江苏省南京鼓楼区五校联考2024届中考数学仿真试卷含解析

江苏省南京鼓楼区五校联考2024届中考数学仿真试卷
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．在反比例函数
1
k
y
x
-
=的图象的每一个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）
A．k＞1 B．k＞0 C．k≥1D．k＜1
2．如图，在ABC
∆中，BC边上的高是（）
A．EC B．BH C．CD D．AF
3．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（）
A．1 B．3 C．5 D．1或5
4．若2m﹣n＝6，则代数式m-1
2
n+1的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列计算正确的是（）
A．x4•x4=x16B．（a+b）2=a2+b2
C．=±4 D．（a6）2÷（a4）3=1
6．下列交通标志是中心对称图形的为（）
A．B．C．D．
7．射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人射击10次，平均环数均为8.7环，方差分别为 2s 0.51=甲，2s 0.62=乙，2
s 0.48=丙，2
s 0.45=丁，则四人中成绩最稳定的是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
8．如图，圆O 是等边三角形内切圆，则∠BOC 的度数是（ ）
A ．60°
B ．100°
C ．110°
D ．120°
9．规定：如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： ①方程x 2+2x ﹣8=0是倍根方程； ②若关于x 的方程x 2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；
③若关于x 的方程ax 2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax 2﹣6ax+c 与x 轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）； ④若点（m ，n ）在反比例函数y=4
x
的图象上，则关于x 的方程mx 2+5x+n=0是倍根方程． 上述结论中正确的有（ ） A ．①②
B ．③④
C ．②③
D ．②④
10．长城、故宫等是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6 700 000米，将6 700 000用科学记数法表示应为（ ）
A ．6.7×106
B ．6.7×10﹣6
C ．6.7×105
D ．0.67×107 二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 11．函数y ＝
2
1
x -中，自变量x 的取值范围是 12．如图，点D 在ABC ∆的边BC 上，已知点E 、点F 分别为ABD ∆和ADC ∆的重心，如果12BC =，那么两个三角形重心之间的距离EF 的长等于________．
13．已知双曲线k 1
y x
+=
经过点（－1，2），那么k 的值等于_______. 14．不等式组26
72x x -≥⎧⎨+>-⎩
的解集是____________；
15．2017我市社会消费品零售总额达188****0000元，把188****0000用科学记数法表示为_____．
16．如图，四边形OABC 中，AB ∥OC ，边OA 在x 轴的正半轴上，OC 在y 轴的正半轴上，点B 在第一象限内，点D 为AB 的中点，CD 与OB 相交于点E ，若△BDE 、△OCE 的面积分别为1和9，反比例函数y=k
x
的图象经过点B ，则k=_______.
17．抛物线y ＝x 2﹣2x+m 与x 轴只有一个交点，则m 的值为_____． 三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图所示，已知一次函数y kx b =+（k≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数y m
x
=（m≠0）的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ．若OA=OB=OD=1．
（1）求点A 、B 、D 的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中有Rt △ABC ，∠A=90°，AB=AC ，A （﹣2，0），B （0，1）． （1）求点C 的坐标；
（2）将△ABC 沿x 轴的正方向平移，在第一象限内B 、C 两点的对应点B'、C'正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B'C'的解析式．
（3）若把上一问中的反比例函数记为y 1，点B′，C′所在的直线记为y 2，请直接写出在第一象限内当y 1＜y 2时x 的取值范围．
20．（8分）如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD ，等边△ABE ，已知∠BAC=30°，
EF ⊥AB ，
垂足为F ，连接DF 试说明AC=EF ；求证：四边形ADFE 是平行四边形．
