21高考数学人教A理科一轮复习攻略核心素养测评 六 函数的奇偶性对称性与周期性 含解析

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核心素养测评六
函数的奇偶性、对称性与周期性
(30分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性也相同的是
( ) A.y=- B.y=log2|x|
C.y=1-x2
D.y=x3-1
【解析】选C.函数y=-3|x|为偶函数,在(-∞,0)上为增函数,选项B的函数是偶函数,但其单调性不符合,只有选项C符合要求.
【变式备选】
下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的函数是( )
A.y=
B.y=|x|+1
C.y=-x2+1
D.y=2-|x|
【解析】选B.因为y=是奇函数,y=|x|+1,y=-x2+1,y=2-|x|均为偶函
数,所以A错误;又因为y=-x2+1,y=2-|x|=在(0,+∞)上均为减函数,只有y=|x|+1在(0,+∞)上为增函数,所以C,D错误.
2.已知函数f(x)=的图象关于原点对称,g(x)=ln (e x+1)-bx是偶函数,则log a b= ( )
A.1
B.-1
C.-
D.
【解析】选B.由题意得f(0)=0,所以a=2.
因为g(1)=g(-1),
所以ln (e+1)-b=ln +b,所以b=,所以log2=-1.
3.x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为( )
A.奇函数
B.偶函数
C.增函数
D.周期函数
【解析】选D.函数f(x)=x-[x]在R上的图象如图:
所以f(x)在R上是周期为1的函数.
【变式备选】
设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
【解析】选 C.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,故f(x)·g(x)为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数,f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)g(x)|为偶函数.
4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-1,2)
C.(-2,1)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
【解析】选C.因为f(x)是奇函数,
所以当x<0时,f(x)=-x2+2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象可知,
f(x)是R上的增函数,由f(2-a2)>f(a),
得2-a2>a,解得-2<a<1.
5.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且在[0,2)上单调递减,则下列结论正确的是( )
A.0<f(1)<f(3)
B.f(3)<0<f(1)
C.f(1)<0<f(3)
D.f(3)<f(1)<0
【解析】选 C.由函数f(x)是定义在R上的奇函数,得f(0)=0,由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故函数f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(3)=f(-1),
又f(x)在 [0,2)上单调递减,所以函数f(x)在(-2,2)上单调递减,所以f(-1)>f(0)>f(1),即f(1)<0<f(3),故选C.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)= ________.
【解析】令g(x)=ln(-x),则
g(-x)=ln(+x)=ln(+x)
=ln=-ln(-x)=-g(x),
所以g(x)是奇函数,由已知,f(x)=g(x)+1,
f(a)=g(a)+1=4,g(a)=3,
所以f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-2.
答案:-2
【变式备选】
函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,f(x)=________.
【解析】函数f(x)在R上为奇函数,f(-x)=-f(x);且x>0时,f(x)=x2-x,
则当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(x2+x)=-x2-x.
答案:-x2-x
7.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x 的取值范围是________.
【解析】因为f(2)=0,f(x-1)>0,
所以f(x-1)>f(2),又因为f(x)是偶函数,
所以f(|x-1|)>f(2),又f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以|x-1|<2,所以-2<x-1<2,
所以-1<x<3,所以x∈(-1,3).
答案:(-1,3)
8.定义:函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值之差为函数f(x)的极差.若定义在区间[-2b,3b-1]上的函数f(x)=x3-ax2-(b+2)x 是奇函数,则a+b= ________,函数f(x)的极差为________.
【解析】由f(x)在[-2b,3b-1]上为奇函数,所以区间关于原点对称,故-2b+ 3b-1=0,解得b=1,又由f(-x)+f(x)=0可求得a=0,所以a+b=1.又f(x)=x3-3x, f'(x)=3x2-3,易知f(x)在(-2,-1),(1,2)上单调递增,f(x)在(-1,1)上单调递减,所以在[-2,2]上的最大值、最小值分别为f(-1)=f(2)=2,f(1)=f(-2)=-2,所以极差为4.
答案:1 4
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求实数m的值.
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围. 【解析】(1)设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).
于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,
所以m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
结合f(x)的图象知所以1<a≤3,
故实数a的取值范围是(1,3].
10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x都有f=-f成立.
(1)证明y=f(x)是周期函数,并指出其周期.
(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.
