考前三个月·浙江专用高考数学文二轮配套教案：第一部分 专题复习篇 专题七

专题七概率与统计
１．基本事件的定义
一次试验中可能出现的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件．
基本事件的特点：
（１）任何两个基本事件是互斥的；
（２）任何事件都可以表示成基本事件的和．
２．古典概型
（１）古典概型
我们把具有：１试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；２每个基本事件出现的可能性相等，以上两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
（２）古典概率模型的概率求法
如果一次试验中基本事件共有n个，那么每一个基本事件发生的概率都是错误!，如果某个事件A包含了其中的m个基本事件，那么事件A发生的概率为P（A）＝错误!.
３．互斥事件与对立事件的关系
（１）对立是互斥，互斥未必对立；
（２）如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生（即A，B中有一个发生）的概率，等于事件A，B 分别发生的概率的和，即P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．（３）在一次试验中，对立事件A和错误!不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P（错误!）＝１—P（A）．
４．随机抽样
抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种，这三种抽样方法各自适用不同特点的总体，但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值．５．总体分布的估计
在研究总体时，常用样本的频率分布去估计总体分布．一般地，样本容量越大，这种估计就越精确．
１．（２0１３·陕西）某单位有8４0名职工，现采用系统抽样方法抽取４２人做问卷调查，将8４0人按１,２，…，8４0随机编号，则抽取的４２人中，编号落入区间[４8１,7２0]的人数为（）Ａ．１１Ｂ．１２Ｃ．１３Ｄ．１４
答案B
解析由错误!＝２0，即每２0人抽取１人，所以抽取编号落入区间[４8１,7２0]的人数为错误!＝错误!＝１２（人）．
２．（２0１３·重庆）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）
甲组乙组
909
x２１５y8
7４２４
已知甲组数据的中位数为１５，乙组数据的平均数为１6．8，则x，y的值分别为（）
Ａ．２,５Ｂ．５,５
Ｃ．５,8 Ｄ．8,8
答案C
解析由于甲组中有５个数，比中位数小的有两个数为9,１２，比中位数大的也有两个数２４,２7，所以１0＋x＝１５，x＝５．又因错误!＝１6．8，所以y＝8，故选Ｃ．
３．（２0１３·福建）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[４0,５0），[５0,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,１00]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为
（）
Ａ．５88 Ｂ．４80
Ｃ．４５0 Ｄ．１２0
答案B
解析少于60分的学生人数600×（0．0５＋0．１５）＝１２0（人），
∴不少于60分的学生人数为４80人．
４．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________．答案错误!
解析个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类．（１）当个位为奇数时，有５×４＝２0（个）符合条件的两位数．
（２）当个位为偶数时，有５×５＝２５（个）符合条件的两位数．
因此共有２0＋２５＝４５（个）符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有５个，
所以所求概率为P＝错误!＝错误!.
５．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有１个红球，２个白球和３个黑球．从球中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率是________．
答案错误!
解析设袋中红球用a表示，２个白球分别用b１，b２表示，３个黑球分别用c１，c２，c３表示，则从袋中任取两球所含基本事件为（a，b１），（a，b２），（a，c１），（a，c２），（a，c３），（b１，b２），（b１，c１），（b１，c２），（b１，c３），（b２，c１），（b２，c２），（b２，c３），（c１，c２），（c１，c３），（c２，c３），共１５个．
两球颜色为一白一黑的基本事件有（b１，c１），（b１，c２），（b１，c３），（b２，c１），（b２，c２），（b
，c３），共6个．
２
∴其概率为错误!＝错误!.
