A D
B
C
4.西姆松定理： P 是 ΔABC 的外接圆⊙O 上的 任意一点， PE⊥ AB， PD ⊥BC， PF⊥ CA，垂 足为 E、D、 F，则 E、D、F 三点共线． 西姆松的逆定理：从一点 P 向 ABC 的三边（或延
例３ .求证四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆 相交于一点， 且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直 线上 已知：四条直线ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ中，ＡＢ交ＣＤ于 点Ｅ，ＢＣ交ＡＤ于点Ｆ 求证： ADE ， ABF ， BCE ， CDF 的外接圆相交于一 点，且该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上。
C

例 2．如图，设圆 O 是△ABC 的内切圆，BC，CA， AB 上的切点各是 D ，E，F，射线 DO 交 EF 于 A’，同样可得 B’，C’，试证：直线 AA’， BB’，CC’共点。
A F B' B D A' O C'
E C
证明：连结 A’B，A’C，易知 B、D 、O 、F 及 C 、D、 O、E 分别四点共圆。 得：∠A’O F=∠B，∠A’O E=∠C A' F OA' OA' A' E 由 = = = sin A' OF sin OFA ' sin OEA ' sin A' OE A' F sin A' OF sin B AC 由 = = = A' E sin A' OE sin C AB 从而 AB A' F = AC A' E ，又∠AFE= ∠AEF 1 故 S△ABA’= sin AFE AB A' F 2 1 = sin AEF AC A' E =S△ACA’ 2 由此式可知直线 AA’ 必平分 BC 边，即 AA’必过△ ABC 的重心 同理 BB’，CC‘必过△ ABC 的重心，故结论成立。
1 1 AM AD sin AD AN sin( ) 2 2
1 = AD[ AF cos( ) sin AF cos sin( ) 2 1 AF AD BC = AD AF sin( 2 ) 2 4R 1 1 S ABC AB AF sin( ) AC AF sin 2 2 AF ( AB CD AC BD ) 4R 由托勒密定理可知： AB CD AC BD AD BC ，故结论 成立。
BH AB cos B AC cos B 所以 HG AE cos C AD cos C BH AC DM AB DM AB 即 HG AD MG AC MG AD BH GM DA 1 故 HG MD AB 对△BDG 应用梅氏定理逆定理，知 H ，M， A 三点共线 由 AH⊥BC，故 AM⊥BC
HA HB HC 2R 则 | cos A | | cos B | | cosC |
B
D H'
C
四、内心 三角形内切圆的圆心，简称为内心（三角平分线的交 点） 。性质： 1 （1）张角公式∠BIC＝90º＋ ∠ A； 2 （2）设 I 为△ABC 的内心，射线 AI 交△ABC 外接圆于 A′，则有 A ′I=A′B=A′C.换言之，点 A′必是△IBC 之外心(内 心的等量关系之逆同样有用).
