2020版高中数学人教B版选修2-1课件：2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质

第二章圆锥曲线与方程
2.1.2由曲线求它的方程、
由方程研究曲线的性质
高中数学选修2-1·精品课件
引入课题
解析几何研究的主要问题
(1)根据已知条件，求出表示___________；(2)通过曲线的方程，研究曲线的_____
．曲线的方程性质
例1 已知一条直线l 和它上方的一个点F ，
点F 到l 的距离是2. 一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，
求这条曲线的方程.定点、定直线
形成曲线的动点满足的
几何条件x
F
O
y
l
解：
①以l 所在直线为x 轴，过F 垂直于l 的直线为y 轴，建立坐标系xOy ,则F (0,2).
曲线的范围
何为适当？
x
F O
y
M ②设M (x ,y )为曲线上任意一点，
③点M 满足的限制条件为|MF |-|ME |=2，
E
④将点M 的坐标代入条件，得
x 2
+(y
−2)2−
y =2，
⑤化简，得：y =
18
x 2，由于曲线在x 轴的上方，∴y ＞0，∴所求曲线方程y =
18
x 2
(x ≠0)，移项，平方
跟踪训练
1.已知在直角三角形ABC 中，角C 为直角，|AB |=2，求满足条件的点C 的轨迹方程．
x
O y
A B
C
解：以AB 所在直线为x 轴，
以线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立坐标系xOy ，则A (-1,-0),B (1,0)，设C (x ,y ),则AC =(x +1,y),BC =(x −1,y)，
由已知，AC ∙BC =0，
代入得：(x ＋1)(x －1)＋y 2＝0，
化简得x 2＋y 2＝1，
由已知A 、B 、C 不共线，
∴y ≠0，
∴点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(y ≠0)．
知识点二:定义法求轨迹方程
例2 已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的弦OQ ，求所作弦的中点P 的轨迹方程．x
O y C
Q
M P
设P (x ,y )为其中点，
则CP ⊥OQ ，设M 为OC 的中点，
则M 的坐标为(1
2
,0).
∵∠OPC ＝90°，
∴动点P 在以点M 为圆心，
OC 为直径的圆上，由圆的方程得
(x -12)2＋y 2＝14
(0<x ≤1)．解：弦的中点的几何性质直角三角形顶点
的轨迹
斜边为定值
跟踪训练
2.已知定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，求M点的轨迹方程．
解：根据直角三角形的性质可知，
|AB|＝3，
|OM|＝1
2
所以M的轨迹为以原点O为圆心，
以3为半径的圆，
故M点的轨迹方程为x2＋y2＝9.
知识点三：代入法求曲线方程
例3 已知动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上运动，M 和定点B (3，0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．x
O
y
M
P
B 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，
∵P 为MB 的中点，
解：
∴
即
又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上，
∴(2x －3)2＋4y 2＝1，
∴P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.
主动点在已知曲线上
运动从动点在未知曲线上运动
坐标关系
x =x 0+3
2，
y =y 0+02
，
x 0=2x +3，y 0=2y ，
跟踪训练
3.已知△ABC 的顶点A (－3，0)，B (0，－3)，另一个顶点C 在曲线x 2＋y 2＝9上运动．求△ABC 重心M 的轨迹方程．
解：设△ABC 顶点C (x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝9.设△ABC 重心M (x ，y )．由三角形重心坐标公式得：
代入①式得：(3x ＋3)2＋(3y ＋3)2＝9，化简得：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.
此即为△ABC 重心M 的轨迹方程．
即
x =x 0−33，
y =y 0−33
，
x 0=3x +3，y 0=3y +3，
知识点四：两曲线的交点问题
例4 已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝1−x2有两个公共点，求实数b的取值范围．
解：数形结合：如图所示，
曲线C：y＝1−x2为单位圆的上半圆，
与y＝x＋b这一组斜率为1的平行直线系有两个交点，
b的范围为：[1，2)．
跟踪训练
4.若曲线xy＋y＋(k－5)x＋2＝0和直线x－y－k＝0的交点的横坐标为正，求实数k的范围．
解：将两曲线方程联立得：
消去y得：x2－4x＋2－k＝0，
由已知，方程的根为正数，
∴Δ≥0且2-k＞0，
解得：－2≤k＜2．
知识点五：由方程研究曲线
例5 下列方程分别表示什么曲线：
(1)(x ＋y －1)x −1＝0；(2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0.
解：(1)由方程(x ＋y －1)x −1＝0，可得即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.
故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.
(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.
∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，
∴解得x =1，y =-1，
从而方程表示的图形是一个点(1，－1)．
x -1≥0，x +y -1=0，或x -1=0，
跟踪训练
5.下列方程分别表示什么曲线，为什么？(1)x2＋xy－x－y＝0；(2)(x－2)2＋y2−4＝0.解:(1)原方程化为(x＋y)(x－1)＝0，
∴x＋y＝0或x＝1.
因此，原方程表示x＋y＝0和x＝1两条直线．(2)由(x－2)2＋y2−4＝0，得
x-2=0,y2-4=0，∴x=2,y=2或x=2,y=-2，
因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2)．
归纳小结
1.直接法求轨迹方程：建、设、限、代、化
2.定义法求轨迹方程：
将形成轨迹的动点满足的条件进行合理转化，
结合已知的轨迹定义，发现动点形成的是何轨迹.
3.代入法求轨迹方程：
必有多个动点，其中一个点在已知轨迹上运动，另一动点随着其运动而运动，
明确它们的坐标关系时解决问题的关键.
当堂训练
1.在△ABC中，若B、C的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，BC边上的中线的长度为5，则A点的轨迹方程是()
D A．x2＋y2＝5B．x2＋y2＝25
C．x2＋y2＝5(y≠0)D．x2＋y2＝25(y≠0)
2．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示的图形是()
C A．圆B．两条直线
C．一个点D．两个点
再见。