内蒙古赤峰二中2021届高三数学第三次统一模拟考试试题文含解析

某某某某二中2021届高三数学第三次统一模拟考试试题文〔含解析〕一、选择题〔共12小题〕.
1．集合Q＝{x|x2﹣2x≤0，x∈N}，且P⊆Q，如此满足条件的集合P的个数〔〕
A．8B．9C．15D．16
2．复数z＝4﹣5i〔其中i为虚数单位〕，如此z+2i的虚部为〔〕
A．5B．6C．7D．﹣3
3．在边长为2的等边△ABC中，＝，如此＝〔〕
A．0B．C．1D．2
4．sinα＝2sin〔α+〕，如此tan2α＝〔〕
A．﹣B．C．﹣D．
5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝〞作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜〞和“＞〞符号，并逐渐被数学界承受，不等号的引入对不等式的开展影响深远．假如a＞b＞0，如此如下结论错误的答案是〔〕A．B．log2〔a﹣b〕＞0
C．D．3a＞3b
6．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数，现有一组勾股数3，4，5，如此由这组勾股数组成没有重复数字的三位数中，能被2整除的概率为〔〕A．B．C．D．
7．动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝﹣1相切，如此此动圆必过定点〔〕A．〔2，0〕B．〔1，0〕C．〔0，1〕D．〔0，﹣1〕
8．如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm，高8cm〔不含杯脚〕，水的高度是
4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变．如果放完珍珠后水不溢出，如此最多可以放入珍珠〔〕
A．98颗B．106颗C．120颗D．126颗
9．“喊泉〞是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣〞等物理声学作用，激起水波，形或涌泉．声音超大，涌起的泉水越高．听到的声强m与标准声强m0〔m0均为10﹣12，单位：W/m2〕之比的常用对数称作声强的声强级，记作L〔贝尔〕，即L＝lg，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．某处“喊泉〞的声音响度y〔分贝〕与喷出的泉水高度x〔米〕满足关系式y ＝2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为70米，假如A同学大喝一声的声强大约相当于100个B同学同时大喝一声的声强，如此B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为〔〕米．
A．0.7B．7C．50D．60
10．假如直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数f〔x〕的图象上；②点A、B关于原点对称，如此点〔A，B〕是函数f〔x〕的一个“姊妹点对〞．点对〔A，B〕与〔B，
A〕可看作是同一个“姊妹点对〞，函数f〔x〕＝，如此f〔x〕的“姊妹点对〞有〔〕
A．0个B．1个C．2个D．3个
11．如下说法中，正确的有〔〕个．
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
②过球面上任意两点只能作球的一个大圆；
③三棱锥的四个面都可以是直角三角形；
④梯形的直观图可以是平行四边形．
A．1B．2C．3D．4
12．定义在上的函数f〔x〕，满足，且当时，f〔x〕＝lnx，假如函数g〔x〕＝f〔x〕﹣ax在上有零点，如此实数a的取值X围是〔〕
A．B．[﹣πlnπ，0]C．D．
二、填空题〔共4小题〕.
13．函数y＝f〔x〕的图象在点M〔2，f〔2〕〕处的切线方程是y＝2x﹣6，如此＝．14．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b＝．
15．函数y＝〔x2+2x﹣3〕的单调递减区间是．
16．如图，双曲线C：＝1〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作线段F2P与C交于点Q，且Q为PF2的中点．假如等腰△PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距，如此C的离心率为．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

〔一〕必考题：共60分。

17．数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1＝3，a1•a4＝a22．