6．（２0１３·江苏）抽样统计甲、乙两位射击运动员的５次训练成绩（单位：环），结果如下：
运动员第１次第２次第３次第４次第５次
甲879１90899３
乙89909１889２
答案２
解析错误!甲＝错误!（87＋9１＋90＋89＋9３）＝90，
错误!乙＝错误!（89＋90＋9１＋88＋9２）＝90，
s错误!＝错误![（87—90）２＋（9１—90）２＋（90—90）２＋（89—90）２＋（9３—90）２]＝４，s错误!＝错误![（89—90）２＋（90—90）２＋（9１—90）２＋（88—90）２＋（9２—90）２]＝２．
题型一古典概型
例１（１）（２0１３·江苏）现有某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．
（２）设集合P＝{a１，a２，a３，…，a１0}，则从集合P的全部子集中任取一个，取出含有３个元素的子集的概率是（）
Ａ．错误!Ｂ．错误!
Ｃ．错误!Ｄ．错误!
审题破题（１）利用古典概型概率的计算公式求解；（２）利用集合知识求出P的全部子集个数和含３个元素的子集个数．
答案（１）错误!（２）D
解析（１）P＝错误!＝错误!.
（２）集合P的全部子集个数为２１0＝１0２４，含三个元素的子集个数为错误!.
∴P＝错误!＝错误!.
反思归纳古典概型是最基本的概率问题，可以直接利用公式P（A）＝错误!求出事件的概率，解题关键是求基本事件总数和事件A所包含的基本事件个数．
变式训练１甲、乙两校各有３名教师报名支教，其中甲校２男１女，乙校１男２女．（１）若从甲校和乙校报名的教师中各任选１名，写出所有可能的结果，并求选出的２名教师性别相同的概率；
（２）若从报名的6名教师中任选２名，写出所有可能的结果，并求选出的２名教师来自同一学校的概率．
解（１）甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．
从甲校和乙校报名的教师中各任选１名的所有可能的结果为：
（A，D），（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），共
9种．
从中选出的２名教师性别相同的结果为：（A，D），（B，D），（C，E），（C，F），共４种．所以选出的２名教师性别相同的概率为错误!.
（２）从甲校和乙校报名的教师中任选２名的所有可能的结果为：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共１５种．
从中选出的２名教师来自同一学校的结果为：
（A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（D，F），（E，F），共6种．
所以选出的２名教师来自同一学校的概率为错误!＝错误!.
题型二互斥事件、对立事件的概率
例２班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定３个男生和２个女生来参与，把５个人分别编号为１,２,３,４,５，其中１,２,３号是男生，４,５号是女生，将每个人的编号分别写在５张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．
（１）为了选出２人来表演双人舞，连续抽取２张卡片，求取出的２人不全是男生的概率；
（２）为了选出２人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．
审题破题“不全是男生”包括“二个女生”，“一男一女”两种情况，将所求事件分解为两个互斥
事件的和．
解（１）利用树形图我们可以列出连续抽取２张卡片的所有可能结果（如图所示）．
由上图可以看出，试验的所有可能结果数为２0，因为每次都随机抽取，所以这２0种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．
用A１表示事件“连续抽取２人是一男一女”，A２表示事件“连续抽取２人都是女生”，则A１与A２互斥，并且A１∪A２表示事件“连续抽取２张卡片，取出的２人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A１的结果有１２种，A２的结果有２种，由互斥事件的概率加法公式，可得P（A１∪A ２
）＝P（A１）＋P（A２）＝错误!＋错误!＝错误!＝0．7，即连续抽取２张卡片，取出的２人不全是男生的概率为0．7．
（２）有放回地连续抽取２张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出２号，第二次取出４号”就用（２,４）来表示，所有的可能结果可以用下表列出.
