高碑店市第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

高碑店市第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=2a ，a ∈M}，则集合M ∩N=（ ）
A ．{0}
B ．{0，﹣2}
C ．{﹣2，0，2}
D ．{0，2}
2． 已知在R 上可导的函数f （x ）的图象如图所示，则不等式f （x ）•f ′（x ）＜0的解集为（
）
A ．（﹣2，0）
B ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）
C ．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
D ．（﹣2，﹣1）∪（0，+∞）
3． 曲线y=
在点（1，﹣1）处的切线方程为（
）
A ．y=x ﹣2
B ．y=﹣3x+2
C ．y=2x ﹣3
D ．y=﹣2x+1
4． 将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ）
（A ）150种
（ B ） 180 种
（C ） 240 种
（D ） 540 种
5． 在中，，那么一定是（ ）
ABC ∆2
2
tan sin tan sin A B B A =A
A ABC ∆A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
6． 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足
=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（
）
A ．（0，1）
B ．（0，]
C ．（0，
）
D ．[
，1）
7． 已知点A （0，1），B （3，2），C （2，0），若＝2，则||为（ ）
AD → DB → CD
→
A ．1 B.4
3
C. D ．253
8． 在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A ．y=
B ．y=﹣x+
C ．y=﹣x|x|
D ．y=
9． 已知三棱锥A ﹣BCO ，OA 、OB 、OC 两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的
体积为（ ）
A
．B ．或
36+C ．36﹣D ．或36﹣
10．复数是虚数单位）的虚部为（ ）i i
i
z (21+=
A ．
B ．
C ．
D ．1-i -i 22
【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力．11．若直线上存在点满足约束条件
2y x =(,)x y 则实数的最大值为 30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
m A 、
B 、
C 、
D 、1-32
212．已知函数
，的()cos (0)f x x x ωωω=+>()y f x =图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是
2y =π()f x （
）
A ．
B ．
C ．
D ．12
x π
=-
12
x π
=
6
x π
=-
6
x π
=
二、填空题
13．已知点A 的坐标为（﹣1，0），点B 是圆心为C 的圆（x ﹣1）2+y 2=16上一动点，线段AB 的垂直平分线交BC 与点M ，则动点M 的轨迹方程为 ．
14．幂函数在区间上是增函数，则
．
1
22
2)33)(+-+-=
m m x m m x f （()+∞
,0=m 15．如图，在矩形中，，
ABCD AB = ， 在上，若，
3BC =E AC BE AC ⊥ 则的长=____________
ED 16．设x ∈（0
，π），则f （x ）=cos 2x+sinx 的最大值是 ．　
17．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的的值等于_________.
n 18．（本小题满分12分）点M （2pt ，
C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点，过M 作倾斜角互补的两直线l 1与l 2与C （1）求证：直线PQ 的斜率为－2t ；
（2）记拋物线的准线与y 轴的交点为T ，求t 的值．
三、解答题
19．记函数f （x ）=log 2（2x ﹣3）的定义域为集合N ．求：
（Ⅰ）集合M ，N ；
（Ⅱ）集合M ∩N ，∁R （M ∪N ）．
20．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．
如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于E ，过E 的切线与AC 交于D .
（1）求证：CD ＝DA ；
（2）若CE ＝1，AB ＝，求DE 的长．
221．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．点是棱的中点，平面P ABCD -ABCD 120ABC ∠=︒E PC ABE 与棱交于点．
PD F
（1）求证：；
//AB EF （2）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余2PA PD AD ===PAD ⊥ABCD PAF AFE 弦值．
【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面，直线与直线垂直的判定，二面角等基础知识，考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力，以及数形结合思想、化归与转化思想.