〔Ⅰ〕求{a n}的通项公式a n与前n项和S n；
〔Ⅱ〕b n＝，求数列{b n}的通项公式．
18．如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB＝3BC＝6，BF＝CF＝AE＝DE＝2，EF＝4，EF∥AB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM＝2．
〔Ⅰ〕证明：AF∥面BDG；
〔Ⅱ〕证明：面BGM⊥面BFC；
〔Ⅲ〕求三棱锥F﹣BMC的体积V．
19．松山区教研室某课题组对“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用〞这一课题进展专项研究．为此对松山区某中学高二甲、乙两个同类班级进展“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用〞的试验，其中甲班为试验班〔加强语文阅读理解训练〕，乙班为比照班〔常规教学，无额外训练〕，在试验前的测试中，甲、
乙两班学生在数学应用题上的得分率根本一致，试验完毕后，统计几次数学应用题测试的平均成绩〔均取整数〕如表所示：
60分以下61～70 71～80 8l～90 9l～100 甲班〔人数〕 3 6 11 18 12
乙班〔人数〕 4 8 13 15 10
现规定平均成绩在80分以上〔不含80分〕的为优秀．
〔Ⅰ〕试分别估计两个班级的优秀率；
〔Ⅱ〕由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率〞有帮助？
优秀人数非优秀人数合计甲班
乙班
合计
参考公式与数据：
K2＝，其中n＝a+b+c+d．
P〔K2≥k0〕
k0
20．曲线E上的点到F〔0，1〕的距离比它到x轴的距离大1．
〔1〕求曲线E的方程；
〔2〕过E作斜率为k的直线交曲线E于A、B两点；
①假如，求直线l的方程；
②过A、B两点分别作曲线E的切线l1、l2，求证：l1、l2的交点恒在一条定直线上．21．函数f〔x〕＝﹣x2﹣3，g〔x〕＝2xlnx﹣ax．
〔Ⅰ〕假如函数f〔x〕与g〔x〕在x＝1处的切线平行，求函数g〔x〕在〔1，g〔1〕〕处的切线方程；
〔Ⅱ〕当x∈〔0，+∞〕时，假如g〔x〕≥f〔x〕恒成立，某某数a的取值X围．(二〕选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，如此按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，以原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝1．直线l与曲线C交于A，B两点．
〔1〕求|AB|的长；
〔2〕假如P点的极坐标为〔1，〕，求AB中点M到P的距离．
[选修4-5：不等式选讲]〔本小题总分为0分〕
23．设函数f〔x〕＝|x﹣2|+2x﹣3，记f〔x〕≤﹣1的解集为M．
〔Ⅰ〕求M；
〔Ⅱ〕当x∈M时，证明：x[f〔x〕]2﹣x2f〔x〕≤0．
参考答案
一、选择题〔共12小题〕.
1．集合Q＝{x|x2﹣2x≤0，x∈N}，且P⊆Q，如此满足条件的集合P的个数〔〕
A．8B．9C．15D．16
解：由x2﹣2x≤0，解得0≤x≤2，
又x∈N，∴x＝0，1，2．
∴Q＝{0，1，2}，
∵P⊆Q，如此满足条件的集合P的个数为23＝8，
应当选：A．
2．复数z＝4﹣5i〔其中i为虚数单位〕，如此z+2i的虚部为〔〕A．5B．6C．7D．﹣3
解：复数z＝4﹣5i，如此z+2i＝4﹣5i+2i＝4﹣3i，其虚部为﹣3．应当选：D．
3．在边长为2的等边△ABC中，＝，如此＝〔〕A．0B．C．1D．2
解：因为等边△ABC，由＝可知，N为BC的中点，
所以AN⊥BC〔等腰三角形三线合一〕．
故，所以．
应当选：A．
4．sinα＝2sin〔α+〕，如此tan2α＝〔〕
A．﹣B．C．﹣D．
解：∵sinα＝2sin〔α+〕＝2cosα，∴tanα＝2，
如此tan2α＝＝﹣，
应当选：A．
5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝〞作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜〞和“＞〞符号，并逐渐被数学界承受，不等号的引入对不等式的开展影响深远．假如a＞b＞0，如此如下结论错误的答案是〔〕A．B．log2〔a﹣b〕＞0
C．D．3a＞3b
解：令a＝2，b＝1，
得选项B错误，
应当选：B．
6．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数，现有一组勾股数3，4，5，如此由这组勾股数组成没有重复数字的三位数中，能被2整除的概率为〔〕A．B．C．D．
