【高中教育】2020高中数学第二章空间向量与立体几何6距离的计算学案北师大版选修2_1

【20xx精选】最新高中数学第二章空间向量与立体几何6距离的计算学案北师大版选修2_1
学习目标1。

理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念。

2。

掌握点到直线的距离、点到平面的距离的计算。

3。

体会空间向量解
决立体几何问题的三步曲。

知识点一点到直线的距离
1。

点到直线的距离因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题
就是空间中某一平面内点到直线的距离问题。

如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点。

作AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度，而向量在s上的投影的大小____________等于线段PA′的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离d＝
__________________。

2。

点到直线的距离的算法框图
空间一点A到直线l的距离的算法框图，如图。

知识点二点到平面的距离
1。

求点到平面的距离如图，设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点。

作AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π的距离d等于线段AA′
的长度。

而向量在n上的投影的大小__________________等于线段AA′的______，所以点A到平面π的距离d＝____________。

答案精析
知识梳理
知识点一
1。

|·s0||PA→|2－|PA→·s0|2
知识点二
1。

|·n0|长度|·n0|
知识点三
相等
知识点四
公垂线公垂线段距离
题型探究
例1 解如图，连接AF。

∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，∴A(2,0,0)，
E(0,2,1)，F(1,0,2)。

∴直线EF的方向向量为＝(1，－2，1)，
取直线EF上一点F(1,0,2)，
∴点A(2,0,0)到直线EF上一点F(1,0,2)的向量为＝(－1,0,2)，∴在上的投影为·＝，
∴点A到直线EF的距离为
d＝＝。

跟踪训练1 解(1)A1C1∥l。

证明如下：
∵A1C1∥AC，A1C1⊈平面ABC，AC平面ABC，
∴A1C1∥平面ABC。

又∵平面A1C1B∩平面ABC＝l，
例3 (1)证明 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD′所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图。

由题意得＝(a,0,0)，
D′A′——→
＝(a,0,0)，
∴DA∥D′A′。

∵D′A′平面A′EFD′，AD ⊈平面A′EFD′， ∴AD∥平面A′EFD′。

(2)解 由题意得D′(0,0，a)，F(0，a ，)， ∴＝，＝。

设平面A′EFD′的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，
则即⎩⎨
⎧
ay －12az ＝0，
ax ＝0。

不妨令z ＝1，则n ＝(0，，1)。

∴在n 上的投影的大小为
d ＝＝a 。

∴直线AD 到平面A′EFD′的距离为a 。

跟踪训练3 解 如图，以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则
A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，，1)，C(0，，0)。

过点C 作AB 的垂线交AB 于点F ，易得BF ＝， ∴B(1,2，0)，
∴＝(0,2，0)，＝(－1，－，1)。

设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，
∴∴⎩⎪⎨
⎪⎧
23y ＝0，－x －3y ＋z ＝0，。