北师大版高中数学必修四课件第2章平面向量331

练一练 (2) 3(2a－4b)＝( A．5a＋7b C．6a＋12b
) B．5a－7b D．6a－12b
解析：原式＝3×2a－3×4b＝6a－12b.
答案：D
5．向量共线定理 (1)判定定理：a 是一个_非__零__向__量___，若存在一个实数 λ，使 得_b_＝__λ_a_，则向量 b 与非零向量 a 共线． (2)性质定理：若向量 b 与非零向量 a 共线，则存在一个实 数 λ，使得_b_＝__λ_a_.
【正解】 当 e＝0 时，a＝b＝0，有 a 与 b 共线．
当 e≠0 时，此时由于 b＝－32a，
即存在唯一实数 λ＝－32，使得 b＝λa， 从而 b 与 a 共线．
基础知识达标
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知识点一 向量的线性运算
1.25(a－b)－13(2a＋4b)＋125(2a＋13b)＝( )
2．λa 的几何意义 λa 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段_伸__长__或__压__缩___， 当 |λ| ＞ 1 时 ， 表 示 向 量 a 的 有 向 线 段 在 _原__方__向___(λ ＞ 0) 或 __反__方__向__(λ＜0)上__伸__长__为原来的|λ|倍；当|λ|＜1 时，表示向量 a 的有向线段在__原__方__向__(λ＞0)或__反__方__向__(λ＜0)上__缩__短__为原来 的|λ|倍．
已知 a、b 为非零向量，试判断下列各命题的真假， 并说明理由．
(1)2a 的方向与 a 的方向相同，且 2a 的模是 a 的模的 2 倍； (2)－2a 的方向与 3a 的方向相反，且－2a 的模是 3a 模的23 倍； (3)－2a 与 2a 是一对相反向量； (4)a－b 与－(b－a)是一对相反向量．
【方法总结】 准确理解共线向量定理应注意以下几点： (1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数 λ，使 b ＝λa(a≠0)，则 a 与 b 共线；反之，若 a 与 b 共线(a≠0)，则必 存在一个实数 λ，使 b＝λa. (2)定理中，之所以限定 a≠0 是由于若 a＝b＝0.虽然 λ 仍然 存在，可是 λ 不唯一，定理的正反两个方面不成立． (3)若 a，b 不共线，且 λa＝μ b，则必有 λ＝μ＝0. (4)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来 表示，进而互相表示，从而判断共线．
答案：D
知识点二 向量线性运算的应用 3．如图，向量B→P＝14B→A，若O→P＝xO→A＋yO→B，则 x－y＝ ________.
解析：O→P＝O→A＋A→P＝O→A＋34A→B ＝O→A＋34(O→B－O→A)＝14O→A＋34O→B. 又∵O→P＝xO→A＋yO→B. ∴x＝14，y＝34，x－y＝14－34＝－12. 答案：－12
3．向量共线定理应注意什么？ 答：向量共线定理不包含 0 与 0 共线的情况，因为 a≠0. 定理中 a≠0 不能漏掉．若 a＝b＝0，实数 λ 仍然存在，但 λ 是任意实数，不唯一；若 a＝0，b≠0，则不存在实数 λ，使 b ＝λa.
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典例精析 规律总结
类型 1 向量的数乘的定义
练一练 (3) 已知向量A→B＝a＋3b，B→C＝5a＋3b，C→D＝－3a ＋3b，则( )
A．A，B，C 三点共线 B．A，B，D 三点共线 C．A，C，D 三点共线 D．B，C，D 三点共线 解析：B→D＝B→C＋C→D＝5a＋3b＋3b－3a＝2a＋6b＝2A→B， ∴A→B∥B→D，即 A、B、D 三点共线． 答案：B
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解：设B→P＝λB→N，又A→N＝13N→C， ∴A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋λB→N＝A→B＋λ(B→A＋A→N) ＝(1－λ)A→B＋λA→N
＝(1－λ)A→B＋4λA→C. 又A→P＝mA→B＋121A→C，
1－λ＝m， ∴4λ＝121，
∴m＝131.
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【解】 (1)真命题． ∵2a＝a＋a 与 a 方向相同，且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|. (2)真命题．∵－2a＝(－a)＋(－a)与－a 同方向，3a＝a＋a ＋a 与 a 同方向，由于－a 与 a 反方向，故－2a 与 3a 反方向， 又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a 的模是 3a 模的23倍． (3)真命题．∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，故－2a 与 2a 是一 对相反向量． (4)假命题．∵－(b－a)与 b－a 是一对相反向量，a－b 与 b －a 是一对相反向量，∴－(b－a)与 a－b 是相等的．
已知两个向量 e1，e2 不共线.A→B＝2e1＋λ e2，C→B＝e1＋3e2，C→D＝2e1－e2，若 A，B，D 三点共线，试求 λ 的值．
解：∵B→D＝C→D－C→B＝2e1－e2－e1－3e2＝e1－4e2， 又∵A、B、D 三点共线， ∴A→B∥B→D，即存在实数 μ 使 A→B＝μB→D， ∴2e1＋λe2＝μ(e1－4e2)，∴2λ＝＝－μ，4μ， ∴λ＝－8.
判断向量 a＝－2e，b＝3e 是否共线．
【错解】 ∵a＝－2e，b＝3e， ∴b＝－32a，即存在 λ＝－32，使得 b＝λa，b 与 a 共线．
【错因分析】 对共线向量定理中条件 a≠0 理解不够深刻， 忽视对 e 是否为零向量的讨论．实际上在解答本类题时要时刻 关注一些特殊情况，如零向量等．
第二章 平面向量
§3 从速度的倍数到数乘向量 数乘向量
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
|学 习 目 标| 1．掌握向量数乘的运算及其运算律． 2．理解数乘向量的几何意义． 3．掌握向量共线的判定定理和性质定理.