解：由这组勾股数组成没有重复数字的三位数有345，354，435，453，543，534共6种等可能结果，
能被2整除的有354，534两种结果，
故概率P＝＝．
应当选：B．
7．动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝﹣1相切，如此此动圆必过定点〔〕
A．〔2，0〕B．〔1，0〕C．〔0，1〕D．〔0，﹣1〕
解：设动圆的圆心到直线x＝﹣1的距离为r，
因为动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且抛物线的准线方程为x＝﹣1，
所以动圆圆心到直线x＝﹣1的距离与到焦点〔1，0〕的距离相等，
所以点〔1，0〕一定在动圆上，即动圆必过定点〔1，0〕．
应当选：B．
8．如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm，高8cm〔不含杯脚〕，水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变．如果放完珍珠后水不溢出，如此最多可以放入珍珠〔〕
A．98颗B．106颗C．120颗D．126颗
解：作出轴截面如图，由题意，
OP＝8，O1P＝4，OA＝3，设O1A1＝x，如此，即x＝．
如此放入珍珠的最大体积．
一颗珍珠的体积是．
由，得最多可以放入珍珠126颗，
应当选：D．
9．“喊泉〞是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣〞等物理声学作用，激起水波，形或涌泉．声音超大，涌起的泉水越高．听到的声强m与标准声强m0〔m0均为10﹣12，单位：W/m2〕之比的常用对数称作声强的声强级，记作L〔贝尔〕，即L＝lg，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．某处“喊泉〞的声音响度y〔分贝〕与喷出的泉水高度x〔米〕满足关系式y ＝2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为70米，假如A同学大喝一声的声强大约相当于100个B同学同时大喝一声的声强，如此B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为〔〕米．
A．0.7B．7C．50D．60
解：设B同学的声强为m，喷出泉水高度为x，如此A同学的声强为100m，喷出泉水高度为70，
∴，∴lgm﹣lgm0x，
∵，∴2+lgm﹣lgm0＝14，
两式相减得：2＝14﹣x，
解得x＝60，
应当选：D．
10．假如直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数f〔x〕的图象上；②点A、B关于原点对称，如此点〔A，B〕是函数f〔x〕的一个“姊妹点对〞．点对〔A，B〕与〔B，A〕可看作是同一个“姊妹点对〞，函数f〔x〕＝，如此f〔x〕的“姊妹点对〞有〔〕
A．0个B．1个C．2个D．3个
解：根据题意可知，“姊妹点对〞满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y＝x2+2x〔x＜0〕的图象关于原点对称的图象，看它与函数y＝〔x≥0〕交点个数即可．如下列图：
当x＝1时，0＜＜1
观察图象可得：它们有2个交点．
应当选：C．
11．如下说法中，正确的有〔〕个．
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
②过球面上任意两点只能作球的一个大圆；
③三棱锥的四个面都可以是直角三角形；
④梯形的直观图可以是平行四边形．
A．1B．2C．3D．4
解：考查所给的各个说法：
①两个同底的三棱锥构成的六面体各个面都是三角形，不是三棱锥，故错误，
②过球面上任意两点与球心共线时，可以作球的无数个大圆，故错误，
③一条侧棱垂直于底面直角三角形的一个锐角顶点的三棱锥，满足题意，故正确，
④因为平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，故梯形的直观图不可以是平行四边形，
综上可得，正确的说法有一个，
应当选：A．
12．定义在上的函数f〔x〕，满足，且当时，f〔x〕＝lnx，假如函数g〔x〕＝f〔x〕﹣ax在上有零点，如此实数a的取值X围是〔〕
A．B．[﹣πlnπ，0]C．D．
解：因为当时，f〔x〕＝lnx，
所以x∈〔1，π]时，，所以f〔〕＝﹣lnx，此时，故f〔x〕＝﹣lnx，x∈〔1，π]．
所以f〔x〕在上的图象如图，要使函数g〔x〕＝f〔x〕﹣ax在上有零点，只要直线y＝ax与f〔x〕的图象有交点，
由图象可得，k OA≤a≤0，其中，
所以使函数g〔x〕＝f〔x〕﹣ax在上有零点，如此实数a的取值X围是[﹣π
lnπ，0]．
应当选：B．
