辽宁省大连市瓦房店市实验高级中学2020-2021学年高一上学期月考数学试题(解析)
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【详解】对于A，因为 ，故 ，当且仅当 时等号成立，
所以A∩B＝ ，
故选：B
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.
2.命题p：∀x∈N，x3＞x2的否定形式¬p为（）
A.∀x∈N，x3≤x2B.∃x∈N，x3＞x2
C.∃x∈N，x3＜x2D.∃x∈N，x3≤x2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据含有一个量词命题的否定的定义求解.
【详解】因为命题p：∀x∈N，x3＞x2的是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以¬p：∃x∈N，x3≤x2
故选：D
【点睛】本题主要考查含有一个量词命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
3.下列函数中既是偶函数，又在区间 上单调递减的为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据偶函数 定义可判断D错误，对于A、B、C，根据反比例函数、二次函数、一次函数的单调性可判断它们的正误，从而得到正确的选项.
故选：A
【点睛】此题考查由函数值求自变量，考查了换元法的应用，属于基础题
5.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子来量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺设绳索长 尺，竿长 尺，则符合题意的方程组是（ ）
A.f(x)的图像关于点(0,0)对称B.f(x)的定义域为{x|x≠1}
C.f(x)在(1，＋∞)单调递增D.f(x)有且仅有一个零点
【答案】BD
【解析】
【分析】
将函数转化为 ，作出其图象，利用数形结合法求解.
【详解】函数 ，其图象如图：
由图象知：f(x)的图像关于点(1,2)对称，f(x)的定义域为{x|x≠1}，
数学试卷
一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A＝ 或 ，B＝{y|y＞－1}，则A∩B＝（）
A.(－1，0]B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用集合的交集运算求解.
【详解】因为集合A＝ 或 ，B＝{y|y＞－1}，
故 ，故选D
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质以及一元二次方程的根与系数的关系，其中通过韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）结合题目给出的条件构造出关于 的不等式组，是解答本题的关键.
7.已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－1，若f(a)·f(－a)＝4，则实数a的值可为（）
8.已知函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1，2)内，则m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用零点存在性定理求解即可
【详解】解：因为函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1，2)内，且此函数是连续函数，
所以 ，即
解得 ，
故选：B
【点睛】此题考查零点存在性定理的应用，属于基础题
A. －3或3B. －1或1C. -1D. -3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 为偶函数可得 ，从而可得关于 的方程，解方程后可得实数a的值.
【详解】因为 为偶函数，故 ，所以 ，
故 ，所以 ，解得 （舍） ，故 ，
故选：B.
【点睛】本题考查偶函数的性质，注意如果 为偶函数，则 ，解题中注意利用这个性质把偶函数的问题转化到给定范围的那一侧去讨论，本题属于基础题.
【详解】对于A，函数 的定义域为 ，且 ，
故函数 为偶函数，
当 时， ，它在 上为减函数，故A正确.
对于B，函数 的定义域为 ，且 ，
故函数 偶函数，它在 上为增函数，故B错误.
对于C，函数 的定义域为 ，且 ，
故函数 为偶函数，它在 上为增函数，故C错误.
对于D，当 时， ，当 ， ，故 不是偶函数，故D错误.
6.已知方程 有两个正根，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据方程 有两个正根得到 、 以及 ，进而构造出关于 的不等式组，然后通过解不等式组并取交集即可求出实数 的取值范围．
【详解】若方程 有两个正根 ，
由韦达定理可得： ， ，
解得 ，
又由 得 ，
解得 或者 ，
f(x)在(1，＋∞)单调递减，f(x)有且仅有一个零点.
故选：BD
【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.
11.下列命题中正确的是（）
A.若 ，则 的最大值为2
B.当 时
C. 的最小值为5
D.只有当 均为正数时，
【答案】AB
【解析】
【分析】
利用基本不等式可判断各选项中不等式 正误.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.下列命题中是真命题的是（）
A. 若 ，则 Bຫໍສະໝຸດ 若 ，则C. 若 ，则 D. 是 的必要不充分条件
【答案】AC
【解析】
【分析】
对于A，B，C利用不等式的性质判断即可，对于D，利用充分条件和必要条件的定义判断
【详解】解：对于A，因为 ，所以 ，所以 ，所以A正确；
对于B，当 时，由不等式的性质可知，若 ，则 ，所以B错误；
对于C，由不等式的性质可知是正确的；
对于D，由 得 ，所以 是 的充分不必要条件，所以D错误，
故选：AC
【点睛】此题考查不等式性质的应用，考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题
10.关于函数 ，正确的说法是（）
故选：A.
【点睛】本题考查具体函数的奇偶性和单调性，前者可根据定义验证，后者可结合初等函数的单调性来判断，本题属于基础题.
4.已知 ＝2x＋3，f(m)＝6，则m等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，求出 ，进而可得 ，由此可求出 的值
【详解】解：设 ，则 ，
所以 ，
所以 ，解得
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
绳索长 尺，竿长 尺，根据索比竿子长一托.折回索子来量竿，却比竿子短一托，即可得到关于 ， 的二元一次方程组．
【详解】绳索长 尺，竿长 尺，由绳索比竿长5尺可得 ；
由绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得 ，
由此可得方程组
故选A.
