旧版华数思维导引补充13：六年级第27讲 整取问题

第27讲 整取问题
内容概述
有时我们只关心某数的整数部分，于是我们就有了取整问题，如在抽屉原理里,在不定方程里等一些数论问题中．
我们规定[x ]表示不超过x 的最大整数，{x }=x -[x ]，即为x 的小数或真分数部分． 如[3.14]=3，{3.14}=0.14，
显然有{x}<1．
O≤{x}+{y}<2(x 、y 均为整数时等号才成立)．
典型问题
2．求19811198121981200519812006...2006200620062006⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
的和． 【分析与解】 我们知道如果直接求解是无法解出的，现在试着观察规律:
最后一项为1981不难得到，再看198112006⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦+198120052006⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦；198112006⨯=198112006⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦+198112006⨯⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 198120052006⨯=198120052006⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦+198120052006⨯⎧⎫⎨⎬⎩⎭
所以有 198112006⨯+198120052006⨯=1981=198112006⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦+198112006⨯⎧⎫⎨⎬⎩⎭+198120052006⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦+198120052006⨯⎧⎫⎨⎬⎩⎭ =198112006⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦+198120052006⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦+198112006⨯⎧⎫⎨⎬⎩⎭+198120052006⨯⎧⎫⎨⎬⎩⎭
因为 198112006⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦+198120052006⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的和为整数, 所以 198112006⨯⎧⎫⎨⎬⎩⎭+198120052006⨯⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的和也为整数,但是我们知道0≤{x }+{y}<2；在此题中显然≠0，所以198112006⨯⎧⎫⎨⎬⎩⎭+198120052006⨯⎧⎫⎨⎬⎩⎭
=1 于是198112006⨯⎡⎤⎢
⎥⎣⎦+198120052006⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1981-1=1980； 这样，我们就找到了一般规律，我们知道原式除了最后一项，还有2005项，于是有1002组和198110032006⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦
=990； 所以为1002×1980+990+1981=1986931．
4．解方程[x ]{x }+x =2{x }+10
【分析与解】我们注意到x不超过10，x不能小于5；
所以当[x]=5，6，7，8，9，10的时候我们分别计算小数部分{x}
当[x]=5时，有5{x}+5+{x}=2{x}+10；则4{x}=5，{x}>1，不满足；
当[x]=6时，有6{x}+6+{x}=2{x}+10；则5{x}=4，{x}=4
5
；
当[x]=7时，有7{x}+7+{x}=2{x}+10；则 6{x}=3，{x}=1
2
；
当[x]=8时，有8{x}+8+{x}=2{x}+10；则7{x}=2，{x}=2
7
；
当[x]=9时，有9{x}+9+{x}=2{x}+10；则8{x}=1，{x}=1
8
；
当[x]=10时，有10{x}+10+{x}=2{x}+10；则 9{x}=0，{x}=0．
所以有x=64
5
，7
1
2
，8
2
7
，9
1
8
，10．
6．r满足
19202191
...
100100100100
r r r r
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
++++++++
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
=546．求[100r]的值?
【分析与解】显然等式的左边有91-19+1=73项，每项值为[r]或[r+1]，这是因为：19 100
、
20 100、…、
91
100
均小于l，
又由于73×7< 546 <73×8，为使和数为546，则[r]=7，
则设有t个[r+
100
x
]值为7，于是，7×t+8×(73-t)=546, 解得t=38．
所以有38项整数部分为7．
即：r+
19381
100
+-
<8，即r+
56
100
<8．
r+
1938
100
+
≥8，即r+
57
100
≥8
于是，100[r+
56
100
]<8×100．
100r+56<800，100r<744；100r+57≥800，100r≥743．于是，[100r]=743。