22．（本小题满分10分）选修：几何证明选讲
41-如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相PA O A P C B ,AP CD //BC AD ,交于点，为上一点，且．E F CE EC EF DE ⋅=2（Ⅰ）求证：；
P EDF ∠=
∠（Ⅱ）若，求的长．
2,3,2:3:===EF DE BE CE PA 【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
23．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】已知函数，
()2
ln f x ax x =+，，()21145ln 639f x x x x =
++()221
22
f x x ax =+a R ∈（1）求证：函数在点处的切线恒过定点，并求出定点的坐标；()f x ()(),e f e （2）若在区间上恒成立，求的取值范围；()()2f x f x <()1,+∞a （3）当时，求证：在区间上，满足恒成立的函数有无穷多个．（记2
3
a =
()0,+∞()()()12f x g x f x <<()g x ）
ln5 1.61,6 1.79ln ==
24．（本小题满分12分）已知分别是椭圆：的两个焦点，是椭圆上12,F F C 22
221(0)x y a b a b
+=>>P
成等差数列．
1122|,|||PF F F PF （1）求椭圆的标准方程；、
C （2）已知动直线过点，且与椭圆交于两点，试问轴上是否存在定点，使得l F C A B 、x Q 7
16
QA QB ⋅=-
恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
Q
高碑店市第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：N={x|x=2a ，a ∈M}={﹣2，0，2}，则M ∩N={0}，故选：A
【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合N 是解决本题的关键．　
2． 【答案】B
【解析】解：由f （x ）图象单调性可得f ′（x ）在（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）大于0，在（﹣1，0）上小于0，
∴f （x ）f ′（x ）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）．故选B ．　
3． 【答案】D 【解析】解：y ′=（）′=
，
∴k=y ′|x=1=﹣2．
l ：y+1=﹣2（x ﹣1），则y=﹣2x+1．故选：D
4． 【答案】A
【解析】人可以分为和两种结果，所以每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为
51,1,31,2,2种,故选A ．22333
535
3
32
2
150C C C A A A ⋅⋅+⋅=5． 【答案】D 【解析】
试题分析：在中，，化简得
，解得ABC ∆2
2
tan sin tan sin A B B A =A A 22sin sin sin sin cos cos A B
B A A B
=A ，即，所以或，即sin sin sin cos sin cos cos cos B A
A A
B B A B
=⇒=sin 2sin 2A B =22A B =22A B π=-A B =
或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D ．
2
A B π
+=
考点：三角形形状的判定．
【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出，从而得到或是试
sin 2sin 2A B =A B =2
A B π
+=题的一个难点，属于中档试题．6． 【答案】C
【解析】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a ，b ，c ，∵
=0，
∴M 点的轨迹是以原点O 为圆心，半焦距c 为半径的圆．又M 点总在椭圆内部，
∴该圆内含于椭圆，即c ＜b ，c 2＜b 2=a 2﹣c 2．
∴e 2=
＜，∴0＜e ＜
．
故选：C ．
【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．　
7． 【答案】
【解析】解析：选C.设D 点的坐标为D （x ，y ），∵A （0，1），B （3，2），＝2，AD → DB →
∴（x ，y －1）＝2（3－x ，2－y ）＝（6－2x ，4－2y ），
∴即x ＝2，y ＝，{
x ＝6－2x ，y －1＝4－2y )
53
∴＝（2，）－（2，0）＝（0，），CD → 5353
∴||＝＝，故选C.CD → 02＋（53）253
8． 【答案】C
【解析】解：A.在定义域内没有单调性，∴该选项错误； B.
时，y=
，x=1时，y=0；
∴该函数在定义域内不是减函数，∴该选项错误；C ．y=﹣x|x|的定义域为R ，且﹣（﹣x ）|﹣x|=x|x|=﹣（﹣x|x|）；∴该函数为奇函数；
；
∴该函数在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是减函数，且﹣02=02；∴该函数在定义域R 上为减函数，∴该选项正确； D.
