高考数学 命题角度6.5 恒成立与存在性问题大题狂练 文

命题角度5：恒成立与存在性问题
1.已知a＜0，曲线f（x）=2ax2+bx+c与曲线g（x）=x2+alnx在公共点（1，f（1））处的切线相同．
（Ⅰ）试求c-a的值；
（Ⅱ）若f（x）≤g（x）+a+1恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）c-a=-1（2）a∈[-1，0）．
【解析】试题分析：（I）利用列方程组，即可求得的值.（II）构造函数
，将不等式恒成立问题转化为恒成立问题来解.利用导数可求得函数最大值.
(Ⅱ)设，则，恒成立，
∵，
∴，
法一：由，知和在上单调递减，
得在上单调递减，
又，
得当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
得，由题意知，得，
所以．
点睛：本题考查函数导数与切线，考查函数导数与不等式恒成立问题的求解策略.根据题目的已知条件“同一点的切线相同”也即是分成两个条件：切点相同、在切点的斜率也相同.根据
这两个条件可以得到两个方程，但是一共有个参数，故无法解出个未知的参数，只能用作差的方法求得的值. 2.设函数()2x
f x e ax =--
（1）求()f x 的单调区间；
（2）若1,a k =为整数，且当0x >时，
()11
k x
f x x '-<+ 恒成立，其中()f x '为()f x 的导函数，求k 的最大值. 【答案】（1）f （x ）在（-∞，lna ）单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增（2）2 【解析】试题分析：（1）先求导数，根据a 的大小讨论导函数是否变号：若a≤0，导函数恒非负，为单调增区间；若a ＞0，导函数符号变化，先负后正，对应先减后增（2）分类变量得
11x x k x e +<
+- ，再利用导数求()1
1
x
x g x x e +=+-最小值：在极小值点0x 取最小值，根据极值定义得0
02x e
x =+ 及零点存在定理确定范围()01,2x ∈ ，化简最小值为01x +，并确定其
范围为（2,3） ，因此可得正整数k 的最大值.
试题解析：（1）函数f （x ）=e x -ax-2的定义域是R ，f′（x ）=e x
-a ，
若a≤0，则f′（x ）=e x -a≥0，所以函数f （x ）=e x
-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增
若a ＞0，则当x ∈（-∞，lna ）时，f′（x ）=e x
-a ＜0；
当x ∈（lna ，+∞）时，f′（x ）=e x
-a ＞0；
所以，f （x ）在（-∞，lna ）单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增
（2）由于a=1，
令，，
令，
在
单调递增，
且在上存在唯一零点，设此零点为
，则
当
时，
，当
时，
，
由
，又
所以的最大值为2
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 3.已知函数()ln f x x x x a =-+的极小值为0. （1）求实数a 的值；
（2）若不等式()()2
1f x b x <-对任意()1,x ∈+∞恒成立，求实数b 的取值范围.
【答案】（1）1a =；（2）1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】试题分析：（1）由极小值的定义知道，只需要令()'0f x =，解得1x =，且描述1
x =两侧的单调性；（2）原式子转化为()2
11
ln 0b x x x x
-+--
<在()1,+∞上恒成立；求导
()()()
2
11'x bx b h x x -+-=-
，研究导函数的正负即可，从而得到函数的单调性和最值即可。

（1）∵()'ln f x x =，令()'0f x =，解得1x =，
∴()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()f x 的极小值为()11f a =-+， 由题意有10a -+=，解得1a =.
（2）由（1）知不等式()2
ln 11x x x b x -+<-对任意()1,x ∈+∞恒成立，∵0x >，
∴()2
11
ln 0b x x x x
-+--
<在()1,+∞上恒成立，∵不妨设()()2
11
ln b x x h x x x
-+-=-
，
()1,x ∈+∞，则()()()
2
11'x bx b h x x
-+-=-
.
当0b ≤时， 10bx b +-<，故()'0h x >，∴()h x 在()1,+∞上单调递增，从而
()()10h x h >=，∴()0h x <不成立.当0b >时，令()
()()2
11'x bx b h x x -+-=-
，解得
11x b =
-，若111b ->，即102b <<，当11
,1x b ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时， ()'0h x >， ()h x 在11,1b ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上为增函数，故()()10h x h >=，不合题意；若
111b -≤，即1
2
b ≥，当()1,x ∈+∞时， ()'0h x <， ()h x 在()1,+∞上为减函数，故()()10h x h <=，符合题意.综上所述， b 的
取值范围为1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
点睛：本题考查导数在研究函数极值与最值的过程中的应用；第二问恒成立求参的问题，解
决方法有如下几种：第一，可以考虑参变分离，再转化为函数最值问题；第二，直接含参讨论，研究函数的单调性和最值。

4.设函数()2
1x
f x e x ax =--- (e 为自然对数的底数），a R ∈.
