第九单元 圆第31课时 弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积
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2．[2015·达州]如图31－8，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针 旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是 ( B)
A．12π
B．24π
图31－8 C．6π
D．36π
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备考基础 归类探究 练出高分
【解析】 ∵AB＝AB′＝12， ∠BAB′＝60°， ∴图中阴影部分的面积是：
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备考基础 归类探究 练出高分
2．圆的周长与弧长公式 圆的周长：若圆的半径是R，则圆的周长c＝___2_π_R___.
弧长公式：若一条弧所对的圆心角是n°，半径是R，则弧长
nπR 是l＝___1_8_0___.
3．扇形的面积公式
nπR2
(1)对于半径是R，圆心角是n°的扇形的面积是S＝__3_6_0__
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备考基础 归类探究 练出高分
1．[2015·巴中]圆心角为60°，半径为4 cm的扇形的弧长为 ____43_π___cm. 【解析】 l＝n1π80R＝60π18×0 4＝43π.
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2．[2015·温州]已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的 半径为___3___． 【解析】 ∵l＝n1π80R， ∴R＝18102×0π2π＝3. 【点悟】 熟练掌握弧长公式，理解弧长公式 l＝n1π80R中 各个量所代表的意义．
(2)连结OE. ∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°， ∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°， ∴∠BAC＝45°. ∵OA＝OE， ∴∠AOE＝90°. ∵⊙O的半径为4， ∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8. ∴S阴影＝S扇形AOE－S△AOE＝4π－8.
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图31－5
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︵︵︵ 【解析】 CD，DE，EF的圆心角都是 120 度，半径分别是 1， 2，3，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧长的和 就是所求曲线的长． C︵D的长是1201π80×1＝2π 3 ， D︵E的长是1201π80×2＝4π 3 ， E︵F的长是1201π80×3＝2π， 则曲线 CDEF 的长是2π 3 ＋4π 3 ＋2π＝4π.故答案是 4π.
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1．[2015·达州]已知正六边形 ABCDEF 的边心距为 3 cm，则 正六边形的半径为_____2____cm.
【解析】 如答图所示，连结OA，OB， 过O作OD⊥AB， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠OAD＝60°， ∴OD＝OA·sin∠OAB＝ 23AO＝ 3 cm. 解得 AO＝2 cm.
1．[2014·资阳]如图31－7，扇形AOB中，半径OA＝2，∠AOB
＝120°，C是弧AB的中点，连结AC，BC，则图中阴影部
分的面积是
( A)
A.4π3 －2 3 C.4π3 － 3
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图31－7 B.2π3 －2 3 D.2π3 － 3
备考基础 归类探究 练出高分
【解析】 连结OC， ∵∠AOB＝120°，C为弧AB中点， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°， ∵OA＝OC＝OB＝2， ∴△AOC，△BOC是等边三角形， ∴AC＝BC＝OA＝2，
扇形的弧长为
(C)
3π A. 4 C．3π
B．2π D．12π
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3．[2015·常德]一个圆锥的底面半径为1 cm，母线长为2 cm，
则该圆锥的侧面积是___2_π____cm2(结果保留π)．
4．[2015·潍坊模拟]如图31－1，Rt△ABC中，
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【智慧锦囊】 正多边形的有关计算： (1)边长：an＝2Rn·sin18n0°； (2)周长：pn＝n·an； (3)边心距：rn＝Rn·cos18n0°； (4)面积：Sn＝12an·rn·n； (5)内角＝（n－2）n×180°； (6)外角＝36n0°； (7)圆心角＝36n0°.
①； 1
(2)对于弧长是l，半径是R的扇形的面积是S＝__2_l_R__②.
说明：当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时，选用公
式①；当已知半径R和弧长求扇形的面积时，应选用公式②.
