初中质数与合数

初中数学竞赛辅导资料（3）
质数 合数
一、内容提要
1 正整数的一种分类：
质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正
整数叫做质数（质数也称素数）。

合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正
整数叫做合数。

2 根椐质数定义可知
① 质数只有1和本身两个正约数， ② 质数中只有一个偶数2
如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2， 如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，
3任何合数都可以分解为几个质数的积。

能写成几个质数的积的正整数就是合数。

二、例题
例1两个质数的和等于奇数a (a ≥5)。

求这两个数 解：∵两个质数的和等于奇数 ∴必有一个是2
所求的两个质数是2和a －2。

例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数 解：∵质数m 只含两个正约数1和m, 又∵（－1）（－m ）=m
∴所求的两个整数是1和m 或者－1和－m. 例3己知三个质数a,b,c 它们的积等于30
求适合条件的a,b,c 的值 解：分解质因数：30＝2×3×5
适合条件的值共有： ⎪⎩⎪
⎨⎧===53
2c b a ⎪⎩⎪
⎨⎧===352c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===253c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===325c b a ⎪⎩
⎪⎨⎧===235c b a 应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a,b,c,d 它们的积等于210,即
abcd=2×3×5×7那么适合条件的a ，b ，c ，d 值共有24组，试把它写出来。

例4试写出4个連续正整数，使它们个个都是合数。

解：（本题答案不是唯一的）
设N 是不大于5的所有质数的积，即N ＝2×3×5 那么N ＋2，N ＋3，N ＋4，N ＋5就是适合条件的四个合数
即32，33，34，35就是所求的一组数。

本题可推广到n 个。

令N 等于不大于n+1的所有质数的积，那么N ＋2， N ＋3，N ＋4，……N ＋（n+1）就是所求的合数。

三、练习
1， 小于100的质数共___个，它们是__________________________________ 2， 己知质数P 与奇数Q 的和是11，则P ＝＿＿，Q ＝＿＿ 3， 己知两个素数的差是41，那么它们分别是＿＿＿＿＿ 4， 如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是＿＿＿
如果两个整数的积等于73，那么它们是＿＿＿＿ 如果两个质数的积等于15，则它们是＿＿＿＿＿
5, 两个质数x 和y ，己知 xy=91,那么x=__,y=__,或x=__,y=__. 6, 三个质数a,b,c 它们的积等于1990.
那么 ⎪⎩
⎪
⎨⎧===c b a
7, 能整除311＋513的最小质数是＿＿
8，己知两个质数A 和B 适合等式A ＋B ＝99，AB ＝M 。

求M 及
B A ＋A
B
的值 9，试写出6个連续正整数，使它们个个都是合数。

10，具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？ 11，求适合下列三个条件的最小整数：
① 大于1 ②没有小于10的质因数 ③不是质数
12，某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，
那么这个质数是＿＿＿
13，一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是＿＿。

练习题参考答案
1. 25个
2. 2，9
3. 2，43
4. 1，19；1，73或－1，－73
5 略
6. 1900＝2×5×199 有6组
7. 2
8. 略
9.令N＝2×3×5×7＝210，所求合数为N＋2，N＋3，……
10.分母只含2和5的质因数
11.11×11
12. 37
13. 3
初中数学竞赛专题选讲
倍数约数
一、内容提要
1两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B 叫做A的约数。

例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。

2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。

0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。

如0是7的倍数，7是0的约数。

3整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。

4整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。

例如6的约数是±1，±2，±3，±6。

5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。

6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。

7在有余数的除法中，
被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：
A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除
例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除。

二、例题
例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以
应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。

解：列表如下
其规律是：设A＝a m b n(a，b是质数,m，n是正整数)
那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1)
例如求360的正约数的个数
解：分解质因数：360＝23×32×5，
360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）
例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数
解：∵24＝23×3，90＝2×32×5
∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6
最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24,90]=360
例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N
解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数
∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6
经检验1和2不合题意，∴N＝6，3
例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数
分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。

解：∵[10,9,8]=360,
∴所以所求的数是359
三、练习
1，12的正约数有_________,16的所有约数是_________________
2，分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________
3，用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。

4，一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________
5，能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________
6，己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________
7，写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。