21．（10分）先化简再求值：21
2
x x -+÷（12x +﹣1），其中x ＝13．
22．（10分）如图1，B （2m ，0），C （3m ，0）是平面直角坐标系中两点，其中m 为常数，且m ＞0，E （0，n ）为y 轴上一动点，以BC 为边在x 轴上方作矩形ABCD ，使AB=2BC ，画射线OA ，把△ADC 绕点C 逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）过E ，A′两点．
（1）填空：∠AOB= °，用m 表示点A′的坐标：A′（ ， ）； （2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB 交于点P ，且
1
3
BP AP =时，△D′OE 与△ABC 是否相似？说明理由； （3）若E 与原点O 重合，抛物线与射线OA 的另一个交点为点M ，过M 作MN ⊥y 轴，垂足为N ： ①求a ，b ，m 满足的关系式；
②当m 为定值，抛物线与四边形ABCD 有公共点，线段MN 的最大值为10，请你探究a 的取值范围．
23．（12分）某公司销售一种新型节能电子小产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售:①若只在国内销售,销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y ＝－
1
100
x ＋150,成本为20元/件,月利润为W 内（元）;②若只在国外销售,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为a 元/件（a 为常数,10≤a≤40）,当月销量为x （件）时,每月还需缴纳
1100
x 2
元的附加费,月利润为W 外（元）． （1）若只在国内销售,当x ＝1000（件）时,y ＝ （元/件）; （2）分别求出W 内、W 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）;
（3）若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求a 的值．
24．（14分）如图1，抛物线y ＝ax 2+（a +2）x +2（a ≠0），与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点P （m ，0）（0＜m ＜4），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点M ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PN ：PM ＝1：4，求m 的值；
（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P 对应的位置是P 1，将线段OP 1绕点O 逆时针旋转得到OP 2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP 2、BP 2，求AP 2+
23
2
BP 的最小值． 参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1、A 【解题分析】
根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，可得k ﹣1＞0，解可得k 的取值范围． 【题目详解】
解：根据题意，在反比例函数1
k y x
-=图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小， 即可得k ﹣1＞0， 解得k ＞1． 故选A ．
【点评】
本题考查了反比例函数的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
2、D
【解题分析】
根据三角形的高线的定义解答．
【题目详解】
根据高的定义，AF为△ABC中BC边上的高．
故选D．
【题目点拨】
本题考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键．
3、D
【解题分析】
分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答．
【题目详解】
当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，
故选D．
【题目点拨】
本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化-平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用．
4、D
【解题分析】
先对m-1
2
n+1变形得到
1
2
（2m﹣n）+1，再将2m﹣n＝6整体代入进行计算，即可得到答案.
【题目详解】
m
1
2
n+1
＝1
2
（2m﹣n）+1
当2m﹣n＝6时，原式＝1
2
×6+1＝3+1＝4，故选：D．
【题目点拨】
本题考查代数式，解题的关键是掌握整体代入法.
5、D
【解题分析】
试题分析：x4x4=x8(同底数幂相乘，底数不变，指数相加）;（a+b)2=a2+b2+2ab（完全平方公式）;（表示16的算术平方根取正号）;.(先算幂的乘方，底数不变，指数相乘；再算同底数幂相除，底数不变，指数相减.）.
考点：1、幂的运算；2、完全平方公式；3、算术平方根.