（1）证明：当2212a n <-时， ()f x '没有零点；
（2）若当0x >时， ()0f x x +≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）(]
,1e -∞-
【解析】试题分析：（1）由()0f x '=，令()x
g x e =， ()2x x a ϕ=+，把()f x '没有零点，
可以看作函数()g x 与()x ϕ的图象无交点，求得直线()x ϕ与曲线()g x 无交点，即可得到结论.
（2）由题意，分离参数得11x e a x x x ≤--+，设出新函数()1
1x e h x x x x
=--+，得出函数()h x 的单调性，求解函数()h x 的最小值()1h ，即可求解a 的取值范围.
解法二：由()f x 0'=得x e 2x a =+，令()x
g x e =， ()φx 2x a =+，
则()f x '没有零点，可以看作函数()g x 与()φx 的图象无交点， 设直线()φx 切()g x 于点()00P x ,y ，则0
x e
2=，解得0x ln2=，
∴()P ln2,2，代入()φx 得a 22ln2=-，又a 221n2<-， ∴直线()φx 与曲线()g x 无交点，即()f x '没有零点. （2）当x 0>时， ()f x x 0+≥，即x 2e x ax x 10--+-≥，
∴x
2
ax e x x 1≤-+-，即x e 1
a x 1x x
≤--+. 令()()x e 1
h x x 1x 0x x =--+>，则()()()
x 2
x 1e x 1h x x ---='. 当x 0>时， x
e x 10-->恒成立，
令()h x 0'<，解得0x 1<<；令()h x 0'>，解得x 1>， ∴()h x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增， ∴()()min h x h 1e 1==-.∴a 的取值范围是(]
,e 1∞--.
点睛：本题主要考查了导数在函数问题的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用求解函数的极值与最值，以及导数的几何意义等知识点的综合运用，同时着重考查了分离参数思想和构造函数思想方法的应用，本题的解答中根据题意构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键，试题综合性强，难度较大，属于难题，平时注重总结和积累. 5. 已知函数()()
21ln f x a x x =++ （1）讨论函数()0f x '＞的单调性；
（2）若对任意()4,2a ∈--及[]
1,3x ∈，恒有()2
ma f x a ->成立，求实数m 的取值集合.
【答案】（Ⅰ）当0a ≥时， ()`0f x 〉在()0,+∞上是增函数；(2)m≤-2 【解析】试题分析：
(1)首先求得函数的导函数，然后结合题意分类讨论即可确定函数的单调性；
(2)将原问题转化为()2
max ma a f x ->，结合函数的性质即可求得实数m 的取值集合为
{|2}m m ≤-.
试题解析：
解: （Ⅰ）()1221
2(0)ax f x ax x x x
+=+
>'= ①当0a ≥时，恒有()0f x '>，则()'0f x 〉在()0,+∞上是增函数；
②当0a <时，当0x << ()0f x '>，则()`0f x 〉在⎛ ⎝上是增函数；
当x >
()0f x '<，则()'0f x 〉在⎫+∞⎪⎪⎭
上是减函数
综上，当0a ≥时， ()'0f x 〉在()0,+∞上是增函数；当0a <时， ()`0f x 〉在⎛
⎝
上
是增函数， ()`0f x 〉在⎫+∞⎪⎪⎭
上是减函数
6.已知函数.
（1）若，求函数的最小值； （2）当时，若对
，
，使得
成立，求
的范围.
【答案】（1）当
时的最小值为
，当
时的最小值为,当
时，
最小值为
.（2）
【解析】试题分析：（1）本问考查利用导数求函数的最值，对函数
求导数，
，令
得
，对
分类讨论，当
，
，
时，分别讨论函数在区间上的单调性，从而求出函数的最小值；（2）本问主要
考查“任意”、“存在”问题的等价转化，对
，
，使得
成立”等价于“
在上的最小值不大于在上
的最小值”.即
由（1）问易得到函数的最小值，然后通过对的讨论求
即可.
试题解析：(I)
，令
得
.
当即时，在上，递增，的最小值为
.
当即时，在上，为减函数，在上
，为增函数. ∴的最小值为.
当即时，在上，递减，的最小值为
.
综上所述，当时的最小值为，当时的最小值为,当
时，最小值为.
(II)令
由题可知“对，，使得成立”
等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”.
即
由(I)可知，当时，.
当时，，
①当时，
由得，与矛盾，舍去.
②当时，
由得，与矛盾，舍去.
③当时，
由得
综上，的取值范围是.
考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数研究函数的最值；3.任意、存在问题的转化；4.分类讨论思想的应用.