第二次抽取
第一次抽取
１２３４５
１（１,
１）
（１,２）
（１,
３）
（１,４）
（１,
５）
２（２,
１）
（２,２）
（２,
３）
（２,４）
（２,
５）
３（３,
１）
（３,２）
（３,
３）
（３,４）
（３,
５）
４（４,
１）
（４,２）
（４,
３）
（４,４）
（４,
５）
５（５,
１）
（５,２）
（５,
３）
（５,４）
（５,
５）
用A表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A的结果共有５种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P（A）＝错误!＝错误!＝0．２．
反思归纳运用互斥事件的概率公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥，然后分别求出各事件发生的概率，再求和．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解．
变式训练２一盒中装有大小和质地均相同的１２个小球，其中５个红球，４个黑球，２个白球，１个绿球．从中随机取出１球，求
（１）取出的小球是红球或黑球的概率；
（２）取出的小球是红球或黑球或白球的概率．
解方法一（１）从１２个球中任取１球是红球有５种取法，是黑球有４种取法，是红球或黑球共有５＋４＝9种不同取法，而任取１球共有１２种取法．
∴任取１球是红球或黑球的概率为P１＝错误!＝错误!.
（２）从１２个球中任取１球是红球有５种取法，是黑球有４种取法，是白球有２种取法，
∴任取１球是红球或黑球或白球的概率
P２＝错误!＝错误!.
方法二记事件A＝{任取１球为红球}，
B＝{任取１球为黑球}，C＝{任取１球为白球}，
D＝{任取１球为绿球}，
则P（A）＝错误!，
P（B）＝错误!，P（C）＝错误!，
P（D）＝错误!.
（１）取出１球为红球或黑球的概率为
P１＝P（A）＋P（B）＝错误!＋错误!＝错误!.
（２）取出１球为红球或黑球或白球的概率为
P２＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.
（或P２＝１—P（D）＝１—错误!＝错误!）．
题型三用样本估计总体
例３（２0１２·广东）某校１00名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[５0,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,１00]．
（１）求图中a的值；
（２）根据频率分布直方图，估计这１00名学生语文成绩的平均分；
（３）若这１00名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[５0,90）之外的人数.
分数段[５0,60）[60,70）[70,80）[80,90）
x∶y１∶１２∶１３∶４４∶５审题破题
计算公式，求出样本平均值；（３）由直方图可计算语文成绩在每分段上的频数，再根据语文和数学成绩在同一段上的人数比，便可计算数学成绩在[５0,90）之间的人数，进而求解．
解（１）由频率分布直方图知（２a＋0．0２＋0．0３＋0．0４）×１0＝１，解得a＝0．00５．（２）由频率分布直方图知这１00名学生语文成绩的平均分为５５×0．00５×１0＋6５×0．0４×１0＋7５×0．0３×１0＋8５×0．0２×１0＋9５×0．00５×１0＝7３（分）．
（３）由频率分布直方图知语文成绩在[５0,60），[60,70），[70,80），[80,90）各分数段的人数依次为0．00５×１0×１00＝５，
0．0４×１0×１00＝４0,0．0３×１0×１00＝３0,0．0２×１0×１00＝２0．
由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为５,４0×错误!＝２0,３0×错误!＝４0,２0×错误!＝２５．
故数学成绩在[５0,90）之外的人数为
１00—（５＋２0＋４0＋２５）＝１0（人）．
反思归纳频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布，从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分布．根据频率分布直方图估计样本（或者总体）的平均值时，一般是采取组中值乘以
各组的频率的方法．方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．方差较大的波动较大，方差较小的波动较小．
变式训练３（１）从甲、乙两个城市分别随机抽取１6台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示）．设甲乙两组数据的平均数分别为错误!甲，错误!乙，中位数分别为m甲，m乙，则（）
Ａ．错误!甲<错误!乙，m甲>m乙
Ｂ．错误!甲<错误!乙，m甲<m乙
Ｃ．错误!甲>错误!乙，m甲>m乙
Ｄ．错误!甲>错误!乙，m甲<m乙
答案B
解析由茎叶图可知甲数据集中在１0至２0之间，乙数据集中在２0至４0之间，明显
错误!甲＜错误!乙，甲的中位数为２0，乙的中位数为２9，即m甲＜m乙．
（２）某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试，从中抽出60名学生，将其成绩分成六段[４0,５0），[５0,60），…，[90,１00）后，画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）为________；平均分为________．
答案7５% 7１
解析及格的各组的频率是（0．0１５＋0．0３＋0．0２５＋0．00５）×１0＝0．7５，即及格率约为7５%；样本的均值为４５×0．１＋５５×0．１５＋6５×0．１５＋7５×0．３＋8５×0．２５＋9５×0．0５＝7１，以这个分数估计总体的分数即得总体的平均分数约为7１．
典例（１４分）（２0１２·湖南）某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的１00位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量１至４
件
５至8
件
9至１２
件
１３至１6
件
１7件及以
上
顾客数（人）x３0２５y１0
结算时间
（分钟/人）
１１．５２２．５３
（１）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（２）求一位顾客一次购物的结算时间不超过
．．．
２分钟的概率．（将频率视为概率）
规范解答
解（１）由已知得２５＋y＋１0＝５５，x＋３0＝４５，
所以x＝１５，y＝２0．[２分]
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的１00位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为１00的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
错误!