6、C
【解题分析】
根据中心对称图形的定义即可解答．
【题目详解】
解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；
B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；
C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；
D、不是中心对称的图形，不合题意．
故选C．
【题目点拨】
本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．
7、D
【解题分析】
根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得答案．
【题目详解】
∵0.45＜0.51＜0.62，
∴丁成绩最稳定，
故选D．
【题目点拨】
此题主要考查了方差，关键是掌握方差越小，稳定性越大．
8、D
【解题分析】
由三角形内切定义可知OB 、OC 是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，所以可得到关系式∠OBC+∠OCB=1
2
（∠ABC+∠ACB ），把对应数值代入即可求得∠BOC 的值． 【题目详解】
解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°， ∵圆O 是等边三角形内切圆，
∴OB 、OC 是∠ABC 、∠ACB 的角平分线， ∴∠OBC+∠OCB=
12（∠ABC+∠ACB ）=1
2
（180°﹣60°）=60°， ∴∠BOC=180°﹣60=120°， 故选D ． 【题目点拨】
此题主要考查了三角形的内切圆与内心以及切线的性质．关键是要知道关系式∠OBC+∠OCB=1
2
（∠ABC+∠ACB ）．
9、C 【解题分析】
分析：①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②设2x =21x ，得到1x •2x =22
1x =2，得到当1x =1时，2x =2，当1x =－1时，2x =－2，于是得到结论；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④若点（m ，n ）在反比例函数y=
4
x
的图象上，得到mn=4，然后解方程m 2x +5x+n=0即可得到正确的结论； 详解：①由2x -2x-8=0，得：（x-4）（x+2）=0， 解得1x =4，2x =－2， ∵1x ≠22x ，或2x ≠21x ， ∴方程2x -2x-8=0不是倍根方程；故①错误；
②关于x 的方程2x +ax+2=0是倍根方程， ∴设2x =21x ， ∴1x •2x =22
1x =2， ∴1x =±1， 当1x =1时，2x =2， 当1x =－1时，2x =－2， ∴1x +2x =－a=±3， ∴a=±3，故②正确； ③关于x 的方程a 2x -6ax+c=0（a≠0）是倍根方程， ∴2x =21x ，
∵抛物线y=a 2x -6ax+c 的对称轴是直线x=3， ∴抛物线y=a 2x -6ax+c 与x 轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0）， 故③正确；
④∵点（m ，n ）在反比例函数y=
4
x
的图象上， ∴mn=4， 解m 2x +5x+n=0得 1x =2m -
，2x =8
m
-， ∴2x =41x ， ∴关于x 的方程m 2x +5x+n=0不是倍根方程；
故选C ．
点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键． 10、A 【解题分析】
科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【题目详解】
解：6 700 000=6.7×106， 故选：A 【题目点拨】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 11、x≥0且x≠1 【解题分析】
试题分析：根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x-1≠0，解可得答案． 试题解析：根据题意可得x-1≠0； 解得x≠1； 故答案为x≠1．
考点: 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件． 12、4 【解题分析】
连接AE 并延长交BD 于G ，连接AF 并延长交CD 于H ，根据三角形的重心的概念可得12DG BD =
，1
2
DH CD =，2AE GE =，2AF HF =，即可求出GH 的长，根据对应边成比例，夹角相等可得EAF GAH ∆∆∽，根据相似三角
形的性质即可得答案． 【题目详解】
如图，连接AE 并延长交BD 于G ，连接AF 并延长交CD 于H ， ∵点E 、F 分别是ABD ∆和ACD ∆的重心， ∴12DG BD =
，1
2
DH CD =，2AE GE =，2AF HF =，
∵12BC =， ∴111
()126222
GH DG DH BD CD BC =+=
+==⨯=， ∵2AE GE =，2AF HF =， ∴
2
3
AE AF AG AH ==， ∵EAF GAH ∠=∠， ∴EAF GAH ∆∆∽， ∴
2
3
EF AE GH AG ==， ∴4EF =， 故答案为：4
【题目点拨】
本题考查了三角形重心的概念和性质及相似三角形的判定与性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍． 13、－1 【解题分析】
分析：根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将点（－1,2）代入k 1y x +=，得：k 1
21
+=-，解得：k ＝－1． 14、﹣9＜x≤﹣1 【解题分析】
分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集． 【题目详解】
2672x x -≥⎧⎨
+>-⎩
①
②， 解不等式①，得：x≤-1， 解不等式②，得：x ＞-9，
所以不等式组的解集为：-9＜x≤-1， 故答案为：-9＜x≤-1． 【题目点拨】
本题考查一元一次不等式组的解法，属于基础题．求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
15、1.88×1
【解题分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【题目详解】
解：把188****0000用科学记数法表示为1.88×1，
故答案为：1.88×1．
【题目点拨】
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
16、16
【解题分析】
根据题意得S△BDE：S△OCE=1:9，故BD：OC=1:3，设D（a,b）则A(a,0),B(a,2b)，得C(0,3b)，由S△OCE=9得ab=8，故可得解.
【题目详解】
解：设D（a,b）则A(a,0),B(a,2b)
∵S△BDE：S△OCE=1:9
∴BD：OC=1:3
∴C(0,3b)
∴△COE高是OA的3
4
，
∴S△OCE=3ba×3
4
1
2
=9
解得ab=8
k=a×2b=2ab=2×8=16
故答案为16.