二、填空题：此题共4小题，每一小题5分，共20分。

13．函数y＝f〔x〕的图象在点M〔2，f〔2〕〕处的切线方程是y＝2x﹣6，如此＝﹣1 ．
解：函数y＝f〔x〕的图象在点M〔2，f〔2〕〕处的切线方程是y＝2x﹣6，
可得f〔2〕＝4﹣6＝﹣2，f′〔2〕＝2，
所以＝＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b＝．
解：∵a，b，c成等差数列，
∴2b＝a+c．
平方得a2+c2＝4b2﹣2ac．
又△ABC的面积为，且∠B＝30°，
故由S△＝ac sin B＝ac•sin30°＝ac＝，
得ac＝6，
∴a2+c2＝4b2﹣12．
由余弦定理
cos B＝＝＝＝．
解得b2＝4+2．
又∵b为边长，
∴b＝1+．
故答案为：1+
15．函数y＝〔x2+2x﹣3〕的单调递减区间是〔1，+∞〕．
解：由x2+2x﹣3＞0解得x＜﹣3，或x＞1，故函数的定义域为〔﹣∞，﹣3〕∪〔1，+∞〕．
在〔﹣∞，﹣3〕上，函数t＝x2+2x﹣3是减函数，由复合函数的单调性得
是增函数．
在〔1，+∞〕上，函数t＝x2+2x﹣3是增函数，由复合函数的单调性得
是减函数．
故函数的单调递减区间是〔1，+∞〕，
故答案为〔1，+∞〕．
16．如图，双曲线C：＝1〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作线
段F2P与C交于点Q，且Q为PF2的中点．假如等腰△PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距，如此C的离心率为．
解：连结QF1，由条件知QF1⊥PF2，且|QF2|＝．
由双曲线定义知|QF1|＝2a+，
在Rt△F1QF2中，〔2a+〕2+〔〕2＝〔2c〕2，
即8a2+4ac﹣7c2＝0，
即8+4e﹣7e2＝0
解得C的离心率e＝，
故答案为：．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

〔一〕必考题：共60分。

17．数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1＝3，a1•a4＝a22．
〔Ⅰ〕求{a n}的通项公式a n与前n项和S n；
〔Ⅱ〕b n＝，求数列{b n}的通项公式．
解：〔Ⅰ〕数列{a n}是公差d不为0的等差数列，a1＝3，a1•a4＝a22．
所以，
解得d＝3或0，〔0舍去〕，
故a n＝3+3〔n﹣1〕＝3n．
．
〔Ⅱ〕由于，
所以，
所以＝＝．18．如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB＝3BC＝6，BF＝CF＝AE＝DE＝2，EF＝4，EF∥AB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM＝2．
〔Ⅰ〕证明：AF∥面BDG；
〔Ⅱ〕证明：面BGM⊥面BFC；
〔Ⅲ〕求三棱锥F﹣BMC的体积V．
解：〔Ⅰ〕连接AC交BD于O点，如此O为AC的中点，连接OG
∵点G为CF中点，
∴OG为△AFC的中位线
∴OG∥AF，
∵AF⊄面BDG，OG⊂面BDG，
∴AF∥面BDG，
〔Ⅱ〕连接FM，
∵BF＝CF＝BC＝2，G为CF的中点，∴BG⊥CF∵CM＝2，
∴DM＝4∵EF∥AB，ABCD为矩形，∴EF∥DM，
又∵EF＝4，
∴EFMD为平行四边形
∴FM＝ED＝2，
∴△FCM为正三角形，
∴MG⊥CF，
∵MG∩BG＝G，
∴CF⊥面BGM，
∵CF⊂面BFC，
∴面BGM⊥面BFC．
〔Ⅲ〕
∵，
∴
∴，
∴三棱锥F﹣BMC的体积V＝．
19．松山区教研室某课题组对“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用〞这一课题进展专项研究．为此对松山区某中学高二甲、乙两个同类班级进展“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用〞的试验，其中甲班为试验班〔加强语文阅读理解训练〕，乙班为比照班〔常规教学，无额外训练〕，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率根本一致，试验完毕后，统计几次数学应用题测试的平均成绩〔均取整数〕如表所示：
60分以下61～70 71～80 8l～90 9l～100
甲班〔人数〕 3 6 11 18 12
乙班〔人数〕 4 8 13 15 10
现规定平均成绩在80分以上〔不含80分〕的为优秀．
〔Ⅰ〕试分别估计两个班级的优秀率；
〔Ⅱ〕由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率〞有帮助？
优秀人数非优秀人数合计甲班
乙班
合计
参考公式与数据：
K2＝，其中n＝a+b+c+d．