＝１．9（分钟）．[7分]
（２）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过２分钟”，A１，A２，A３分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为１分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为１．５分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为２分钟”．将频率视为概率得
P（A１）＝错误!＝错误!，P（A２）＝错误!＝错误!，
P（A３）＝错误!＝错误!.[１0分]
因为A＝A１∪A２∪A３，且A１，A２，A３是互斥事件，
所以P（A）＝P（A１∪A２∪A３）
＝P（A１）＋P（A２）＋P（A３）＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过２分钟的概率为错误!.[１４分]
评分细则（１）x，y计算正确得２分；若只有x，y的值而无计算过程得１分；（２）将事件A正确拆分得１分；P（A１）、P（A２）、P（A３）少一个扣１分；（３）没有指明A１、A２、A３互斥扣１分．
阅卷老师提醒（１）对复杂事件概率的计算要对事件进行拆分，转化为几个互斥事件的和；（２）事件拆分要不重不漏，否则易造成失分；（３）求概率时步骤要完备，每个小事件的概率要计算出来．
１．有３个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）
Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!
答案A
解析甲、乙两位同学参加３个小组的所有可能性有３×３＝9（种），其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有３种．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P＝错误!＝错误!.
２．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则椭圆错误!＋错误!＝１的离心率e>错误!的概率是（）
Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!
答案C
解析e＝错误!>错误!⇒错误!<错误!⇒a>２b，符合a>２b的情况有：当b＝１时，有a＝３,４,５,6四种情况：
当b＝２时，有a＝５,6两种情况，总共有6种情况．
所以概率为错误!＝错误!.
３．盒子内装有红球、白球、黑球三种，其数量分别为３、２、１，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为（）
Ａ．至少有一个白球；都是白球
Ｂ．至少有一个白球；至少有一个红球
Ｃ．恰有一个白球；一个白球一个黑球
Ｄ．至少有一个白球；红、黑球各一个
答案D
解析红、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球；红、黑球各一个”为互斥事件，又任取两球还包含其他事件，所以不对立．
４．（２0１２·山东）在某次测量中得到的A样本数据如下：8２,8４,8４,86,86,86,88,88,88,88．若B 样本数据恰好是A样本数据每个都加２后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是
（）
Ａ．众数Ｂ．平均数
Ｃ．中位数Ｄ．标准差
答案D
解析对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．
５．盒中装有形状、大小完全相同的５个球，其中红色球３个，黄色球２个．若从中随机取出２个球，则所取出的２个球颜色不同的概率为________．
答案错误!
解析红色球分别用A１，A２，A３表示，黄色球分别用B１，B２表示．从中随机取出２个球：（A１，B１），（A１，B２），（A２，B１），（A２，B２），（A３，B１），（A３，B２），（B１，B２），（A１，A２），（A
，A３），（A１，A３）共１0种取法.２个球颜色不同共6种，故所求概率为错误!＝错误!.