【题目点拨】
此题利用了：①过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；②所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．
17、1
【解题分析】
由抛物线y=x 2-2x+m 与x 轴只有一个交点可知，对应的一元二次方程x 2-2x+m=2，根的判别式△=b 2-4ac=2，由此即可得到关于m 的方程，解方程即可求得m 的值．
【题目详解】
解：∵抛物线y=x 2﹣2x+m 与x 轴只有一个交点，
∴△=2，
∴b 2﹣4ac=22﹣4×1×m=2；
∴m=1．
故答案为1．
【题目点拨】
本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，注：①抛物线与x 轴有两个交点，则△＞2；②抛物线与x 轴无交点，则△＜2；③抛物线与x 轴有一个交点，则△=2．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）A （－1，0），B （0，1），D （1，0）
（2）一次函数的解析式为y x 1=+ 反比例函数的解析式为2y x
=
【解题分析】解：（1）∵OA=OB=OD=1，
∴点A 、B 、D 的坐标分别为A （－1，0），B （0，1），D （1，0）。

（2）∵点A 、B 在一次函数y kx b =+（k≠0）的图象上， ∴k b 0b 1-+=⎧⎨=⎩，解得k 1b 1=⎧⎨=⎩。

∴一次函数的解析式为y x 1=+。

∵点C 在一次函数y=x+1的图象上，且CD ⊥x 轴，∴点C 的坐标为（1，2）。

又∵点C 在反比例函数m y x
=
（m≠0）的图象上，∴m=1×2=2。

∴反比例函数的解析式为2y x =。

（1）根据OA=OB=OD=1和各坐标轴上的点的特点易得到所求点的坐标。

（2）将A 、B 两点坐标分别代入y kx b =+，可用待定系数法确定一次函数的解析式，由C 点在一次函数的图象上可确定C 点坐标，将C 点坐标代入m y x
=可确定反比例函数的解析式。

19、（1）C （﹣3，2）；（2）y 1=
6x ， y 2=﹣13
x+3； （3）3＜x ＜1． 【解题分析】
分析： （1）过点C 作CN ⊥x 轴于点N ，由已知条件证Rt △CAN ≌Rt △AOB 即可得到AN=BO=1，
CN=AO=2，NO=NA+AO=3结合点C 在第二象限即可得到点C 的坐标；
（2）设△ABC 向右平移了c 个单位，则结合（1）可得点C′，B′的坐标分别为（﹣3+c ，2）、（c ，1），再设反比例函数的解析式为y 1=k x
，将点C′，B′的坐标代入所设解析式即可求得c 的值，由此即可得到点C′，B′的坐标，这样用待定系数法即可求得两个函数的解析式了；
（3）结合（2）中所得点C′，B′的坐标和图象即可得到本题所求答案.
详解：
（1）作CN ⊥x 轴于点N ，
∴∠CAN=∠CAB=∠AOB=90°，
∴∠CAN+∠CAN=90°，∠CAN+∠OAB=90°，
∴∠CAN=∠OAB ，
∵A （﹣2，0）B （0，1），
∴OB=1，AO=2，
在Rt △CAN 和Rt △AOB ，
∵ACN OAB ANC AOB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴Rt △CAN ≌Rt △AOB （AAS ），
∴AN=BO=1，CN=AO=2，NO=NA+AO=3，
又∵点C 在第二象限，
∴C （﹣3，2）；
（2）设△ABC 沿x 轴的正方向平移c 个单位，则C′（﹣3+c ，2），则B′（c ，1），
设这个反比例函数的解析式为：y 1=k x
，
又点C′和B′在该比例函数图象上，把点C′和B′的坐标分别代入y1=k
x
，得﹣1+2c=c，
解得c=1，即反比例函数解析式为y1=6
x
，
此时C′（3，2），B′（1，1），设直线B′C′的解析式y2=mx+n，
∵
32 61
m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
∴
1
3
3
m
n
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴直线C′B′的解析式为y2=﹣1
3
x+3；
（3）由图象可知反比例函数y1和此时的直线B′C′的交点为C′（3，2），B′（1，1），
∴若y1＜y2时，则3＜x＜1．
点睛：本题是一道综合考查“全等三角形”、“一次函数”、“反比例函数”和“平移的性质”的综合题，解题的关键是：（1）通过作如图所示的辅助线，构造出全等三角形Rt△CAN和Rt△AOB；（2）利用平移的性质结合点B、C的坐标表达出点C′和B′的坐标，由点C′和B′都在反比例函数的图象上列出方程，解方程可得点C′和B′的坐标，从而使问题得到解决.