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4．圆锥的侧面积和全面积 圆锥侧面展开图：沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面展开， 得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而 扇形的半径等于圆锥的___母__线___长． 圆锥侧面积与全面积：如图31－2，若圆锥的 底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积 S侧＝___π__rl____.全面积S全＝____π_r_2＋__π_r_l____. 图31－2
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备考基础 归类探究 练出高分
由正五边形的性质得，△ADE≌△ECD， ∴∠DCE＝∠EDF， ∴△CDE∽△DFE， ∴DCEE＝DEFE， ∴DE2＝EF·CE，故 D 说法正确．
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类型之二 弧长计算
如图 31－5，△ABC 是正三角形，曲线 CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中 ︵︵︵ CD，DE，EF，…的圆心按点 A，B，C 循环．如 果 AB ＝ 1 ， 那 么 曲 线 CDEF 的 长 是 ___4_π____(结果保留π)．
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【智慧锦囊】 圆锥的基本特征： (1)圆锥的母线长都相等； (2)圆锥的侧面展开图是半径等于母线长，弧长等于圆锥底面周 长的扇形．
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二、必会2 方法 1．三招教你求阴影部分的面积
思路：(1)将所求阴影部分的面积转化为已学过的易求图形 的面积和差； (2)适当作辅助线，将所求阴影部分面积割补为学过易求图 形的面积． 方法：(1)作差法；(2)割补法；(3)等积变形法． 2．解圆锥(柱)题的“四字诀”——展，围，转，剖 展：把一个圆锥(柱)的侧面沿着它的一条母线剪开后展在一 个平面上的一种活动； 围：将扇形围成圆锥侧面或矩形卷成圆柱侧面的一种活 全效学习 动学；案导学设计
变式跟进1答图
∴△AOC 的边 AC 上的高是 22－12＝ 3，
△BOC 边 BC 上的高为 3，
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备考基础 归类探究 练出高分
∴阴影部分的面积是 60π36×0 22－12×2× 3＋60π36×0 22－12×2× 3 ＝43π－2 3.
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第1题答图
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2．[2014·河北]如图 31－3，边长为 a 的正六边形内有两个三角形(数
据如图)，则SS阴 空影 白＝
(C )
A．3
B．4
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图31－3 C．5
D．6
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【解析】 如答图，∵三角形的斜边长为a，
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三、必明2 易错点
nπR
nπR2
1．在应用公式弧长l＝___1_8_0__与扇形的面积公式S＝___3_6_0__
计算时，“n”和“180”不再写单位．
2．(1)圆锥有无数条母线，圆锥的母线长不等于圆锥的高；(2)
圆锥的母线长为侧面展开后所得扇形的半径，注意与圆锥
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图31－6
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解：(1)证明：连结OD. ∵OB＝OD， ∴∠ABC＝∠ODB. ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∴∠ODB＝∠ACB. ∴OD∥AC. ∵DF是⊙O的切线， ∴DF⊥OD，∴DF⊥AC；
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例3答图
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∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，以AB为直
径的圆交BC于点D，则阴影部分的面积为 π
___2__－__1___.
图31－1
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[考点管理] 一、必知4 知识点 1．正多边形和圆
正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边 形． 正多边形的外接圆：经过一个正多边形的各个顶点的圆叫 做这个正多边形的___外__接__圆____； 圆内接正多边形：这个正多边形叫做圆内接正多边形． 正多边形的对称性：正多边形是轴对称图形，对称轴有无 数多条．
底面半径的区分．
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类型之一 正多边形的性质
[2015·广州]已知圆的半径是 2 3，则该圆的内接正六边形
的面积是
(C )
A．3 3
B．9 3
C．18 3
D．36 3
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【解析】 连结正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边 三角形， 等边三角形的边长是 2 3，高为 3， 因而等边三角形的面积是 3 3， ∴正六边形的面积＝18 3.
∴两条直角边长为12a， 23a，
∴S 空白＝12a· 23a＝ 43a2，
∵AB＝a，∴OC＝ 23a， ∴S 正六边形＝6×12a· 23a＝323a2，
变式跟进2答图
∴S 阴影＝S －S 正六边形 空白＝3 2 3a2－ 43a2＝54 3a2，
5 ∴S阴影＝
S空白
4433aa22＝5.
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果保留π)
( A)
A．24－4π C．32－8π 2
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图31－9 B．32－4π D．16
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【解析】 如答图连结AD，OD. ∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝8，
∴AD＝4 2，AO＝DO＝4.