２
6．（２0１３·辽宁）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取５个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为４，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．
答案１0
解析设５个班级中参加的人数分别为x１，x２，x３，x４，x５，
则由题意知错误!＝7，
（x１—7）２＋（x２—7）２＋（x３—7）２＋（x４—7）２＋（x５—7）２＝２0，
五个整数的平方和为２0，则必为0＋１＋１＋9＋9＝２0，
由|x—7|＝３可得x＝１0或x＝４．
由|x—7|＝１可得x＝8或x＝6．
由上可知参加的人数分别为４,6,7,8,１0，故最大值为１0．
专题限时规范训练
一、选择题
１．某射手的一次射击中，射中１0环、9环、8环的概率分别为0．２、0．３、0．１，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为（）
Ａ．0．５Ｂ．0．３
Ｃ．0．6 Ｄ．0．9
答案A
解析依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为１—（0．２＋0．３）＝0．５．２．从数字１,２,３,４,５中随机抽取３个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率是（）
Ａ．错误!Ｂ．错误!
Ｃ．错误!Ｄ．错误!
答案D
解析个位数字依次为１,２,３,４,５时，前两位数字之和依次为8,7,6,５,４，且依次有３,４,５,４,３种结果，故组成的三位数各位数字之和等于9的概率P（A）＝错误!＝错误!.
３．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次（每次只敲击一个数字键）得到的两个数字恰好都是３的倍数的概率为（）
Ａ．错误!Ｂ．错误!
Ｃ．错误!Ｄ．错误!
答案A
解析任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为（0，i）（i＝0,１,２，…，9）；（１，i）（i＝0,１,２，…，9）；（２，i）（i＝0,１,２，…，9）；…；（9，i）（i＝0,１,２，…9）．故共有１00
种结果．两个数字都是３的倍数的结果有（３,３），（３,6），（３,9），（6,３），（6,6），（6,9），（9,３），（9,6），（9,9）．共有9种，故所求概率为错误!.
４．（２0１３·湖南）某学校有男、女学生各５00名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取１00名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是
（）
Ａ．抽签法
Ｂ．随机数法
Ｃ．系统抽样法
Ｄ．分层抽样法
答案D
解析总体（１00名学生）中的个体（男、女学生）有明显差异，应采用分层抽样．
５．口袋中有１00个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球４５个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0．２３，则摸出黑球的概率为（）
Ａ．0．４５Ｂ．0．67
Ｃ．0．6４Ｄ．0．３２
答案D
解析摸出红球的概率为错误!＝0．４５，因为摸出红球，白球和黑球是互斥事件，因此摸出黑球的概率为１—0．４５—0．２３＝0．３２．
6．任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a，b，则点P（a，b）落在区域|x|＋|y|≤３中的概率为
（）Ａ．错误!Ｂ．错误!
Ｃ．错误!Ｄ．错误!
答案D
解析P（a，b）落在区域|x|＋|y|≤３中的有（１,１），（１,２），（２,１），∴P＝错误!＝错误!. 7．如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a１、a２，则一定有
（）
甲乙
079
５４５５１8４４6４7
m9３
Ａ．a１>a２Ｂ．a２>a１
Ｃ．a１＝a２Ｄ．a１，a２大小与m的值有关
答案B
解析去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手叶上的数字之和是２0，乙选手叶上的数字之和是２５，故a２>a１.
8．A＝{１,２,３}，B＝{x∈R|x２—ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!
Ｃ．错误!Ｄ．１
答案C
解析有序实数对（a，b）的取值情形共有9种，满足A∩B＝B的情形有
１（１,１），（１,２），（１,３），（２,２），（２,３），（３,３），此时B＝∅；
２（２,１），此时B＝{１}；
３（３,２），此时B＝{１,２}．
所以A∩B＝B的概率为P＝错误!.
二、填空题
9．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有１,２,３,４的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则错误!为整数的概率是________．
答案错误!