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
所以A∩B＝ ，
故选：B
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.
2.命题p：∀x∈N，x3＞x2的否定形式¬p为（）
A.∀x∈N，x3≤x2B.∃x∈N，x3＞x2
C.∃x∈N，x3＜x2D.∃x∈N，x3≤x2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据含有一个量词命题的否定的定义求解.
【详解】因为命题p：∀x∈N，x3＞x2的是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以¬p：∃x∈N，x3≤x2
故选：D
【点睛】本题主要考查含有一个量词命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
3.下列函数中既是偶函数，又在区间 上单调递减的为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据偶函数 定义可判断D错误，对于A、B、C，根据反比例函数、二次函数、一次函数的单调性可判断它们的正误，从而得到正确的选项.
故选：A
【点睛】此题考查由函数值求自变量，考查了换元法的应用，属于基础题
5.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子来量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺设绳索长 尺，竿长 尺，则符合题意的方程组是（ ）
A.f(x)的图像关于点(0,0)对称B.f(x)的定义域为{x|x≠1}
C.f(x)在(1，＋∞)单调递增D.f(x)有且仅有一个零点
【答案】BD
【解析】
【分析】
将函数转化为 ，作出其图象，利用数形结合法求解.
【详解】函数 ，其图象如图：
由图象知：f(x)的图像关于点(1,2)对称，f(x)的定义域为{x|x≠1}，
数学试卷
一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A＝ 或 ，B＝{y|y＞－1}，则A∩B＝（）
A.(－1，0]B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用集合的交集运算求解.
【详解】因为集合A＝ 或 ，B＝{y|y＞－1}，
故 ，故选D
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质以及一元二次方程的根与系数的关系，其中通过韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）结合题目给出的条件构造出关于 的不等式组，是解答本题的关键.
7.已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－1，若f(a)·f(－a)＝4，则实数a的值可为（）
8.已知函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1，2)内，则m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用零点存在性定理求解即可
【详解】解：因为函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1，2)内，且此函数是连续函数，
所以 ，即
解得 ，
故选：B
【点睛】此题考查零点存在性定理的应用，属于基础题
A. －3或3B. －1或1C. -1D. -3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 为偶函数可得 ，从而可得关于 的方程，解方程后可得实数a的值.
【详解】因为 为偶函数，故 ，所以 ，
故 ，所以 ，解得 （舍） ，故 ，
故选：B.
【点睛】本题考查偶函数的性质，注意如果 为偶函数，则 ，解题中注意利用这个性质把偶函数的问题转化到给定范围的那一侧去讨论，本题属于基础题.
【详解】对于A，函数 的定义域为 ，且 ，
故函数 为偶函数，
当 时， ，它在 上为减函数，故A正确.
对于B，函数 的定义域为 ，且 ，
故函数 偶函数，它在 上为增函数，故B错误.
对于C，函数 的定义域为 ，且 ，
故函数 为偶函数，它在 上为增函数，故C错误.
对于D，当 时， ，当 ， ，故 不是偶函数，故D错误.
6.已知方程 有两个正根，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据方程 有两个正根得到 、 以及 ，进而构造出关于 的不等式组，然后通过解不等式组并取交集即可求出实数 的取值范围．
【详解】若方程 有两个正根 ，
由韦达定理可得： ， ，
解得 ，
又由 得 ，
解得 或者 ，
f(x)在(1，＋∞)单调递减，f(x)有且仅有一个零点.
故选：BD
【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.
11.下列命题中正确的是（）
A.若 ，则 的最大值为2
B.当 时
C. 的最小值为5
D.只有当 均为正数时，
【答案】AB
【解析】
【分析】
利用基本不等式可判断各选项中不等式 正误.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.下列命题中是真命题的是（）
A. 若 ，则 Bຫໍສະໝຸດ 若 ，则C. 若 ，则 D. 是 的必要不充分条件
【答案】AC
【解析】
【分析】
对于A，B，C利用不等式的性质判断即可，对于D，利用充分条件和必要条件的定义判断
【详解】解：对于A，因为 ，所以 ，所以 ，所以A正确；
对于B，当 时，由不等式的性质可知，若 ，则 ，所以B错误；
对于C，由不等式的性质可知是正确的；
对于D，由 得 ，所以 是 的充分不必要条件，所以D错误，
故选：AC
【点睛】此题考查不等式性质的应用，考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题
10.关于函数 ，正确的说法是（）
故选：A.
【点睛】本题考查具体函数的奇偶性和单调性，前者可根据定义验证，后者可结合初等函数的单调性来判断，本题属于基础题.
4.已知 ＝2x＋3，f(m)＝6，则m等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，求出 ，进而可得 ，由此可求出 的值
【详解】解：设 ，则 ，
所以 ，
所以 ，解得
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
绳索长 尺，竿长 尺，根据索比竿子长一托.折回索子来量竿，却比竿子短一托，即可得到关于 ， 的二元一次方程组．
【详解】绳索长 尺，竿长 尺，由绳索比竿长5尺可得 ；
由绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得 ，
由此可得方程组
故选A.
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．