∴阴影部分面积＝S 梯形 AODC－S 扇形 AOD ＝（4＋28）×4－90π36×0 42 ＝24－4π.故选 A.
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第31课时 弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积
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[小题热身]
1．正六边形的边心距与边长之比为
A. 3∶3
B. 3∶2
(B)
C．1∶2
D. 2∶2
2．[2014·云南]已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该
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类型之三 扇形的面积计算 [2015·丽水]如图31－6，在△ABC中，AB＝AC，以AB
为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的 切线DF，交AC于点F. (1)求证：DF⊥AC； (2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面 积．
∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，BA∥CE，AD∥BC，
AC∥DE，AC＝AD＝CE，
∴四边形ABCF是菱形，
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∴CF＝AF， ∴△CDF的周长等于CF＋DF＋CD， 即△CDF的周长等于AD＋CD， 故A说法正确； ∵四边形ABCF是菱形， ∴AC⊥BF， 设AC与BF交于点O， 由勾股定理得OB2＋OC2＝BC2， ∴AC2＋BF2＝(2OC)2＋(2OB)2＝4OC2＋4OB2＝4BC2， ∴AC2＋BF2＝4CD2. 故C说法正确；
S＝S扇形B′AB＋S半圆O′－S半圆O ＝60π36×0 122＋12π×62－12π×62 ＝24π.
变式跟进2答图
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3．[2015·日照]如图31－9，等腰直角△ABC中，AB＝AC＝8，
以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为(结
备考基础 归类探究 练出高分
转：圆锥(柱)可以看成是由一个直角三角形(矩形)旋转得到 的； 剖：对圆锥(柱)沿着它的轴将其一分为二，所得到的截面一 般是等腰三角形(矩形)，这个等腰三角形的腰长等于圆锥的 母线长，底边长等于圆锥的底面直径(矩形的一边长等于圆 柱的母线长，另一边长等于圆柱的底面直径)．
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3．[2014·莱芜]如图31－4，正五边形ABCDE中，
连结AC，AD，CE，CE交AD于点F，连结
BF，下列说法不正确的是
(B)
A．△CDF的周长等于AD＋CD
B．FC平分∠BFD C．AC2＋BF2＝4CD2
图31－4
D．DE2＝EF·CE
【解析】 ∵五边形ABCDE是正五边形，
A．12π
B．24π
图31－8 C．6π
D．36π
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【解析】 ∵AB＝AB′＝12， ∠BAB′＝60°， ∴图中阴影部分的面积是：
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2．圆的周长与弧长公式 圆的周长：若圆的半径是R，则圆的周长c＝___2_π_R___.
弧长公式：若一条弧所对的圆心角是n°，半径是R，则弧长
nπR 是l＝___1_8_0___.
3．扇形的面积公式
nπR2
(1)对于半径是R，圆心角是n°的扇形的面积是S＝__3_6_0__
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1．[2015·巴中]圆心角为60°，半径为4 cm的扇形的弧长为 ____43_π___cm. 【解析】 l＝n1π80R＝60π18×0 4＝43π.
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2．[2015·温州]已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的 半径为___3___． 【解析】 ∵l＝n1π80R， ∴R＝18102×0π2π＝3. 【点悟】 熟练掌握弧长公式，理解弧长公式 l＝n1π80R中 各个量所代表的意义．
(2)连结OE. ∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°， ∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°， ∴∠BAC＝45°. ∵OA＝OE， ∴∠AOE＝90°. ∵⊙O的半径为4， ∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8. ∴S阴影＝S扇形AOE－S△AOE＝4π－8.
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图31－5
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︵︵︵ 【解析】 CD，DE，EF的圆心角都是 120 度，半径分别是 1， 2，3，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧长的和 就是所求曲线的长． C︵D的长是1201π80×1＝2π 3 ， D︵E的长是1201π80×2＝4π 3 ， E︵F的长是1201π80×3＝2π， 则曲线 CDEF 的长是2π 3 ＋4π 3 ＋2π＝4π.故答案是 4π.
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1．[2015·达州]已知正六边形 ABCDEF 的边心距为 3 cm，则 正六边形的半径为_____2____cm.
