湖北省安陆市德安初级中学八年级数学下册 18.2勾股定理的逆定理教案(3) 新人教版

教学目标
知识与技能
1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。

2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。

3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

过程与方法 在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。

使学生能归纳总结数学思想方法在题目中应用的规律。

情感态度与价值观
培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值 重点
灵活应用勾股定理及逆定理解综合题目 难点
灵活应用勾股定理及逆定理解解综合题目 教学设计 与 师生互动 备 注 第一步：课堂引入
勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。

第二步：应用举例：
例1已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c 。

试判断△ABC 的形状。

分析：利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。

⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则都为0；⑶已知a 、b 、c ，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。

例2已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，
BC=6，CD=5，AD=3。

求：四边形ABCD 的面积。

分析：使学生掌握研究四边形的问题，通常添
置辅助线把它转化为研究三角形的问题。

本题辅助
线作平行线间距离无法求解。

创造3、4、5勾股数，
利用勾股定理的逆定理证明DE 就是平行线间距离。

⑴作DE ∥AB ，连结B D ，则可以证明△AB D ≌
△EDB （ASA ）；
⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC 中，3、4、5勾股数，△DEC 为直角三角形，DE ⊥BC ；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。

例3已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的
高，且CD 2=AD ·BD 。

求证：△ABC 是直角三角形。

分析：勾股定理及逆定理的综合应用，注意条
件的转化及变形。

∵AC 2=AD 2+CD 2，BC 2=CD 2+BD
2 ∴AC 2+BC 2=AD 2+2CD 2+BD
2 =AD 2+2AD ·BD+BD
2 =（AD+BD ）2=AB 2
第三步：课堂练习
1．若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC
是（ ） A
B C D E B A C D
A ．等腰三角形；
B ．直角三角形；
C ．等腰三角形或直角三角形；
D ．等腰直角三角形。

2．若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足a ：b ：c=1：1：2，
试判断△ABC 的形状。

3．已知：如图，四边形ABCD ，AB=1，BC=43，CD=4
13，AD=3，且AB ⊥BC 。

求：四边形ABCD 的面积。

4．已知：在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，且CD 2=AD ·BD 。

求证：△ABC 中是直角三角形。

参考答案：
1．C ； 2．△ABC 是等腰直角三角形； 3．
49 4．提示：∵AC 2=AD 2+CD 2，BC 2=CD 2+BD 2，∴AC 2+BC 2=AD 2+2CD 2+BD 2=
AD 2+2AD ·BD+BD 2=（AD+BD ）2=AB 2，∴∠ACB=90°。

第四步：课后练习：
1．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，求△ABC 的面
积。

2．在△ABC 中，AB=13cm ，AC=24cm ，中线BD=5cm 。

求证：△A BC 是等腰三角形。

3．已知：如图，∠DAC=∠EAC ，AD=AE ，D 为BC 上
一点，且BD=DC ，AC 2=AE 2+CE 2。

求证：AB 2=AE 2+CE 2。

4．已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且a+b=4，ab=1，
c=14，试判定△ABC 的形状。

参考答案：
1．6； 2．提示：因为AD 2+BD 2=AB 2，所以AD ⊥BD ，根据线段垂直平
分线的判定可知AB =BC 。

3．提示：有A C 2=AE 2+CE 2得∠E=90°；由△
ADC ≌△AEC ，得AD=AE ，CD=CE ，∠ADC=∠BE=90°，根据线段垂直平分线的
判定可知AB=AC ，则AB 2=AE 2+CE 2。

4．提示：直角三角形，用代数方法证明，因为（a+b ）2=16，a 2+2ab+b 2=16，
ab=1，所以a 2+b 2=14。

又因为c 2=14，所以a 2+b 2=c 2 。

小结与反思：
B
C A E
D A B C D。