；
∵﹣0+1＞﹣0﹣1；
∴该函数在定义域R 上不是减函数，∴该选项错误．故选：C ．
【点评】考查反比例函数的单调性，奇函数的定义及判断方法，减函数的定义，以及分段函数单调性的判断，二次函数的单调性．　
9． 【答案】D
【解析】
【分析】由于长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动（含边界），有空间想象能力可知MN 的中点P 的轨迹为以O 为球心，以1为半径的球体，故MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可．【解答】解：因为长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动（含边界）， 有空间想象能力可知MN 的中点P 的轨迹为以O 为球心，以1为半径的球体，则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：
或
．
故选D 10．【答案】A 【解析】，所以虚部为-1，故选A.()12(i)
122(i)
i i z i i i +-+===-- 11．【答案】B
【解析】如图，当直线经过函数的图象m x =x y 2=与直线的交点时，
03=-+y x 函数的图像仅有一个点在可行域内，x y 2=P 由，得，∴．
230
y x
x y =⎧⎨
+-=⎩)2,1(P 1≤m 12．【答案】D 【解析】
25
41
5
4
2
试题分析：由已知，，所以，则，令 ()2sin()6
f x x π
ω=+
T π=22π
ωπ=
=()2sin(26
f x x π
=+，得，可知D 正确．故选D ．
2,62x k k Z ππ
π+
=+
∈,26
k x k Z ππ
=
+∈考点：三角函数的对称性．()sin()f x A x ωϕ=+二、填空题
13．【答案】
=1
【解析】解：由题意得，圆心C （1，0），半径等于4，
连接MA ，则|MA|=|MB|，
∴|MC|+|MA|=|MC|+|MB|=|BC|=4＞|AC|=2，
故点M 的轨迹是：以A 、C 为焦点的椭圆，2a=4，即有a=2，c=1，
∴b=
，
∴椭圆的方程为=1．故答案为：
=1．【点评】本题考查用定义法求点的轨迹方程，考查学生转化问题的能力，属于中档题．　
14．【答案】【解析】
【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：（1）若幂
函数是偶函数，则必为偶数．当是分数时，一般将其先化为根式，再判断；（2）若幂函
()y x
R α
α=∈αα数在上单调递增，则，若在上单调递减，则；（3）在比较幂值
()y x R α
α=∈()0,+∞α0>()0,+∞0α<的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 1
15．【答案】
21
2
【解析】在Rt △ABC 中，BC ＝3，AB ＝，所以∠BAC ＝60°.
3因为BE ⊥AC ，AB ＝，所以AE ＝，在△EAD 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3，由余弦定理知，ED 2＝AE 2＋AD 2－
33
2
2AE ·AD ·cos ∠EAD ＝＋9－2××3×＝，故ED ＝.343232214
21216．【答案】 ．
【解析】解：∵f （x ）=cos 2x+sinx=1﹣sin 2x+sinx=﹣
+，
故当sinx=时，函数f （x ）取得最大值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的最值，二次函数的性质，属于基础题．
17．【答案】
6【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．第1次运行后，；第2次运行后，9,2,2,S T n S T ===>；第3次运行后，；第4次运行后，13,4,3,S T n S T ===>17,8,4,S T n S T ===>；第5次运行后，，此时跳出循环，输出结果21,16,5,S T n S T ===>25,32,6,S T n S T ===<6n =程序结束．
18．【答案】
【解析】解：（1）证明：l 1的斜率显然存在，设为k ，其方程为y －2pt 2＝k （x －2pt ）．①
将①与拋物线x 2＝2py 联立得，
x 2－2pkx ＋4p 2t （k －t ）＝0，
解得x 1＝2pt ，x 2＝2p （k －t ），将x 2＝2p （k －t ）代入x 2＝2py 得y 2＝2p （k －t ）2，∴P 点的坐标为（2p （k －t ），2p （k －t ）2）．
由于l 1与l 2的倾斜角互补，∴点Q 的坐标为（2p （－k －t ），2p （－k －t ）2），
∴k PQ ＝＝－2t ，2p （－k －t ）2－2p （k －t ）22p （－k －t ）－2p （k －t ）即直线PQ 的斜率为－2t .
（2）由y ＝得y ′＝，x 2
2p x p
∴拋物线C 在M （2pt ，2pt 2）处的切线斜率为k ＝＝2t .2pt p
其切线方程为y －2pt 2＝2t （x －2pt ），又C 的准线与y 轴的交点T 的坐标为（0，
－）．p 2
∴－－2pt 2＝2t （－2pt ）．p 2
解得t ＝±，即t 的值为±.1212三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由2x ﹣3＞0 得 x ＞，∴M={x|x ＞}．
由（x ﹣3）（x ﹣1）＞0 得 x ＜1 或x ＞3，∴N={x|x ＜1，或 x ＞3}．
（2）M ∩N=（3，+∞），M ∪N={x|x ＜1，或 x ＞3}，
∴C R （M ∪N ）=．
【点评】本题主要考查求函数的定义域，两个集合的交集、并集、补集的定义和运算，属于基础题．　
20．【答案】
【解析】解：（1）证明：
如图，连接AE ，
∵AB 是⊙O 的直径，
AC ，DE 均为⊙O 的切线，
∴∠AEC ＝∠AEB ＝90°，
∠DAE ＝∠DEA ＝∠B ，
∴DA ＝DE .
∠C ＝90°－∠B ＝90°－∠DEA ＝∠DEC ，
∴DC ＝DE ，
∴CD ＝DA .