20、证明见解析．
【解题分析】
（1）一方面Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，另一方面△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，从而可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF．
（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
【题目详解】
证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC．
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF．∴AF=BC．
∵在Rt △AFE 和Rt △BCA 中，AF=BC ，AE=BA ，
∴△AFE ≌△BCA （HL ）．∴AC=EF ．
（2）∵△ACD 是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD ．
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°．∴EF ∥AD ．
∵AC=EF ，AC=AD ，∴EF=AD ．
∴四边形ADFE 是平行四边形．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．平行四边形的判定．
21、23
【解题分析】
分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．
详解：原式=111222
x x x x x +---÷++（）（） =112•21x x x x x （）（）（）
+-++-+ =1x --（）
=1x - 当13x =时，原式=113-=23
． 点睛：本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 22、（1）45；（m ，﹣m ）；（2）相似；（3）①1b am =--；②
114a ≤≤． 【解题分析】
试题分析：（1）由B 与C 的坐标求出OB 与OC 的长，进一步表示出BC 的长，再证三角形AOB 为等腰直角三角形，即可求出所求角的度数；由旋转的性质得，即可确定出A′坐标；
（2）△D′OE ∽△ABC ．表示出A 与B 的坐标，由13
BP AP =，表示出P 坐标，由抛物线的顶点为A′，表示出抛物线解析式，把点E 坐标代入即可得到m 与n 的关系式，利用三角形相似即可得证；
（3）①当E 与原点重合时，把A 与E 坐标代入2
y ax bx c =++，整理即可得到a ，b ，m 的关系式；
②抛物线与四边形ABCD 有公共点，可得出抛物线过点C 时的开口最大，过点A 时的开口最小，分两种情况考虑：若抛物线过点C （3m ，0），此时MN 的最大值为10，求出此时a 的值；若抛物线过点A （2m ，2m ），求出此时a 的值，即可确定出抛物线与四边形ABCD 有公共点时a 的范围．
试题解析：（1）∵B （2m ，0），C （3m ，0），∴OB=2m ，OC=3m ，即BC=m ，∵AB=2BC ，∴AB=2m=0B ，∵∠ABO=90°，
∴△ABO 为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，由旋转的性质得：OD′=D′A′=m ，即A′（m ，﹣m ）；故答案为45；m ，﹣m ；
（2）△D′OE ∽△ABC ，理由如下：由已知得：A （2m ，2m ），B （2m ，0），∵
13BP AP =，∴P （2m ，12m ），∵A′为抛物线的顶点，∴设抛物线解析式为2()y a x m m =--，∵抛物线过点E （0，n ），∴2(0)n a m m =--，即m=2n ，
∴OE ：OD′=BC ：AB=1：2，∵∠EOD′=∠ABC=90°，∴△D′OE ∽△ABC ；
（3）①当点E 与点O 重合时，E （0，0），∵抛物线2
y ax bx c =++过点E ，A ，∴20{n am bm n m =++=-，整理得：1am b +=-，即1b am =--；