1．数乘向量 一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个_向__量___，记作__λ_a_.它 的长度为___|λ_a_|＝__|_λ_||a_|__，它的方向：当 λ＞0 时，λa 与 a 的 _方__向__相__同___；当 λ＜0 时，λa 与 a 的_方__向__相__反___；λ＝0 时，λa ＝__0__，方向_任__意___．
【方法总结】 向量数乘的结果仍是向量，因此需从两方 面去理解，一是方向，一是大小．
已知 λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确
命题的个数为( )
①λ＜0，a≠0，λa 与 a 的方向一定相反；
②λ＞0，a≠0，λa 与 a 的方向一定相同；
③λ≠0，a≠0，λa 与 a 是共线向量；
④λμ＞0，a≠0，λa 与 μa 的方向一定相同；
答案：D
类型 2 向量的线性运算
计算：(1)3(6a＋b)－9a＋13b； (2)123a＋2b－a＋12b－212a＋38b； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
【解】 (1)3(6a＋b)－9a＋13b＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2)123a＋2b－a＋12b－212a＋38b＝ 122a＋32b－a＋34b＝a＋34b－a－34b＝0. (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a＝10a－8b＋2c－3a＋9b －3c－7a＝b－c.
【解】 (1)证明：∵A→B＝e1＋e2，B→D＝B→C＋C→D＝ 2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5A→B. ∴A→B，B→D共线，且有公共点 B，∴A、B、D 三点共线． (2)∵ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线， ∴存在 λ，使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2， 由于 e1 与 e2 不共线， 只能有kλk－－λ＝ 1＝0， 0， ∴k＝±1.
解：(1)原式＝112(4a＋16b－16a＋8b) ＝112[(4－16)a＋(16＋8)b] ＝－a＋2b＝2b－a. (2)原式＝234a－3b＋13b－32a＋74b ＝234－32a＋－3＋13＋74b ＝2352a－1112b＝53a－1118b.
类型 3 向量共线定理的应用
已知非零向量 e1，e2 不共线． (1)如果A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋8e2，C→D＝3(e1－e2)，求证： A，B，D 三点共线； (2)欲使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线，试确定实数 k 的值．
【方法总结】 向量的数乘运算类似于代数多项式的运算， 主 要 是 “ 合 并 同 类 项 ”“ 提 取 公 因 式 ” ， 但 这 里 的 “ 同类 项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．向量也可以 通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的 方法求解．
化简下列各式： (1)112[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]； (2)234a－3b＋13b－146a－7b.
4．已知实数 m，n，向量 a，b，给出下列命题： ①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na； ③若 ma＝mb，则 a＝b；④若 m a＝na(a≠0)，则 m＝n. 其中正确命题的序号是________．
答案：①②④
5．如图，在△ABC 中，A→N＝13N→C，P 是 BN 上一点，若A→P ＝mA→B＋121A→C，求实数 m 的值．
1．从代数角度怎样理解数乘向量？ 答：从代数角度来看，①λ 是实数，a 是向量，它们的积仍 然是向量；②λa＝0 的条件是 a＝0 或 λ＝0.
2．怎样从几何角度理解向量的数乘？
答：从几何的角度来看，对于向量的长度而言，①当|λ|＞1 时，有|λa|＞|a|，这意味着表示向量 a 的有向线段在原方向(λ＞ 0)或反方向(λ＜0)上伸长到原来的|λ|倍；②当 0＜|λ|＜1 时，有|λa| ＜|a|，这意味着表示向量 a 的有向线段在原方向(0＜λ＜1)或反 方向(－1＜λ＜0)上缩短到原来的|λ|倍．
⑤λμ＜0，a≠0，λa 与 μa 的方向一定相反．
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：要判断 λa 与 a 的方向，必须弄清楚 λ 的符号，再根 据数乘向量的定义判断．根据实数 λ 与向量 a 的积 λa 的方向规 定，易知①②③正确；对于命题④，当 λμ＞0 时，λ 与 μ 同为正 数或同为负数，所以 λa 与 μa 或者都与 a 同向，或者都与 a 反 向，从而 λa 与 μa 同向，命题④正确；对于命题⑤，当 λμ＜0 时，λ 与 μ 异号，则 λa 与 μa 一个与 a 同向，一个与 a 反向，因 而 λa 与 μa 的方向一定相反，命题⑤正确．综上所述，本题应 选 D．
练一练
(1)
对于任意非零向量

a
，
向
量
a |a|
表
示
与
向
量
a________(填“同”或“反”)向的单位向量．
答案：同
3．实数与向量积的运算律 设 a，b 为向量，λ，μ 为实数，则有如下运算律： λ(μa)＝___λ_μ_a_____， (λ＋μ)a＝__λ_a_＋__μ_a___， λ(a＋b)＝__λ_a_＋__λ_b___. 4．线性运算 向量的加法、减法和_实__数__与__向__量__积___的综合运算，通常叫 作向量的线性运算(或线性组合)．
A．2a C．0
B．23b D．0
解析：原式＝25a－25b－23a－43b＋145a＋2165b ＝25－23＋145a＋2165－25－43b＝0·a＋0·b＝0. 故选 C．
答案：C
2．式子 4(a－b)－3(a＋b)－b 等于( )
A．a－2b
B．a
C．a－6b
D．a－8b
解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.