（2）∵CA 是⊙O 的切线，AB 是直径，
∴∠CAB ＝90°，
由勾股定理得CA 2＝CB 2－AB 2，
又CA 2＝CE ×CB ，CE ＝1，AB ＝，
2∴1·CB ＝CB 2－2，
即CB 2－CB －2＝0，解得CB ＝2，
∴CA 2＝1×2＝2，∴CA ＝.
2由（1）知DE ＝CA ＝，12
22
所以DE 的长为.2221．【答案】
【解析】
∵平面，∴是平面的一个法向量，
BG ⊥PAD )0,3,0(=GB PAF
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）∵,EC EF DE ⋅=2DEF
DEF ∠=∠∴∽,∴……………………2分
DEF ∆CED ∆C EDF ∠=∠又∵,∴, ∴．
AP CD //C P ∠=∠P EDF ∠=∠（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，∴∽，
P EDF ∠=∠PEA DEF ∠=∠EDF ∆EPA ∆∴，∴，又∵，∴．ED
EP EF EA =EP EF ED EA ⋅=⋅EB CE ED EA ⋅=⋅EP EF EB CE ⋅=⋅∵,，∴ ，∵，∴，解得.EC EF DE ⋅=22,3==EF DE 29=EC 2:3:=BE CE 3=BE 4
27=EP ∴．∵是⊙的切线，∴4
15=-=EB EP BP PA O PC PB PA ⋅=2∴，解得．……………………10分)2
9427(4152+⨯=PA 4315=PA 23．【答案】（1）切线恒过定点．（2） 的范围是 （3） 在区间上，满足1,22e ⎛⎫ ⎪⎝⎭a 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
()1,+∞恒成立函数有无穷多个()()()12f x g x f x <<()g x
【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义求得切线方程为，故过定点11222e y ae x e ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；1,22e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
试题解析：
（1）因为，所以在点处的切线的斜率为，()12f x ax x '=+
()f x ()(),e f e 12k ae e
=+所以在点处的切线方程为，()f x ()(),e f e ()2121y ae x e ae e ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭整理得，所以切线恒过定点．11222e y ae x e ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1,22e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
（2）令，对恒成立，()()()2p x f x f x =-=212ln 02a x ax x ⎛⎫--+< ⎪⎝
⎭()1,x ∈+∞因为()()1212p x a x a x
=--+'()22121a x ax x --+=()()()1211*x a x x ⎡⎤---⎣⎦=令，得极值点，，()0p x '=11x =2121
x a =-①当时，有，即时，在上有，112a <<211x x >=112
a <<()2,x +∞()0p x '>此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；()p x ()2,x +∞()()()2,p x p x ∈+∞②当时，有，同理可知，在区间上，有，也不合题意；1a ≥211x x <=()p x ()1,+∞()()()
1,p x p ∈+∞③当时，有，此时在区间上恒有，12
a ≤
210a -≤()1,+∞()0p x '<从而在区间上是减函数；()p x ()1,+∞要使在此区间上恒成立，只须满足，()0p x <()111022p a a =--
≤⇒≥-所以．1122
a -≤≤综上可知的范围是．a 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
（利用参数分离得正确答案扣2分）
（3）当时，，23a =
()21145ln 639f x x x x =++()221423
f x x x =+记，．()()22115ln 39y f x f x x x =-=-()1,x ∈+∞
因为，22565399x x y
x x
='-=-令，得0y '=x =所以在为减函数，在上为增函数，
()()21y f x f x =
-⎛ ⎝
⎫+∞⎪⎪⎭
所以当时，x =
min 59180
y =设，则，()()()15901180
R x f x λλ=+<<()()()12f x R x f x <<所以在区间上，满足恒成立函数有无穷多个()1,+∞()()()12f x g x f x <<()g x 24．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力，以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用．
下面证明时，恒成立．54m =716
QA QB ⋅=- 当直线的斜率为0时，结论成立；
l 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，
l l 1x ty =+()11,A x y ()22,B x y 由及，得，1x ty =+2
212
x y +=22(2)210t y ty ++-=所以，∴．0∆>12122221,22
t y y y y t t +=-=-++，，
111x ty =+221x ty =+∴=＝112212125511(,)(,)()4444x y x y ty ty y y -⋅-=--+2(1)t +121211()416
y y t y y -++．22222211212217(1)242162(2)1616
t t t t t t t t --+-++⋅+=+=-+++
综上所述，在轴上存在点使得恒成立．x 5(,0)4Q 716
QA QB ⋅=-。