【解析】 如答图所示，连结OA，OB， 过O作OD⊥AB， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠OAD＝60°， ∴OD＝OA·sin∠OAB＝ 23AO＝ 3 cm. 解得 AO＝2 cm.
1．[2014·资阳]如图31－7，扇形AOB中，半径OA＝2，∠AOB
＝120°，C是弧AB的中点，连结AC，BC，则图中阴影部
分的面积是
( A)
A.4π3 －2 3 C.4π3 － 3
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图31－7 B.2π3 －2 3 D.2π3 － 3
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【解析】 连结OC， ∵∠AOB＝120°，C为弧AB中点， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°， ∵OA＝OC＝OB＝2， ∴△AOC，△BOC是等边三角形， ∴AC＝BC＝OA＝2，
扇形的弧长为
(C)
3π A. 4 C．3π
B．2π D．12π
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3．[2015·常德]一个圆锥的底面半径为1 cm，母线长为2 cm，
则该圆锥的侧面积是___2_π____cm2(结果保留π)．
4．[2015·潍坊模拟]如图31－1，Rt△ABC中，
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【智慧锦囊】 正多边形的有关计算： (1)边长：an＝2Rn·sin18n0°； (2)周长：pn＝n·an； (3)边心距：rn＝Rn·cos18n0°； (4)面积：Sn＝12an·rn·n； (5)内角＝（n－2）n×180°； (6)外角＝36n0°； (7)圆心角＝36n0°.
①； 1
(2)对于弧长是l，半径是R的扇形的面积是S＝__2_l_R__②.
说明：当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时，选用公
式①；当已知半径R和弧长求扇形的面积时，应选用公式②.
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4．圆锥的侧面积和全面积 圆锥侧面展开图：沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面展开， 得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而 扇形的半径等于圆锥的___母__线___长． 圆锥侧面积与全面积：如图31－2，若圆锥的 底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积 S侧＝___π__rl____.全面积S全＝____π_r_2＋__π_r_l____. 图31－2
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由正五边形的性质得，△ADE≌△ECD， ∴∠DCE＝∠EDF， ∴△CDE∽△DFE， ∴DCEE＝DEFE， ∴DE2＝EF·CE，故 D 说法正确．
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类型之二 弧长计算
如图 31－5，△ABC 是正三角形，曲线 CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中 ︵︵︵ CD，DE，EF，…的圆心按点 A，B，C 循环．如 果 AB ＝ 1 ， 那 么 曲 线 CDEF 的 长 是 ___4_π____(结果保留π)．
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【智慧锦囊】 圆锥的基本特征： (1)圆锥的母线长都相等； (2)圆锥的侧面展开图是半径等于母线长，弧长等于圆锥底面周 长的扇形．
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二、必会2 方法 1．三招教你求阴影部分的面积
思路：(1)将所求阴影部分的面积转化为已学过的易求图形 的面积和差； (2)适当作辅助线，将所求阴影部分面积割补为学过易求图 形的面积． 方法：(1)作差法；(2)割补法；(3)等积变形法． 2．解圆锥(柱)题的“四字诀”——展，围，转，剖 展：把一个圆锥(柱)的侧面沿着它的一条母线剪开后展在一 个平面上的一种活动； 围：将扇形围成圆锥侧面或矩形卷成圆柱侧面的一种活 全效学习 动学；案导学设计
变式跟进1答图
∴△AOC 的边 AC 上的高是 22－12＝ 3，
△BOC 边 BC 上的高为 3，
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∴阴影部分的面积是 60π36×0 22－12×2× 3＋60π36×0 22－12×2× 3 ＝43π－2 3.
