学案10：§3.4 生活中的优化问题举例

§3.4 生活中的优化问题举例
自主预习·探新知
情景引入
现实生活中，当汽车行驶距离一定时，我们希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗量最少或每升汽油能够使汽车行驶最长的路程．
如何使汽油的使用效率最高？
新知导学
1．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中___________的取值范围．
2．实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值点就是______点． 3．解决优化问题的基本思路：
预习自测
1．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x (x ∈N *)满足y ＝－x 2＋12x －25，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大( ) A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
2．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－1
3x 3
＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件
D ．7万件
3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
400x －12x 2 (0≤x ≤400)
80 000 (x >400)
，则总利润最大时，每年
生产的产品是( ) A ．100 B ．150 C ．200
D ．300
4．在周长为l 的矩形中，面积的最大值为_______.
5．某蛋糕店某种蛋糕每个成本为6元，每个售价为x (6<x <11)元，该蛋糕年销售量为m 万个，若已知585
8－m 与⎝⎛⎭⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销售量为28万个． (1)求该蛋糕年销售利润y 关于售价x 的函数关系式；
(2)求售价为多少时，该蛋糕的年利润最大，并求出最大年利润．
互动探究·攻重难
互动探究解疑 命题方向1 利润最大问题
典例 1 当前，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生课外学习的一种趋势．假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的函数关系式为y ＝m
x －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售
出套题21千套． (1)求m 的值；
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(精确到0.1)
『规律方法』 利润最大，效率最高等实际问题，关键是弄清问题的实际背景，将实际问题用函数关系表达，再求解． 跟踪练习1
某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损
失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝
3x
4x＋32
(x
∈N＋)．
(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式；
(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？
命题方向2费用(用料)最省问题
典例2 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)
的函数解析式可以表示为：y＝1
128 000x3－3
80x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100 km.
(1)当汽车以40 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
『规律方法』本题属于费用最低问题，此种类型的题目解决的关键是正确地理解题意列出函数的解析式，利用导数求其最值时，要注意函数的定义域的限制．
跟踪练习2
某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p(万元)和
宿舍与工厂的距离x (km)的关系为：p ＝1 000
x ＋5(2≤x ≤8)．为了交通方便，工厂与宿舍之间还
要修一条简易便道，已知修路每公里成本为5万元，工厂一次性补贴职工交通费1
2(x 2＋25)
万元．设f (x )为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和． (1)求f (x )的表达式；
(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x )最小，并求最小值．
命题方向3 面积、容积最大问题
典例3 有一块边长为a 的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
『规律方法』 1.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：
(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )；
(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论．
其基本流程是
2．面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．
跟踪练习3
已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．
学科核心素养
解决优化问题的注意事项
解决生活中的优化问题应注意以下几点：
(1)当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，列出变量间的关系式．
(2)在建立函数模型的同时，应根据实际问题确定出函数的定义域，忽视定义域易造成错解．
(3)在实际问题中，由f′(x)＝0常常得到定义域内的根只有一个，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点处的函数值比较，也可以判断该极值就是最大(小)值．
(4)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的应舍去，例如：长度、宽度、销售价格应为正数．
(5)对实际应用问题能够进行数学建模，但在问题解决的过程中，如果含有字母参数，那么要注意分类讨论．在分类讨论的过程中，如果在定义域内f′(x)>0(或f′(x)<0)，那么可以直接根据单调性求最值．如果在定义域内f′(x)＝0有解，那么在极值点或端点处可取最值．如果采用换元法，那么要注意新变量的取值范围．
典例4 从边长为2a的正方形铁片的四个角各裁去一小块边长为x的正方形(如图)，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比值不超过常数t，那么x取何值时，容积V有最大值？
『规律方法』 解决优化问题的方法很多，如判别式法、基本不等式法、线性规则法、配方法、数形结合法和单调性法等．不少优化问题可以化为求函数的最值问题，导数方法是解决这类问题的有效方法． 跟踪练习4
受金融危机的影响，三峡某旅游公司经济效益出现了一定程度的滑坡．现需要对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x 万元之间满足：y ＝5150x －ax 2－ln x 10，x 2x －12∈[t ，＋∞)，其中t 为大于12的常数．当x ＝10时，y ＝9.2. (1)求y ＝f (x )的解析式和投入x 的取值范围； (2)求旅游增加值y 取得最大值时对应的x 值．
易混易错警示
含参数的函数求最值时，注意极值与参数取值的关系
典例5 甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．
(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
[错解] (1)依题意得汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为s v ，全程运输成本为y ＝a ·s
v ＋b v 2·s
v ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋b v ，所求函数及其定义域为y ＝s ⎝⎛⎭
⎫a v ＋b v ，v ∈(0，c ]．
(2)由题意知s 、a 、b 、v 均为正数， 由y ′＝s ⎝⎛⎭
⎫b －a
v 2＝0得v ＝±
a b ，又0<v ≤c ，所以当v ＝ab b
时，全程运输成本y 最小． [错解分析] 第(2)问中ab
b
与c 未进行比较大小而直接得出结论，故错误． [正解] ①若ab b ≤c ，则v ＝ab b 是使y 的导数为0的点，且当v ∈⎝
⎛⎦
⎤
0，a b 时，y ′≤0；v ∈⎣
⎡
⎦
⎤
a b ，c 时，y ′≥0.所以当v ＝ab b 时，全程运输成本y 最小． ②若
ab
b
>c ，v ∈(0，c ]，此时y ′<0，即y 在(0，c ]上为减函数．所以当v ＝c 时，y 最小． 综上可知，为使全程运输成本y 最小． 当ab b ≤c 时，行驶速度v ＝ab b ；当ab b
>c 时，行驶速度v ＝c .