答____
8，一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？
9，一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？
练习参考答案
1. 1，2，3，4，6，12；±1，±2，±3，±6，±9，±18
2. 22×3×52；18
3. 2×5；22×53
4. 693
5. ［3，5，11］＝165，1155；990
6. A＝3 即求14－2与23－2的公约数
7. 30，60，90
8.（135，105）＝15，正约数有1，3，5，15
9.119。

∵［2，3，4，5，6］＝60，60×2－1＝119
初一奥数专题解析：构造一元一次方程解题
2009-07-01 13:45 来源：互联网作者：佚名[打印] [评论]【初一】构造一元一次方程解题
2．设a，b，c为实数，且｜a｜+a=0，｜ab｜=ab，｜c｜-c=0，求代数式｜b｜-｜a＋b｜-｜c-b｜＋｜a-c｜的值．
3．若m＜0，n＞0，｜m｜＜｜n｜，且｜x＋m｜＋｜x-n｜=m＋n，求x的取值范围．
4．设(3x-1)7=a7x7＋a6x6+…+a1x＋a0，试求a0+a2＋a4＋a6的值．
6．解方程2｜x+1｜+｜x-3｜=6．
8．解不等式｜｜x＋3｜-｜x-1｜｜＞2．
10．x，y，z均是非负实数，且满足：
x＋3y＋2z=3，3x＋3y+z=4，
求u=3x-2y＋4z的最大值与最小值．
11．求x4-2x3＋x2+2x-1除以x2+x＋1的商式和余式．
19．任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999？说明理由．
20．设有一张8行、8列的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂上白色．下面对涂了色的方格纸施行“操作”，每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色．问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？
21．如果正整数p和p+2都是大于3的素数，求证：6｜(p＋1)．
2．因为｜a｜=-a，所以a≤0，又因为｜ab｜=ab，所以b≤0，因为｜c｜=c，所以c≥0．所以a＋b≤0，c-b≥0，a-c≤0．所以
原式=-b＋(a＋b)-(c-b)-(a-c)=b．
3．因为m＜0，n＞0，所以｜m｜=-m，｜n｜=n．所以｜m｜＜｜n｜可变为m＋n＞0．当x+m≥0时，｜x+m｜=x＋m；当x-n≤0时，｜x-n｜=n-x．故当-m≤x≤n时，
｜x＋m｜＋｜x-n｜=x＋m-x＋n=m＋n．
4．分别令x=1，x=-1，代入已知等式中，得
a0+a2＋a4＋a6=-8128．
5．②＋③整理得
x=-6y，④
④代入①得(k-5)y=0．
当k=5时，y有无穷多解，所以原方程组有无穷多组解；当k≠5时，y=0，代入②得(1-k)x=1＋k，因为x=-6y=0，所以1＋k=0，所以k=-1．
故k=5或k=-1时原方程组有解．
＜x≤3时，有2(x＋1)-(x-3)=6，所以x=1；当x＞3时，有
,所以应舍去．
7．由｜x-y｜=2得
x-y=2，或x-y=-2，
所以
由前一个方程组得
｜2+y｜＋｜y｜=4．
当y＜-2时，-(y+2)-y=4，所以y=-3，x=-1；当-2≤y＜0时，(y＋1)-y=4，无解；当y≥0时，(2＋y)+y=4，所以y=1，x=3．
同理，可由后一个方程组解得
所以解为
解①得x≤-3；解②得
-3＜x＜-2或0＜x≤1；
解③得x＞1．
所以原不等式解为x＜-2或x＞0．9．令a＝99991111，则
于是
显然有a＞1，所以A-B＞0，即A＞B．
10．由已知可解出y和z
因为y，z为非负实数，所以有
u=3x-2y+4z
11.
所以商式为x2-3x+3，余式为2x-4．
12．小柱的路线是由三条线段组成的折线(如图1－97所示)．
我们用“对称”的办法将小柱的这条折线的路线转化成两点之间的一段“连线”(它是线段)．设甲村关于北山坡(将山坡看成一条直线)的对称点是甲′；乙村关于南山坡的对称点是乙′，连接甲′乙′，设甲′乙′所连得的线段分别与北山坡和南山坡的交点是A，B，则从甲→A→B→乙的路线的选择是最好的选择(即路线最短)．
显然，路线甲→A→B→乙的长度恰好等于线段甲′乙′的长度．而从甲村到乙村的其他任何路线，利用上面的对称方法，都可以化成一条连接甲′与乙′之间的折线．它们的长度都大于线段甲′乙′．所以，从甲→A→B→乙的路程最短．
＋b1=9，a+a1=9，于是a+b+c＋a1＋b1+c1=9＋9+9，即2(a十b＋c)=27，矛盾！