P〔K2≥k0〕
k0
解：〔Ⅰ〕由题意可得：甲乙两班的人数均为50人，
甲班优秀人数为30人，优秀率为：＝60%；
乙班优秀人数为25人，优秀率为：＝50%；
〔Ⅱ〕由以上统计数据填写下面2×2列联表，
优秀人数非优秀人数合计甲班30 20 50
乙班25 25 50
合计55 45 100
K2＝＝≈1.010＜2.706．
故没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率〞有帮助．
20．曲线E上的点到F〔0，1〕的距离比它到x轴的距离大1．
〔1〕求曲线E的方程；
〔2〕过E作斜率为k的直线交曲线E于A、B两点；
①假如，求直线l的方程；
②过A、B两点分别作曲线E的切线l1、l2，求证：l1、l2的交点恒在一条定直线上．解：〔1〕设曲线E上的点P〔x，y〕，由题可知：P到F〔0，1〕的距离与到直线y＝﹣1的距离相等，
所以，P点的轨迹是以F〔0，1〕为焦点，y＝﹣1为准线的抛物线，
E的方程为：x2 ＝4y．
〔2〕设：过F的斜率为k的直线方程为：y＝kx+1
①由消y可得x2﹣4kx﹣4＝0．令A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕
∴x1+x2＝4k………①，x1x2＝﹣4………②
由题可知：假如，即：〔﹣x2 ，1﹣y2〕＝3〔x1，y1﹣1〕，即得：﹣x2＝3x1………③
由①②③消去x1，x2得：k2＝，
∴k＝±，
所求直线l的方程为：y＝±x+1．
证明②由题知：y＝，y′＝x，令A〔x1，x12〕，A〔x2，x22〕，设l1与l2相交于点Q．
l1方程为：y﹣x12＝x1〔x﹣x1〕，
l1方程为：y﹣x22＝x2〔x﹣x2〕，
相减得：x＝＝2k，代入相加得：2y＝k〔x1+x2〕﹣〔x12+x22〕＝4k2﹣[〔x1+x2〕2﹣2x1x2]＝4k2﹣〔16k2+8〕＝﹣2，
∴y＝﹣1，
∴Q〔2k，﹣1〕，
∴：l1、l2的交点恒在一条定直线y＝﹣1上．
21．函数f〔x〕＝﹣x2﹣3，g〔x〕＝2xlnx﹣ax．
〔Ⅰ〕假如函数f〔x〕与g〔x〕在x＝1处的切线平行，求函数g〔x〕在〔1，g〔1〕〕处的切线方程；
〔Ⅱ〕当x∈〔0，+∞〕时，假如g〔x〕≥f〔x〕恒成立，某某数a的取值X围．
解：〔Ⅰ〕f〔x〕＝﹣x2﹣3的导数为f′〔x〕＝﹣2x，
可得函数f〔x〕与g〔x〕在x＝1处的切线的斜率均为﹣2，
g〔x〕＝2xlnx﹣ax的导数为g′〔x〕＝2〔1+lnx〕﹣a，
可得2〔1+ln1〕﹣a＝﹣2，解得a＝4，
g〔x〕＝2xlnx﹣4x，g〔1〕＝﹣4，
所以函数g〔x〕在〔1，g〔1〕〕处的切线方程为y﹣〔﹣4〕＝﹣2〔x﹣1〕，
即为2x+y+2＝0；
〔Ⅱ〕g〔x〕≥f〔x〕即为2xlnx﹣ax≥﹣x2﹣3，
即a≤x+2lnx+对x＞0恒成立，
设h〔x〕＝x+2lnx+，h′〔x〕＝1+﹣＝，
当x＞1时，h′〔x〕＞0，h〔x〕递增；当0＜x＜1时，h′〔x〕＜0，h〔x〕递减．
所以h〔x〕在x＝1处取得最小值4，
如此a≤4，即a的取值X围是〔﹣∞，4]．
(二〕选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，如此按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，以原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝1．直线l与曲线C交于A，B两点．
〔1〕求|AB|的长；
〔2〕假如P点的极坐标为〔1，〕，求AB中点M到P的距离．
解：〔1〕∵曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝1，
∴ρ2〔cos2θ﹣sin2θ〕＝1，
即x2﹣y2＝1，
而直线l的参数方程为〔t为参数〕，
带入x2﹣y2＝1，
得：t2﹣2t﹣4＝0，
设A、B对应的参数分别是t1，t2，
如此t1+t2＝2，t1t2＝﹣4，
如此|AB|＝|t1﹣t2|＝＝2；
〔2〕P点的极坐标为〔1，〕，直角坐标是〔0，1〕，
P〔0，1〕在直线l上，AB的中点M对应的参数为：
＝1，∴|PM|＝1．
[选修4-5：不等式选讲]〔本小题总分为0分〕
23．设函数f〔x〕＝|x﹣2|+2x﹣3，记f〔x〕≤﹣1的解集为M．〔Ⅰ〕求M；
〔Ⅱ〕当x∈M时，证明：x[f〔x〕]2﹣x2f〔x〕≤0．
解：〔Ⅰ〕由，得，
当x≤2时，由f〔x〕＝x﹣1≤﹣1，解得，x≤0，此时x≤0．
当x＞2时，由f〔x〕＝3x﹣5≤﹣1，解得，显然不成立，故f〔x〕≤﹣1的解集为M＝{x|x≤0}．
〔Ⅱ〕证明：当x∈M时，f〔x〕＝x﹣1，
于是，∵函数在〔﹣∞，0]上是增函数，∴g〔x〕≤g〔0〕＝0，故x[f〔x〕]2﹣x2f〔x〕≤0．。