参考答案
新知导学 1．自变量 2．最优 预习自测 1．【答案】C
【解析】由题意得每辆客车营运的年平均利润为y x ＝－x －25
x ＋12，
∴(y x )′＝－1＋25x 2＝25－x 2
x 2， 令25－x 2
x
2＝0，得x ＝5.
当0<x <5时，(y x )′>0，当x >5时，(y
x
)′<0，
∴当0<x <5时，年平均利润递增，当x >5时，年平均利润递减，即当x ＝5时，年平均利润取最大值． 2．【答案】C
【解析】∵y ＝－1
3x 3＋81x －234，∴y ′＝－x 2＋81(x >0)．
令y ′＝0得x ＝9，令y ′<0得x >9，令y ′>0得0<x <9， ∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减， ∴当x ＝9时，函数取得最大值．故选C ． 3．【答案】D
【解析】由题意，总成本为：C ＝20 000＋100x ，
所以总利润为P ＝R －C ＝⎩⎪⎨⎪⎧
300x －x 2
2－20 000 0≤x ≤40060 000－100x x >400
，
P ′＝⎩⎪⎨⎪
⎧
300－x 0≤x ≤400－100 x >400
，令P ′＝0，当0≤x ≤400时，得x ＝300；当x >400时，P ′<0
恒成立，易知当x ＝300时，总利润最大． 4．【答案】l 2
16
【解析】设一边长为x ，则另一边长为12(l －2x )，其面积S ＝12x (l －2x ) (0<x <l
2)，
由S ′＝12l －2x ＝0得x ＝l 4，此时S ＝l 2
16.
5．解：(1)由题意，设585
8－m ＝k ⎝⎛⎭⎫x －2142， 由x ＝10时，m ＝28，解得k ＝2， ∴m ＝－2⎝⎛⎭⎫x －2142＋585
8＝－2x 2＋21x ＋18. ∴y ＝m (x －6)＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6) ＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11)．
(2)∵y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x －2)(x －9)，
令y ′＝0，则x ＝9或x ＝2(舍)， 当6<x <9时y ′>0；当9<x <11时y ′<0.
∴故x ＝9，即售价为9元时，年利润最大，最大为135万元．
互动探究·攻重难
互动探究解疑 命题方向1 利润最大问题
典例1 解：(1)当x ＝4时，y ＝21，代入函数关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m
2＋16＝21，
解得m ＝10.
(2)由(1)可知，套题每日的销售量为y ＝10
x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润为
f (x )＝(x －2)·⎣⎡⎦
⎤10
x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，所以
f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)． 令f ′(x )＝0，得x ＝10
3
或x ＝6(舍去)．
当x ∈(2，103)时， f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(10
3，6)时， f ′(x )<0，函数f (x )单调
递减．
所以x ＝103是函数f (x )在区间(2,6)上的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝10
3≈3.3时，函
数f (x )取得最大值．
故当销售价格约为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大． 跟踪练习1
解：(1)由题意可知次品率p ＝日产次品数/日产量，每天生产x 件，次品数为xp ，正品数为x (1－p )． 因为次品率p ＝
3x
4x ＋32
，当每天x 件时， 有x ·3x
4x ＋32件次品，有x ⎝⎛⎭⎫1－3x 4x ＋32件正品．
所以T ＝200x ⎝⎛⎭⎫1－3x 4x ＋32－100x ·3x
4x ＋32
＝25·64x －x 2
x ＋8
(x ∈N ＋)．
(2)T ′＝－25·(x ＋32)·(x －16)
(x ＋8)2，由T ′＝0得x ＝16或x ＝－32(舍去)．当0<x ≤16时，T ′≥0；
当x ≥16时，T ′≤0；所以当x ＝16时，T 最大．即该厂的日产量定为16件，能获得最大日盈利．
命题方向2 费用(用料)最省问题
典例2 解：(1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了100
40＝2.5(h)，
要耗油⎝⎛⎭
⎫1128 000×403－3
80×40＋8×2.5＝17.5(L)． 答：当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 L. (2)当速度为x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了100
x h ，设耗油量为h (x )L.