20．答案是否定的．设横行或竖列上包含k个黑色方格及8-k个白色方格，其中0≤k≤8．当改变方格的颜色时，得到8-k个黑色方格及k个白色方格．因此，操作一次后，黑色方格的数目“增加了”(8-k)-k=8-2k个，即增加了一个偶数．于是无论如何操作，方格纸上黑色方格数目的奇偶性不变．所以，从原有的32个黑色方格(偶数个)，经过操作，最后总是偶数个黑色方格，不会得到恰有一个黑色方格的方格纸．
21．大于3的质数p只能具有6k＋1，6k＋5的形式．若p=6k＋1(k≥1)，则p+2=3(2k ＋1)不是质数，所以， p=6k＋5(k≥0)．于是，p＋1=6k＋6，所以，6｜(p＋1)．
有个人在公路上散步，他看到每隔12分钟有一辆公交车从他后面开过来，而每隔4分钟有一辆公交车迎面开来，若车和人的车的速度都是均匀的，汽车总站每个多少分钟开一辆车出来？？
问题补充：
要过程的
最佳答案
6分钟
设人速度为a 车速度为b 汽车总站每x分钟开一辆车出来
则每相临的两个公交之间距离为bx
从身后来的车与人同向
两车距离bx=12*b-12*a
而迎面来的车与人相对，逆向
所以bx=4*b+4*a
两个式子相除得b=2a
带入第一个式子
2ax=24a-12a
2ax=12a
得到x=6
1、若2a=6b=3c,且ab+bc+ca=99,求2a^2+12b^2+9^2的值
2、已知a,b,c,d属于正实数,a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,求证：a=b=c=d
3、已知14(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+2b+3c)^2,求a:b:c
4、已知三角形ABC的三边a,b,c满足a^3+b^3+c^3=3abc,求证：三角形ABC为等边三角形
1、若2a=6b=3c,且ab+bc+ca=99,求2a^2+12b^2+9^2的值
设2a=6b=3c=k
则a=k/2,b=k/6,c=k/3,代入ab+bc+ca=99,
得k^2=36*9
从而
2a^2+12b^2+9^2
=(36*9)(1/2 + 1/3) + 81
=270+81
=351
2、已知a,b,c,d属于正实数,a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,
求证：a=b=c=d
a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd
=[a^4-2(ab)^2+b^4]+[c^4-2(cd)^2+d^4]+[2(ab)^2-4abcd+2(cd)^2]
=(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2
=0
a^2=b^2,c^2=d^2,ab=cd
a=b=c=d
3、已知14(a^2+b^2+c^2)=(a+2b+3c)^2,求a:b:c
14(a^2+b^2+c^2)-(a+2b+3c)^2
=14(a^2+b^2+c^2)-(a^2+4b^2+9c^2+4ab+12bc+6ca)
=[4a^2-4ab+b^2]+[9b^2-12bc+4c^2]+[c^2-6ca+9a^2]
=(2a-b)^2+(3b-2c)^2+(c-3a)^2
=0
b=2a,c=3a
a:b:c=1:2:3
4、已知三角形ABC的三边a,b,c满足a^3+b^3+c^3=3abc,
求证：三角形ABC为等边三角形
a^3+b^3+c^3-3abc
=(1/2)(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]-----常考到,须记住!
=0
因为a+b+c＞0
所以(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
从而a=b=c
因此三角形ABC为等边三角形
初一奥数考什么啊？
30分
标签：奥数课本奥数班开学会考
回答：4 浏览：1699 提问时间：2005-08-14 13:32
我现在学的是新课标，马上就要读初二了。

学校在初二开学就会考一次奥数，选择年级前50名，组成奥数班。

翻了许多奥数书，有的课本上没有学，所以，我不知道会考什么内容。

帮帮我！
谢谢！！！
相关资料:1年级奥数.rar
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最佳答案此答案由提问者自己选择，并不代表爱问知识人的观点
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德比
[学弟]
定义新运算
绝对值的等式问题
一元一次方程
一元一次不等式
相交线与平行线
面积割补法解四边形
利用三角形出的不等式
乘法公式
（这是经常的初一奥数考点，如果不是奥数就不会考了）。