方法点睛：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容是考查的重点.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，
另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“任意”和“存在”问题的等价转化，可以简化解题过程.本题对，
，使得
成立”等
价于“
在
上的最小值不大于
在
上的最小值”.
7.已知函数()2
2ln 311f x x x x =--.
（1）求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程；
（2）若关于x 的不等式()()()2
32132f x a x a x ≤-+--恒成立，求整数a 的最小值.
【答案】(1) 151y x =-+;(2) 1.
【解析】试题分析：（1）先求函数的导数，并且求()1f ' 和()1f ，根据切线方程()()()111y f f x '-=- ，
写出切线方程；（2）令()()()()232131g x f x a x a x =----- ，
首先求函数得到导数，讨论当0a > 和0a ≤ 两种情况讨论函数的最大值，令最大值小于等于0，求得a 的值.
试题解析：(1)因为()()()2
'611,'115,114f x x f f x
=
--=-=-，所以切线方程为()14151y x +=--，即151y x =-+.
(2)令()()()()()2
2
321312ln 221g x f x a x a x x ax a x =-----=-+--，所以
()()()222222
'222ax a x g x ax a x x
-+-+=-+-=，当0a ≤时，因为0x >，所以
()'0g x >，
所以()g x 是()0,+∞上的递增函数，又因为()1221310g a a a =-+--=-+>，所以关于x 的不等式()()()2
32131
f
x a x a x ≤-+-+，不能恒成立，当0a >时， ()()()21212222'a x x ax a x a g x x x ⎛
⎫--+ ⎪-+--⎝⎭==，令()'0g x =，得1x a =，所以当
10,x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，
()'0g x >；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'0g x <，因此函数()g x 在10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭上是增函数，在
1,a ⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭
上是减函数，故函数()g x 的最大值为11112ln 32ln 30g a a a a a ⎛⎫=+-=--≤ ⎪⎝⎭，
令()1
2ln 3h a a a
=
--，则 ()h a 在()0,+∞上是减函数，因为()120h =-<，所以当1a ≥时， ()0h a <，所以整数a
的最小值为1.
【点睛】不等式恒成立求参数取值范围是高考热点，本题是当()()f x h x ≤恒成立时，求参数取值范围，一般变形为()()0f x h x -≤恒成立，求函数()()f x h x -的最大值小于等于0，或参变分离转化为函数最值问题.
8.已知函数()()2
14ln ,f x a x x a R =+-∈. (1)若1
2
a =
，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)若对任意[]
()1,,1x e f x ∈<恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 240x y +-=; (2) 1,
4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
. 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，计算()()1,'1f f ,根据点斜式可求切线方程；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出()f x 的最大值，结合对任意[]
()1,,1x e f x ∈<恒成立，求出a 的取值范围即可. 试题解析：(1)由12a =，得()()2
114ln 2
f x x x =+-，则()12f = 又()4
1f x x x
=+-
'， ()12f '=-. 所以曲线()f x 在点()1,2处的切线方程为()221y x -=--，即240x y +-=. (2)已知对任意[]
()1,,1x e f x ∈<恒成立，
()()()
2
22
421,0ax ax f x a x x x x
+-+-='=>
令()2
2g x ax ax =+-
①当0a =时， ()4ln f x x =-
()4
0f x x
=-
<'， ()f x 在[]1,e 上单调递减， ()()max 101f x f ==<，恒成立.
②当0a <时，二次函数()g x 的开口方向向下，对称轴为1
2
x =-
，且()020g =-<， 所以当[]1,x e ∈时， ()0g x <， ()0f x '<， ()f x 在[]
1,e 上单调递减， ()()max 101f x f ==<，恒成立.
③当0a >时，二次函数()g x 的开口方向向上，对称轴为12
x =-， 所以()g x 在()0,+∞上单调递增，且()020g =-<， 故存在唯一()00,x ∈+∞，使得()00g x =，即()00f x '=. 当00x x <<时， ()0g x <， ()0f x '<， ()f x 单调递减； 当0x x >时， ()0g x >， ()0f x '>， ()f x 单调递增. 所以在[]
1,e 上， ()()()max 1,f x f f e =. 所以()()11{
1
f f e <<得14a <
， 综上,得取值范围是1,
4⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
. 【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值
()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ③ 求得a 的范围的.
9.已知函数()()ln f x x a x a R =-∈.
（1）当2a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）设函数()()1a
h x f x x
+=+，求函数()h x 的单调区间； （3）若()1a
g x x
+=-
，在[]()1,2.71728e e =上存在一点0x ，使得()()00f x g x ≤成立，
求a 的取值范围.
【答案】（1）20x y +-=；（2）详见解析；（3）21
1
e a e +≥-或2a ≤-.