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第1题答图
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2．[2014·河北]如图 31－3，边长为 a 的正六边形内有两个三角形(数
据如图)，则SS阴 空影 白＝
(C )
A．3
B．4
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D．6
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【解析】 如答图，∵三角形的斜边长为a，
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三、必明2 易错点
nπR
nπR2
1．在应用公式弧长l＝___1_8_0__与扇形的面积公式S＝___3_6_0__
计算时，“n”和“180”不再写单位．
2．(1)圆锥有无数条母线，圆锥的母线长不等于圆锥的高；(2)
圆锥的母线长为侧面展开后所得扇形的半径，注意与圆锥
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图31－6
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解：(1)证明：连结OD. ∵OB＝OD， ∴∠ABC＝∠ODB. ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∴∠ODB＝∠ACB. ∴OD∥AC. ∵DF是⊙O的切线， ∴DF⊥OD，∴DF⊥AC；
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∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，以AB为直
径的圆交BC于点D，则阴影部分的面积为 π
___2__－__1___.
图31－1
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[考点管理] 一、必知4 知识点 1．正多边形和圆
正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边 形． 正多边形的外接圆：经过一个正多边形的各个顶点的圆叫 做这个正多边形的___外__接__圆____； 圆内接正多边形：这个正多边形叫做圆内接正多边形． 正多边形的对称性：正多边形是轴对称图形，对称轴有无 数多条．
底面半径的区分．
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类型之一 正多边形的性质
[2015·广州]已知圆的半径是 2 3，则该圆的内接正六边形
的面积是
(C )
A．3 3
B．9 3
C．18 3
D．36 3
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【解析】 连结正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边 三角形， 等边三角形的边长是 2 3，高为 3， 因而等边三角形的面积是 3 3， ∴正六边形的面积＝18 3.
∴两条直角边长为12a， 23a，
∴S 空白＝12a· 23a＝ 43a2，
∵AB＝a，∴OC＝ 23a， ∴S 正六边形＝6×12a· 23a＝323a2，
变式跟进2答图
∴S 阴影＝S －S 正六边形 空白＝3 2 3a2－ 43a2＝54 3a2，
5 ∴S阴影＝
S空白
4433aa22＝5.
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果保留π)
( A)
A．24－4π C．32－8π 2
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图31－9 B．32－4π D．16
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【解析】 如答图连结AD，OD. ∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝8，
∴AD＝4 2，AO＝DO＝4.
∴阴影部分面积＝S 梯形 AODC－S 扇形 AOD ＝（4＋28）×4－90π36×0 42 ＝24－4π.故选 A.
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第31课时 弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积
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[小题热身]
1．正六边形的边心距与边长之比为
A. 3∶3
B. 3∶2
(B)
C．1∶2
D. 2∶2
2．[2014·云南]已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该
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类型之三 扇形的面积计算 [2015·丽水]如图31－6，在△ABC中，AB＝AC，以AB
为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的 切线DF，交AC于点F. (1)求证：DF⊥AC； (2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面 积．
∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，BA∥CE，AD∥BC，
AC∥DE，AC＝AD＝CE，
∴四边形ABCF是菱形，
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∴CF＝AF， ∴△CDF的周长等于CF＋DF＋CD， 即△CDF的周长等于AD＋CD， 故A说法正确； ∵四边形ABCF是菱形， ∴AC⊥BF， 设AC与BF交于点O， 由勾股定理得OB2＋OC2＝BC2， ∴AC2＋BF2＝(2OC)2＋(2OB)2＝4OC2＋4OB2＝4BC2， ∴AC2＋BF2＝4CD2. 故C说法正确；
S＝S扇形B′AB＋S半圆O′－S半圆O ＝60π36×0 122＋12π×62－12π×62 ＝24π.
变式跟进2答图
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3．[2015·日照]如图31－9，等腰直角△ABC中，AB＝AC＝8，
以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为(结
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转：圆锥(柱)可以看成是由一个直角三角形(矩形)旋转得到 的； 剖：对圆锥(柱)沿着它的轴将其一分为二，所得到的截面一 般是等腰三角形(矩形)，这个等腰三角形的腰长等于圆锥的 母线长，底边长等于圆锥的底面直径(矩形的一边长等于圆 柱的母线长，另一边长等于圆柱的底面直径)．
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3．[2014·莱芜]如图31－4，正五边形ABCDE中，
连结AC，AD，CE，CE交AD于点F，连结
BF，下列说法不正确的是
(B)
A．△CDF的周长等于AD＋CD
B．FC平分∠BFD C．AC2＋BF2＝4CD2
图31－4
D．DE2＝EF·CE
【解析】 ∵五边形ABCDE是正五边形，