2021-2022年高考数学二轮复习小题限时练三理

2021年高考数学二轮复习小题限时练三理
1.设全集U＝{n|1≤n≤10，n∈N*}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A)∩B＝________.
解析由题意，得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，故∁U A＝{4，6，7，9，10}，所以(∁U A)∩B＝{7，9}.
答案{7，9}
2.不等式4
x－2
≤x－2的解集是________.
解析①当x－2＞0，即x＞2时，不等式可化为(x－2)2≥4，所以x≥4；
②当x－2＜0，即x＜2时，不等式可化为(x－2)2≤4，所以0≤x＜2.
答案[0，2)∪[4，＋∞)
3.已知直线l1：x＋(a－2)y－2＝0，l2：(a－2)x＋ay－1＝0，则“a＝－1”是“l1⊥l2”的________条件.
解析若a＝－1，则l1：x－3y－2＝0，l2：－3x－y－1＝0，显然两条直线垂直；若l1⊥l2，则(a－2)＋a(a－2)＝0，
所以a＝－1或a＝2，因此“a＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.
答案充分不必要
4.函数f(x)＝(x－3)e x的单调增区间是________.
解析因为f(x)＝(x－3)e x，则f′(x)＝e x(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2，所以f(x)的单调增区间为(2，＋∞).
答案(2，＋∞)
5.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π
6
，a ＝1，b ＝3，则角
B ＝________.
解析 由正弦定理得a
sin A ＝b
sin B
，
得sin B ＝
b sin A a ＝32，又因为A ＝π6，且b ＞a ，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6
，5π6，
所以B ＝π3或2π
3
.
答案
π3或2π3
6.执行如图所示的流程图，如果输入的t ∈[－2，2]，则输出的S 的取值范围为________.
解析 由流程图可知S 是分段函数求值，
且S ＝⎩
⎨⎧2t 2
－2，t ∈[－2，0），
t －3，t ∈[0，2]，
其值域为(－2，6]∪[－3，－1]＝[－3，6]. 答案 [－3，6]
7.若命题“∀x ∈R ，ax 2
－ax －2≤0”时真命题，则实数a 的取值范围是________.
解析 当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎨⎧a ＜0，
Δ＝a 2＋8a ≤0，
得－8≤a
＜0.综上－8≤a ≤0. 答案 [－8，0]
8.从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a ，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数b ，
则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为________.
解析 由题意可知m ＝(a ，b )有(2，1)，(2，3)(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种情况.因为m⊥n ，即m·n ＝0，所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ，
满足条件的有(3，3)，(5，5)，共2个.故所求的概率为1
6.
答案 16
9.已知正四棱锥底面边长为42，体积为32，则此正四棱锥的侧棱长为________. 解析 设正四棱锥的高为h ，底面正方形的边长为a ，
则a ＝42，V ＝13a 2
h ＝32，解得h ＝3，所以此正四棱锥的侧棱长为
h 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a 22＝
5. 答案 5
10.已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，且圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆
C 2的方程为________.
解析 C 1：(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝1的圆心为(－1，1)，所以它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案 (x －2)2＋(y ＋2)2＝1
11.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，7个剩余分数的方差为________.
8 9
7 7
4 0 1 0 x 9 1
解析 由题图可知去掉的两个数是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x ＝91×7，解得x ＝4，所以s 2＝1
7×[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2
×2]＝367
.
答案
367
12.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n ＞0，若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为________.
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a n ＞0得q ＞0，S n ＞0.又S 6－2S 3＝(a 4＋a 5＋
a 6)－(a 1＋a 2＋a 3)＝S 3q 3－S 3＝5，则S 3＝5
q 3－1
，由S 3＞0，得q 3＞1，则S 9－S 6＝a 7＋a 8
＋a 9＝S 3q 6
＝5q 6q 3－1＝51q 3－1q
6
，令1q 3＝t ，t ∈(0，1)，则1q 3－1q 6＝t －t 2
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14
∈
⎝ ⎛⎦⎥⎤
0，14，所以当t ＝12，即q 3＝2时，1q 3－1q 6取得最大值14，此时S 9－S 6取得最小值20.
答案 20
13.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，
x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.
若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不
唯一，则实数a 的值为________.
解析 法一 由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，
可知A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B ＞z C 或z A ＝z C ＞z B 或z B ＝z C ＞z A 即可， 解得a ＝－1或a ＝2.
法二 目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或
l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.
答案 －1或2
14.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x
＋m
2x ，设g (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x ＞1，
f （－x ），x ≤1，
若
函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________. 解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数可得f (0)＝1＋m ＝0， 解得m ＝－1，则f (x )＝2x
－12
x ，
f ′(x )＝2x ln 2＋
ln 2
2x
＞0，则f (x )在R 上是递增函数.函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点即函数y ＝g (x )，y ＝t 的图象只有一个交点，作出函数y ＝g (x )，
y ＝t 的图象如图所示，由图可知实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32.
答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，32。