②∵抛物线与四边形ABCD 有公共点，∴抛物线过点C 时的开口最大，过点A 时的开口最小，若抛物线过点C （3m ，0），此时MN 的最大值为10，∴a （3m ）2﹣（1+am ）•3m=0，整理得：am=12，即抛物线解析式为21322
y x x m =-，由A （2m ，2m ），可得直线OA 解析式为y=x ，联立抛物线与直线OA 解析式得：2{1322
y x
y x x m ==-，解得：x=5m ，y=5m ，即M （5m ，5m ），令5m=10，即m=2，当m=2时，a=
14； 若抛物线过点A （2m ，2m ），则2(2)(1)22a m am m m --⋅=，解得：am=2，∵m=2，∴a=1，则抛物线与四边形ABCD
有公共点时a 的范围为114
a ≤≤． 考点：1．二次函数综合题；2．压轴题；3．探究型；4．最值问题．
23、（1）140;（2）W 内＝－
1100x 2＋130x,W 外＝－1100
x 2＋ (150－a)x;（3）a ＝1． 【解题分析】
试题分析:（1）将x=1000代入函数关系式求得y,;
（2）根据等量关系“利润=销售额﹣成本”“利润=销售额﹣成本﹣附加费”列出函数关系式;
（3）对w 内函数的函数关系式求得最大值,再求出w 外的最大值并令二者相等求得a 值． 试题解析:（1）x=1000,y=－
1100
×1000+150=140; （2）W 内＝(y －1)x ＝(－1100x ＋150－1)x ＝－1100
x 2＋130x ． W 外＝(150－a)x －1100x 2＝－1100
x 2＋(150－a)x; （3）W 内＝－1100x 2＋130x=－1100
（x －6500）2+2, 由W 外＝－1100x 2＋(150－a)x 得:W 外最大值为:(750－5a)2, 所以:(750－5a)2＝2．
解得a ＝280或a ＝1．
经检验,a ＝280不合题意,舍去,
∴a ＝1．
考点:二次函数的应用．
24、（1）213222x x -++；（2）m ＝3；（3
）2
【解题分析】
（1）本题需先根据图象过A 点，代入即可求出解析式；（2）由△OAB ∽△PAN 可用m 表示出PN ，且可表示出PM ，由条件可得到关于m 的方程，则可求得m 的值；（3）在y 轴上取一点Q ，使2O 3O 2
Q P =，可证的△P 2OB ∽△QOP 2，则可求得Q 点坐标，则可把AP 2+
32
BP 2转换为AP 2+QP 2，利用三角形三边关系可知当A 、P 2、Q 三点在一条线上时，有最小值，则可求出答案.
【题目详解】 解：（1）∵A （4，0）在抛物线上，
∴0＝16a+4（a+2）+2，解得a ＝﹣12
， ∴抛物线的解析式为y ＝213222x x -
++； （2）∵21
3222
y x x =++－ ∴令x ＝0可得y ＝2，
∴OB ＝2，
∵OP ＝m ，
∴AP ＝4﹣m ，
∵PM ⊥x 轴，
∴△OAB ∽△PAN ， ∴
OB PN OA PA
=， ∴244m
PN =-， ∴1PN (4m)2=-， ∵M 在抛物线上，
∴PM ＝21
322
m m +－+2， ∵PN ：MN ＝1：3，
∴PN ：PM ＝1：4， ∴2131m m 24(4m)222
-++=⨯⨯-， 解得m ＝3或m ＝4（舍去）；
（3）在y 轴上取一点Q ，使2O 3O 2
Q P =，如图， 由（2）可知P 1（3，0），且OB ＝2，
∴22O 32
OP Q OP OB ==，且∠P 2OB ＝∠QOP 2， ∴△P 2OB ∽△QOP 2，
∴22OP 3BP 2
=， ∴当Q （0，92
）时，QP 2＝232BP ， ∴AP 2+32
BP 2＝AP 2+QP 2≥AQ ， ∴当A 、P 2、Q 三点在一条线上时，AP 2+QP 2有最小值，
∵A （4，0），Q （0，
92）， ∴AQ 22942⎛⎫+ ⎪⎝⎭
1452， 即AP 2+32BP 2145【题目点拨】
本题考查了抛物线解析式的求法，抛物线与相似三角形的问题，坐标系里表示三角形的面积及线段和最小值问题，要
求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形，难度相对较大.。