(3)若g(x)=x2+ax+3,且y=|f(x)|·g(x)是偶函数,求实数a的值. 【解析】(1)由f=-f,
且f(-x)=-f(x),
知f(3+x)=f
=-f=-f(-x)=f(x),
所以y=f(x)是周期函数,且T=3是其一个周期.
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数,
所以f(0)=0,且f(-1)=-f(1)=-2,
又T=3是y=f(x)的一个周期,
所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.
(3)因为y=|f(x)|·g(x)是偶函数,
且|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,
所以|f(x)|为偶函数.故g(x)=x2+ax+3为偶函数,即g(-x)=g(x)恒成立,于是(-x)2+a(-x)+3=x2+ax+3恒成立.于是2ax=0恒成立,所以a=0.
(15分钟35分)
1.(5分)(2020·佛山模拟)若函数f(x)=(a∈R)为偶函数,则下列结论正确的是 ( )
A.f(a)>f(2a)>f(0)
B.f(a)>f(0)>f(2a)
C.f(2a)>f(a)>f(0)
D.f(2a)>f(0)>f(a)
【解析】选C.因为函数f(x)=(a∈R)为偶函数,
所以f(-1)=f(1),解得a=1.又因为函数在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
所以f(2a)>f(a)>f(0).
【变式备选】
设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )
A.f(x)+|g(x)|是偶函数
B.f(x)-|g(x)|是奇函数
C.|f(x)|+g(x)是偶函数
D.|f(x)|-g(x)是奇函数
【解析】选 A.由g(x)是奇函数,可得g(-x)=-g(x),所以|g(x)|=|g(-x)|,即|g(x)|为偶函数,又f(x)为偶函数,所以f(x)+|g(x)|为偶函数.
2.(5分)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( )
A.奇函数,且在(0,1)内是增函数
B.奇函数,且在(0,1)内是减函数
C.偶函数,且在(0,1)内是增函数
D.偶函数,且在(0,1)内是减函数
【解析】选 A.易知f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),则y=f(x)为奇函数,又y=ln(1+x)与y=-ln(1-x)在(0,1)上是增函数,所以f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)在(0,1)上是增函数.
3.(5分)(2020·海口模拟)设函数f(x)=,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是________.
【解析】因为f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,且x>0时,f(x)==1-,故f(x)单调递增,又f(0)=0,从而f(x)是R上的增函数,故f(x)>f(2x-1)等价于x>2x-1,解得x<1.
答案:(-∞,1)
【变式备选】
设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),则实数m的取值范围是________.
【解析】因为f(x)是偶函数,
所以f(-x)=f(x)=f(|x|).
所以f(1-m)<f(m)等价于f(|1-m|)<f(|m|).
又当x∈[0,2]时,f(x)是减函数,
所以解得-1≤m<.
答案:
4.(10分)已知函数f(x)=2|x-2|+ax(x∈R)有最小值.
(1)求实数a的取值范围.
(2)设g(x)为定义在R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式.
【解析】(1)f(x)=要使函数f(x)有最小值,需所以-2≤a≤2,
故a的取值范围为[-2,2].
(2)因为g(x)为定义在R上的奇函数,
所以g(0)=0.
设x>0,则-x<0.
所以g(x)=-g(-x)=(a-2)x-4,
所以g(x)=
5.(10分)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(π)的值.
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
【解析】(1)由f(x+2)=-f(x)得,
f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数,
所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)
=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),
得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],
即f(1+x)=f(1-x).
故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.
当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4.
【拓广探索练】
1.(2020·重庆模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(1-x)=f(1+x),当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则f(2 019)= ( )
A.1
B.-1
C.0
D.log23
【解析】选 B.因为奇函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),所以f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),
即f(x+2)=-f(x),
则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
即函数f(x)是周期为4的函数,
因为当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),
所以f(2 019)=f(505×4-1)=f(-1)
=-f(1)=-log22=-1.
2.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=2x,则有
①2是函数f(x)的周期;
②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;
③函数f(x)的最大值是1,最小值是0.
其中所有正确命题的序号是________.
【解析】在f(x+1)=f(x-1)中,令x-1=t,
则有f(t+2)=f(t),
因此2是函数f(x)的周期,故①正确;
当x∈[0,1]时,f(x)=2x是增函数,
根据函数的奇偶性知,f(x)在[-1,0]上是减函数,根据函数的周期性知,函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数,故②正确; 由②知,f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max=f(1)=2,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=20=1且f(x)是周期为2的周期函数,所以f(x)的最大值是2,最小值是1,故③错误.
答案:①②
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