2021人教A版数学必修4训练：1.1.2 弧度制

第一章 三角函数
1．1 任意角和弧度制
1.1.2 弧度制
[A 组 学业达标]
1．1 920°的角化为弧度制为
( )
A.163
B.323
C.163π
D.323π 解析：∵1°＝π
180 rad ， ∴1 920°＝1 920×π180＝323π. 答案：D
2．已知α＝6
7π，则角α的终边在 ( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：π2<6
7π<π，所以角α的终边在第二象限，选B. 答案：B
3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长为( ) A ．2 B.2
sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2
解析：扇形的半径r ＝1sin 1，因此弧长l ＝|α|·r ＝2
sin 1. 答案：B
4．把－11
4π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ的值是 ( )
A ．－3π4
B ．－π4 C.π4
D.3π4
解析：由－11
4π＝θ＋2k π(k ∈Z )，
得θ＝－11
4π－2k π(k ∈Z )， 显然k ≤0时，|θ|取最小值． k ＝－1时，θ＝－34π，|θ|＝3
4π； k ＝－2时，θ＝54π，|θ|＝54π>3
4π； k ＝0时，θ＝－114π，|θ|＝114π>3
4π. 故满足题意的是θ＝－3
4π. 答案：A
5．扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是 ( )
A ．1
B ．4
C ．1或4
D ．2或4
解析：设扇形的圆心角为α rad ，半径为R cm ， 则⎩⎨⎧2R ＋α·
R ＝6，12R 2
·α＝2，解得α＝1或α＝4，选C.
答案：C
6．时钟从6时50分走到10时40分，分针旋转了________弧度．
解析：时钟共走了3小时50分钟，分针旋转了－⎝ ⎛⎭⎪⎫
3×2π＋56×2π＝－23π3.
答案：－23π
3
7．如图，公路弯道处AB ︵
的长l ＝________(精确到1 m)．
解析：l＝π
3×45≈47(m)．
答案：47 m
8．在0°～720°中与2π
5终边相同的角为________．
解析：∵2π
5
＝2
5×180°＝72°，
∴与角2π
5
终边相同的角构成集合{θ|θ＝72°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝0时，θ＝72°；
当k＝1时，θ＝432°.
∴在0°～720°范围内，
与角2π
5
终边相同的角为72°，432°.
答案：72°，432°.
9．(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.
解析：(1)∵－1 480°＝－74π
9
＝－10π＋16
9π，
又0<16
9π<2π，∴－1 480°＝16
9π＋2×(－5)π.
(2)∵β与α终边相同，∴β＝α＋2kπ＝16
9π＋2kπ(k∈Z)．
当k＝－1时，β＝16
9π－2π＝－2
9π，
当k＝－2时，β＝16
9π－4π＝－20 9π.
10．已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
解析：∵扇形的周长＝2R＋l＝2πR，
∴扇形的弧长l＝2(π－1)R.
∴扇形的圆心角α＝2(π－1)rad ，合⎣⎢⎡⎦⎥⎤
360（π－1）π°.
∴扇形的面积S ＝1
2lR ＝(π－1)R 2.
[B 组 能力提升]
11．一段圆弧的长度等于其所在圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为
( )
A.π2
B.π
3 C. 3 D. 2
解析：设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ， ∴弧长等于a 的圆弧所对的圆心角α＝l r ＝a
22a ＝ 2.故选D.
答案：D 12．设集合
M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π2，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π4，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫β⎪⎪⎪β＝k π4，k ∈Z ，则集合M 与N 的关系是
( )
A ．M N
B ．M N
C ．M ＝N
D ．M ∩N ＝∅
解析：集合M 中，α＝k π2(k ∈Z )是π
2的整数倍的角，其终边在坐标轴上，α＝k π＋π4(k ∈Z )的终边在直线y ＝x 上；集合N 中，β＝k π4(k ∈Z )是π
4的整数倍角，其终边在直线y ＝x 上，或y 轴上，或直线y ＝－x 上，或x 轴上，故M N . 答案：B
13．若角α的终边与角π
6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________．
解析：如图所示，设角π
6的终边为OA ，OA 关于直线y ＝x 对称的射线为OB ，则以OB 为终边且在0到2π之间的角为π
3，
故以OB 为终边的角的集合为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π
3，k ∈Z .
∵α∈(－4π，4π)，
∴－4π<2k π＋π3<4π，∴－136<k <11
6. ∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1，0，1， ∴α＝－11π3，－5π3，π3，7π
3. 答案：－11π3，－5π3，π3，7π
3
14．已知⊙O 的一条弧AE ︵
的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA 顺时针旋转到OE 所形成的角α的弧度数是________．
解析：如图，OA ＝r ，∠OAD ＝30°，则AD ＝r ·cos 30°＝3
2r ，
∴边长AB ＝2AD ＝3r . ∴AE ︵
的弧长l ＝AB ＝3r . 又∵α是负角，
∴α＝－l r ＝－3r
r ＝－ 3. 答案：－ 3
15．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R .
(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； (2)若扇形的周长是30 cm ，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解析：(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10(cm)，∴l ＝αR ＝10π3(cm)．
S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－2×12×10×sin π6×10×cos π6＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3－32(cm 2)．
(2)由l ＋2R ＝30，∴l ＝30－2R ， 从而S ＝12·l ·R ＝1
2(30－2R )·R ＝－R 2
＋15R ＝－⎝ ⎛
⎭
⎪⎫R －1522＋2254.
∴当半径R ＝152 cm 时，l ＝30－2×15
2＝15 cm ， 扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝l
R ＝2 rad.
∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，为225
4 cm 2. 16.如图，圆心在原点，半径为R 的圆交x 轴正半轴于A 点，P ，Q 是圆上的两个动点，它们同时从点A 出发沿圆周做匀速运动．OP 沿逆时针方向每秒转π
3，OQ 沿顺时针方向每秒转π
6.试求P ，Q 出发后第五次相遇时，OP ，OQ 各自转过的弧度数及点P ，Q 各自走过的弧长．
解析：设P 、Q 第五次相遇经过t 秒，P 转动的弧度数为π3t ，Q 转的弧度数为π
6t .
因此l 1＋l 2＝π3tR ＋π
6tR ＝10πR ， ∴t ＝10πR
⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6·R ＝20，
∴l 1＝203πR ，l 2＝103πR .
由此可知，OP 转过的弧度数为20π3，OQ 转过的弧度数为10π
3，P ，Q 走过的弧长分别为
20π3R 和10π3
R .。