依题意得h (x )＝⎝⎛⎭⎫1128 000x 3－380x ＋8·100
x ＝
11 280x 2＋800x －15
4
(0<x ≤120)， h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．
令h ′(x )＝0，得x ＝80.
当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； 当x ∈(80,120]时，h ′(x )>0，h (x )是增函数． ∴当x ＝80时，h (x )取到极小值h (80)＝11.25.
因为h (x )在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．
故当汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L. 跟踪练习2
解：(1)f (x )＝1 000x ＋5＋5x ＋1
2(x 2＋25)
整理得f (x )＝12(x ＋5)2＋1 000
x ＋5(2≤x ≤8)．
(2)f ′(x )＝(x ＋5)－1 000(x ＋5)2＝(x ＋5)3－1 000
(x ＋5)2
由f ′(x )＝0得x ＝5；
所以f (x )在[2,5]上单调递减，在[5,8]上单调递增； 故当x ＝5时，f (x )取得最小值150.
综上所述，宿舍应建在离工厂5 km 处，可使总费用f (x )最小，最小值为150万元． 命题方向3 面积、容积最大问题
典例3 解：设截下的小正方形边长为x ，容器容积为V (x )，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a －2x ，高为x ， V (x )＝(a －2x )2x,0<x <a
2.
即V (x )＝4x 3－4ax 2＋a 2x,0<x <a
2
.
实际问题归结为求V (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，a 2上的最大值点．为此，先求V (x )的极值点．在开区间⎝⎛⎭
⎫0，a 2内， V ′(x )＝12x 2－8ax ＋a 2.
令V ′(x )＝0，得12x 2－8ax ＋a 2＝0.
解得x 1＝16a ，x 2＝12
a (舍去)． x 1＝16
a 在区间⎝⎛⎭⎫0，a 2内，x 1可能是极值点．且 当0<x <x 1时，V ′(x )>0；
当x 1<x <a 2
时，V ′(x )<0. 因此x 1是极大值点，且在区间⎝⎛⎭⎫0，a 2内，x 1是惟一的极值点，所以x ＝16a 是V (x )的最大值点． 即当截下的小正方形边长为16
a 时，容积最大． 跟踪练习3
解：如图所示，设出AD 的长，进而求出AB ，表示出面积S ，然后利用导数求最值．
设AD ＝2x (0<x <2)，则A (x,0)，
AB ＝y ＝4－x 2，
∴矩形面积为S ＝2x (4－x 2)(0<x <2)，
即S ＝8x －2x 3，S ′＝8－6x 2，令S ′＝0，
解得x 1＝
23，x 2＝－23(舍去)． 当0<x <
23时，S ′>0； 当23
<x <2时，S ′<0， 所以，当x ＝
23时，S 取得最大值，此时S 最大值＝3239. 即矩形的长和宽分别为83、433
时，矩形的面积最大． 典例4 解：V ＝(2a －2x )2·x ＝4x 3－8ax 2＋4a 2x ⎝
⎛⎭⎫0<x ≤2at 1＋2t ，
令V ′＝0，解得x ＝a 3
或x ＝a (舍去)． ①当a 3<2at 1＋2t ，即t >14时，V 在定义域内有惟一极值点x ＝a 3
. 由问题的实际意义可知当x ＝a 3时，V max ＝1627
a 3. ②当a 3≥2at 1＋2t ，即0<t ≤14时，对任意的x ≤a 3
，都有V ′>0，所以V 在定义域内为增函数， 故当x ＝2at 1＋2t 时，V max ＝2at 1＋2t ·⎝
⎛⎭⎫2a －4at 1＋2t 2＝8a 3t (1＋2t )3. 跟踪练习4
解：(1)∵当x ＝10时，y ＝9.2，即5150×10－a ×102－ln 1＝9.2，解得a ＝1100
. ∴f (x )＝5150x －x 2100－ln x 10
. ∵x 2x －12≥t 且t >12，∴6<x ≤12t 2t －1
. 即投入x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤6，12t 2t －1.
(2)对f (x )求解，得f ′(x )＝5150－x 50－1x
＝－x 2－51x ＋5050x ＝－(x －1)(x －50)50x
. 令f ′(x )＝0，得x ＝50或x ＝1(舍去)．
当x ∈(6,50)时，f ′(x )>0，因此，f (x )在(6,50]上是增函数；
当x ∈(50，＋∞)时，f ′(x )<0，因此，f (x )在[50，＋∞)上是减函数．
∴x ＝50为极大值点．
当12t 2t －1
≥50，即t ∈⎝⎛⎦⎤12，2544时，投入50万元改造时取得最大增加值； 当6<12t 2t －1<50，即t ∈⎝⎛⎭⎫2544，＋∞时，投入12t 2t －1
万元改造时取得最大增加值．。