解析将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字x，y记作有序实数对（x，y），共包含１6个基本事件，其中错误!为整数的有（１,１），（２,２），（３,３），（４,４），（２,１），（３,１），（４,１），（４,２），共8个基本事件，故所求的概率为错误!＝错误!.
１0．（２0１３·山东改编）将某选手的9个得分去掉１个最高分，去掉１个最低分，7个剩余分数的平均分为9１．现场作的9个分数的茎叶图后来有１个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
则7个剩余分数的方差为________．
答案错误!
解析由题意知错误!＝9１，
解得x＝４．
所以s２＝错误![（87—9１）２＋（9４—9１）２＋（90—9１）２＋（9１—9１）２＋（90—9１）２＋（9４—9１）２＋（9１—9１）２]
＝错误!（１6＋9＋１＋0＋１＋9＋0）＝错误!.
１１．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[２0．５,２6．５]，样本数据的分组为[２0．５,２１．５），[２１．５，２２．５），[２２．５,２３．５），[２３．５,２４．５），[２４．５,２５．５），[２５．５，２6．５]．已知样本中平均气温低于２２．５℃的城市个数为１１，则样本中平均气温不低于２５．５℃的城市个数为________．
答案9
解析最左边两个矩形面积之和为0．１0×１＋0．１２×１＝0．２２，总城市数为１１÷0．２２＝５0，最右面矩形面积为0．１8×１＝0．１8，５0×0．１8＝9．
１２．甲、乙两人在１0天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这１0天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________．
答案２４２３
解析错误!甲＝错误!×（１9＋１8＋２0＋２１＋２３＋２２＋２0＋３１＋３１＋３５）＝２４．错误!乙＝错误!×（１9＋１7＋１１＋２１＋２４＋２２＋２４＋３0＋３２＋３0）＝２３．
三、解答题
１３．（２0１３·安徽）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考的数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取３0名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：
（１）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0．0５，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；
（２）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为错误!１，错误!２，估计错误!１—错误!
的值．
２
解（１）设甲校高三年级学生总人数为n，由已知条件
错误!＝0．0５，则n＝600．
在甲校高三年级抽取的３0名学生中成绩在60分及60分以上的人数为２５，因此甲校高三年级这次联考的及格率大约是错误!＝错误!＝8３．３%.
（２）错误!１＝[（7＋１３＋２４＋２6＋２２＋２）＋４0＋５0×４＋60×9＋70×9＋80×５＋90×２]÷３0＝错误!；
错误!２＝[（５＋１４＋１7＋３３＋２0）＋４0＋５0×３＋60×１0＋70×１0＋80×５＋90]÷３0＝错误!.
错误!１—错误!２＝错误!—错误!＝错误!.
１４．某地区有小学２１所，中学１４所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
（１）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
（２）若从抽取的6所学校中随机抽取２所学校做进一步数据分析，
１列出所有可能的抽取结果；
２求抽取的２所学校均为小学的概率．
解（１）由分层抽样定义知，
从小学中抽取的学校数目为6×错误!＝３；
从中学中抽取的学校数目为6×错误!＝２；
从大学中抽取的学校数目为6×错误!＝１．
故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为３,２,１．
（２）１在抽取的6所学校中，３所小学分别记为A１，A２，A３,２所中学分别记为A４，A５，大学记为A6，则抽取２所学校的所有可能结果为{A１，A２}，{A１，A３}，{A１，A４}，{A１，A５}，{A１，A6}，{A２，A３}，{A２，A４}，{A２，A５}，{A２，A6}，{A３，A４}，{A３，A５}，{A３，A6}，{A４，A５}，{A４，A6}，{A５，A6}，共１５种．
２从6所学校中抽取的２所学校均为小学（记为事件B）的所有可能结果为{A１，A２}，{A１，A３}，{A２，A３}，共３种，
所以P（B）＝错误!＝错误!.。