【解析】试题分析：（1）中求的是在x=1的切线方程，所以直接出函数在x=1的导数，和切
点即可解决。

（2）求单调性区间，先注意定义域，再求导数等于0的根，一般对于含参的问题，我们先看是否能因式分解。

（3）存在()()00f x g x ≤成立，先变形为()()00f x g x 0-≤，从而构造函数()1a
h x x alnx x
+=-+在[]1,e 上的最小值()min h x 0⎡⎤≤⎣⎦.同时注意第（2）问己求对本问的应用。

试题解析：
（1）当2a =时， ()()2ln ,11f x x x f =-=，切点()1,1， 所以()2
1f x x
'=-
，所以()1121k f ==-=-'， 所以曲线()f x 在点()1,1处的切线方程为： ()11y x -=--，即20x y +-=. （2）()1ln a
h x x a x x
+=-+
，定义域为()0,+∞， ()()()()2
222
11111x x a x ax a a a h x x x x x ⎡⎤+-+--++⎣='⎦=--=
，
（3）由题意可知，在[]
1,e 上存在一点0x ，使得()()00f x g x ≤成立， 即在[]
1,e 上存在一点0x ，使得()00h x ≤， 即函数()1ln a
h x x a x x
+=-+在[]1,e 上的最小值()min 0h x ⎡⎤≤⎣⎦. 由第（2）问，
①当1a e +≥，即1a e ≥-时， ()h x 在[]
1,e 上单调递减， 所以()()min
10a
h x h e e e
+⎡⎤==+≤⎣⎦
，
所以211e a e +≥-，因为2111e e e +>--，所以211e a e +≥-； ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]
1,e 上单调递增，
所以()()min
1110h x h a ⎡⎤==++≤⎣⎦
，所以2a ≤-；
③当11a e <+<，即01a e <<-时， ()()()min
12ln 10h x h a a a a ⎡⎤=+=+-+≤⎣⎦
，
因为()0ln 11a <+<，所以()0ln 1a a a <+<，所以()12h a +>， 此时不存在0x 使得()00h x ≤成立. 10.已知函数()()2ln 1f x x x ax =--+．
（1）若()f x 在区间()1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若存在唯一整数0x ，使得()00f x <成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(]
,1-∞-（2）1ln31,2
3+⎛⎤
⎥⎝⎦ 【解析】试题分析：（1）本问考查利用导数研究函数单调性，由函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增，则()0f x '≥在()1,+∞上恒成立，即()2
ln 10f x x a x
=--'+≥在()1,+∞上恒成立，采用参变分离的方法，将问题转化为2
ln 1a x x
≤+-
在()1,+∞上恒成立，设函数()2
ln 1g x x x
≤+-
，于是只需满足()min a g x ≤即可，问题转化为求函数()g x 的最小值；（2）存在唯一整数0x ，使得()00f x <，即()0002ln 1x x ax -<-，于是问题转化为存在唯一一个整数 0x 使得函数()2ln y x x =-图像在直线1y ax =-下方，于是可以画出两个函数图像，结合图像进行分析，确定函数在1,2,3x =时图像之间的关系，通过比较斜率大小来确定a 的取值范围.
（2）不等式()00f x <即()0002ln 1x x ax -<-， 令()()()2ln ,0,1g x x x x h x ax =->=-， 则()2
ln 1g x x x
+'=-
， ()g x '在()0,+∞上单调递增， 而()()110,2ln20g g ''=-=， ∴存在实数()1,2m ∈，使得()0g m '=，
当()1,x m ∈时， ()0g x '<， ()g x 在()1,m 上单调递减；
当(),x m ∈+∞时， ()0g x '>， ()g x 在(),m +∞上单调递增，∴()()min g x g m =.
()()120g g ==，画出函数()g x 和()h x 的大致图象如下，
()h x 的图象是过定点()0,1C -的直线，
由图可知若存在唯一整数0x ，使得()00f x <成立，则需{}min ,BC AC DC k a k k <≤，
而
ln312ln3
10
33
AC DC
k k
+-
-=-=>，∴
AC DC
k k
>．
∵
1
2
BC
k=，∴
1ln31
23
a
+
<≤．
于是实数a的取值范围是
1ln31
,
23
+
⎛⎤ ⎥⎝⎦
．
考点：1.利用导数研究函数极值；2.函数、导数的综合应用；3.数形结合思想方法.
点睛：导数是高考中的高频考点，同时也是初等数学与高等数学的重要衔接.利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容，使函数内容更加丰富，更加充盈.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“恒成立”问题和“有解”问题的等价转化，可以简化解题过程.还有在求参数取值范围时，可以考虑到分离参数方法或分类讨论的方法，同时数形结合也是解题时必备的工具.。