长线）作垂线，若其垂足 L， M，N 在同一直线上， 则点 P 在 ABC 的外接圆上。
例1．以△ABC 的底边 BC 为直径作半圆， 分别与 AB、 AC 交于点 D 和 E， 分别过 D 、 E 作 BC 的垂线，垂足依次为 F、G，线段 DG 和 EF 交于点 M ，求证： AM⊥BC （IMO-37国家队选拔题）
例 4．若两个三角形的对应顶点的连线交于一点，则对应边 所在的直线交点必共线。（笛沙格定理）
K
已知： 若△A1B1C1 与△ A2B2C2 的对应顶点连线 A1 A2、 B1 B2、 C1C2 相交于一点 O，则对应边 B1C1 与 B2C2 的交点 K、C1A1 与 C2 A2 的交点 L、A1B1 与 A2B2 的交点 M 共线。
而 DF⊥BC，则 MH⊥BC，故 AM⊥BC
证法二：作高 AH ，连 BE， CD，则∠BEC=∠BDC= 90 0 于是 DF BD sin B BC cos B sin B ， EG BC cos C sin C DF DM sin B cos B AC cos B 所以 EG MG sin C cos C AB cos C 又 BH AB cosB, HG AE cosC
CD BC FC ， BE BC BG
2 2
A
D E M B F H G C
CF CD 2 FH CD 2 AE BD 即 ，代入上式得 HG BE 2 CE AD BG BE 2
又 ABE∽ACD，有
AD CD 代入上式得 AE BE
FH CD BD S DBC DF DM = = ，从而 MH//DF， HG BE CE S EBC EG MG
例 2. 如图，在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、 F， 满足∠BAE=∠CAF，作 FM⊥AB， FN⊥ AC（M、N 是垂 足） ，延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D ． 证明：四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等．
A M N B D E F C
证明：设∠BAE=∠CAF= ，∠EAF= 则 S AMDN
分析：由已知可得 MP′= MP=MB， A P' NP′=NP=NC， N 故点 M 是△P′BP 的外心，点 N 是△P′PC 的外心。 M 1 1 B P 有∠BP′P= ∠BMP= ∠BAC， 2 2 1 1 ∠ PP′C= ∠PNC= ∠BAC 。 2 2 ∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC= ∠BAC . ∴ P′点与 A，B， C 共圆、即 P′在△ABC 外接圆上. 由于 P′P 平分∠BP′C，显然还有 P′B:P′C=BP:PC.
五、旁心 1 1 （1）∠BIAC＝90º－ ∠A，∠BIBC＝∠BICC＝ ∠A 2 2 （2）设 AIA 的连线交△ABC 的外接圆于 D， 则 DIA＝DB＝DC A
I B C
D
IA
例 1．过等腰△ABC 底边 BC 上一点 P 引 PM∥CA 交 AB 于 M；引 PN ∥BA 交 AC 于 N.作点 P 关于 MN 的对称点 P′.试证：P′点在△ABC 外 接圆上.
二、重心 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心； 重心将每条中线都分成定比 2:1； 1 2 AC 2 2 AB 2 BC 2 中线长度公式 AD= 2 重心的性质：G 为△ABC 的重心， 1 2 2 2 则 GA ＋GB ＋GC ＝ （AB2 ＋BC2 ＋CA2） 3
三、垂心 三角形三条高的交点，称为三角形的垂心。由三角形的垂 心造成的四个等( 外接 ) 圆三角形，给我们解题提供了极大的便 利。 A 性质： （1）∠BHC＝180º－∠A＝∠B ＋ ∠C F （2）H 为垂心，则 H， A， B，C 四 E 点中任一点是其余三点为顶点的三角形 的垂心（称为一垂心组，且一垂心组的 H 四个外接圆的圆心组成另一个垂心组， B C D 与原垂心组全等。 ） （3 ） 设△ABC 的三条高线为 AD， BE， CF，其中 D，E， F 分别为垂足，H 为垂心，则对于 A，B，C， H，D，E，F 有六组四点共圆，有三组相似三角形，且 AH·HD ＝BH·HE＝CH·HF
A
M B C
证法一：设直线 AM 与 BC 交于 H，连结 BE，CD， 则知∠BEC=∠BDC= 900 ， 直线 FME 与△ACH 相截，直线 GMD 与 △ABH 相截，由梅氏定理得： AM HF CE AM HG BD 1， 1 MH FC EA MH GB DA FH CF AE BD 两式相除得 HG CE BG DA 在 Rt△DBC 与 Rt△EBC 中，有
例 3．设△ABC 的三条高线为 AD ，BE，CF，自 A， B，C 分别作 AK EF 于 K，BL DF 于 L， CN ED 于 N，证明：直线 AK，BL，CN 相 交于一点。
（4）O 是外心，H 是垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABO=∠ HBC （5）H 关于三边的对称点在△ABC 的外接圆上，关于三边中 点的对称点在△ ABC 的外接圆上 A （6）三角形任一顶点到垂心的距离 等于外心到对边的距离的 2 倍。 B' F （7）设△ABC 的垂心为 H，外接圆 O E 半径为 R， H